29.2　三视图

专题一　由立体图形到其三视图

1．如图所示的机器零件的左视图是（　　）

2．如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体，它的俯视图是

3．如下左图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为（　　）

　　 　 A 　　 　B　　　　　　C　　 　　　D

4．画出如图所示几何体的三视图.

专题二　由三视图确定物体的形状以及进行相关计算

5．如下图是某物体的三视图，则这个物体的形状是（　　）

　　A．四面体　　　　B．直三棱柱　　　　C．直四棱柱　　　　D．直五棱柱[来源:学_科_网Z_X_X_K]

5. 如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体的侧面积为　　　cm².

7．如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为__ __cm²．(结果可保留根号)

专题三　立体图形的展开图与最短路径

8．如图，长方体的底面边长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要　 　cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需 cm．

9．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C₁处．

　（1）请你画出 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

　（2）当AB＝4，BC＝4，CC₁＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；

　（3）求点B₁到最短路径的距离．

专题四　开放与探究题

10．如图所示是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图，则小立方体的个数不可能是（　　）

　　A．6个　　　　　B．7个　　　　　C．8个　　　　　D．9个

11. 如图，观察由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图 ①中，共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看 不见；如图②中，共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③中，共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；…，则第⑥个图中，看得见的小立方体有 个．

12．问题探究：

　（1）如图①所示是一个半径为 错误！未找到引用源。，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点，求蚂蚁爬行的最短路程；（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形ABB′A′，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB′的长）

　（2）如图②所示是一个底面半径为错误！未找到引用源。，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA是它的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程；

　（3）如图③所示，在②的条件下， 一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．

【知识要点】

1．三视图的概念

　（1）要想清楚地刻画一个几何体的 形状和大小，通常需要画出它在三个互相垂直的投影面上的正投影.

　（2）从一个几何体的三视图可以看出，三个视图分别从不同方向反映一个几何体的形状和大小，主视图反映几何体的长和高，俯视图反映几何体的长和宽，左视图反映几何体的高和宽.

　（3）主视图与俯视图的长对正,主视图与左视图的高平齐,左视图与俯视图的宽相等.

2．画三视图时规定：看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线.

【温馨提示】

1．主视图不反映物体的宽度；俯视图不反映物体的高度；左视图反不反映物体的长度.

2．三视图位置规定:先确定主视图的位置，它的正下方应是俯视图,正右方应是左视图.

3．画三视图时规定;看得见部分的轮廓线画成实线,因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线.

4．圆柱、圆锥、圆台、球体的三视图中一定有圆，棱锥的三视图中一定有三角形.

5．画组合体的视图时，需要先分别得到单个立方体的视图，然后看看它们彼此间有无遮挡，如果有，再用虚线画出来.

【方法技巧】

1. 常见几何体的展开图，列表如下：

2. 常见立体图形的三视图，列表如下：

3．常见的正方体的展开图有以下11种形状：

（一）“一四一”型：

（二）“二三一”型：

（三）“三三”型和“二二二”型：

4．与序号有关的规律探索题解决的两种思路：（1）首先从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一 个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论；（2）将序号看作自变量，另一个变量看作常数，如果增长速度一样，则是一次函数，求出一次函数解析式；如果增长速度成幂指数增加，则是幂函数；两个都不遵守的话 ，考虑用二次函数解决.

5．由几何体的两个视图获得组成几何体的小正方体个数时，通常根据“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”的步骤进行．

参考答案

1. D　【解析】选项A是主视图，选项B是俯视图，选项C中间多了一条实线，只有选项D才是正确的左视图.

故选D.

2. A　【解析】由于正方体被截去一角，而俯视图是从上面往下看，应是右下方有一条斜线，所以画出的视图仍是正方形，不过右下方多一条斜线.

　　　故选择A.

3. C　【解析】俯视图中的每个数字是该位置小立方块的个数，分析其中的数字，得主视图有3列，从左到右正方形的个数分别是2，2，1．

故选C.

4．解：如图所示：

5．B　【解析】从主视图看，它是一个三角形，而直四棱柱与直五棱柱的三视图不可能会出现三角形，故排除C，D,而A选项的四面体包括三棱锥，三棱锥的三视图中不可能出现长方形.

6．2π　【解析】根据三视图可知此几何体是一个圆锥，其侧面展开图是一个扇形，故其侧面积为 ×2π×2＝2π.故答案为2π.

7．（75 ＋360）　【解析】由所给三视图不难想象出它表示一 个六棱柱，这个六棱柱的平面展开图如图所示．

　　易知正六边形的边长为5 cm，于是一个正六边形的面积＝6× ×5× ＝ ，∴S_表＝2× ＋6×5×12＝75 ＋360．

8．10 （2或 ）

　　【解析】将长方体展开，连接A，B，根据两点之间线段最短，AB＝ ＝10（cm）；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，相当于直角三角形的两条直角边分别是8n和6，根据勾股定理可知所用细线最短需要 ＝ ＝2 （错误！未找到引用源。cm）．

9．解：（1）如图，木柜的部分表面展开图是两个矩形ABC'₁D₁和ACC₁A₁．故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的A₁C'₁和AC₁．

　（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段A₁B₁到C₁，爬过的路径的长是l₁＝ ＝ ．

　蚂蚁沿着木柜表面经线段BB₁到C₁，爬过的路径的长是l₂＝ ＝ ．

　l₁＞l₂，故最短路径的 长是l₂＝ ．

（3）过B₁作B₁E⊥AC₁于点E，

可得△C₁B₁E∽C₁AA₁，

则 ，

得 .

即点B₁ 到最短路径的距离为 .

10．D　【解析】从俯视图看几何体的堆叠有5堆，正面有3堆，后面有2堆；从左视图

看 ，后面的两堆只有一层，即后面共有2个几何体，正面的3堆至少有1堆是2层，

故正面三堆可能共有4、5、6个，共可能有2＋4＝6（个），2＋5＝7（个），2＋6

＝8（个），故不可能的个数是9.故选D.

11．91　【解析】n＝1时，共有小立方体的个数为1，看不见的小立方体的个数为0，看得见的小立方体的个数为1－0＝1；n＝2时，共有小 立方体的个数为2×2×2＝8，看不见的小立方体的个数为（2-1）×（2-1）×（2－1）＝1，看得见的小立方体的个数为8－1＝7；n＝3时，共有小立方体的个数为3×3×3＝27，看不见的小立方体的个数为（3－1）×（3－1）×（3－1）=8，看得见的小立方体的个数为27-8＝19；…n=6时，共有小立方体的个数为6×6×6=216，看不见的小立方体的个数为（6－1）×（6－1）×（6－1）＝125个，看得见的小立方体的个数为216－125=91．

12．解：（1）易知BB'＝2π× 错误！未找到引用源。＝3，AB'＝ .即蚂蚁爬行的最短路程为5．

　（2）连接AA'，则AA'的长为蚂蚁爬行的最短路程，设r₁为圆锥底面半径，r₂为侧面展开图（扇形）的半径，则 错误！未找到引用源。，

　由题意得2πr₁= 错误！未找到引用源。，

　即2π× ＝ ×4π.

　∴n＝60，

　∴△PAA'是等边三角形，

　∴蚂蚁爬行的最短路程为AA'＝PA＝4 .

（3）如图③所示是圆锥的侧面展开图，过A作AC⊥PA'于点C，则线段AC的长就是蚂蚁爬行的最短路程．

　∴AC＝PA•sin∠APA'＝4×sin60°＝4×错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源 。，

　∴蚂蚁爬行的最短距离为错误！未找到引用源。．

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