【331967】九年级数学下册：26.3　实际问题与二次函数

26.3　实际问题与二次函数

专题一 阅读理解型问题

1．如图，抛物线y=―x²+bx+c与x轴交于Ａ、Ｂ两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点Ｆ在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3.

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）求△ABD的面积；

（3）将三角形AOC绕点C逆时针旋转90°，点Ａ对应点为点Ｇ，问点Ｇ是否在该抛物线上？请说明理由．

专题二 操作型问题

2．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上 落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．

（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？

（2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？

专题三 图表信息型题

3．张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y（元/吨）与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）．

（1）求y与x之间的函数解析式；

（2）已知老王种植水果的成本是2800元/吨 ，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？

4．利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）甲、乙两种商品的进货单价各是多少元？

（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天 销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？

[来源:学。科。网]

【知识要点】

1．利润最大问题.

2．几何图形中的最值问题.

3．抛物线型问题.

【温馨提示】

1．实际问题中自变量的取值范围要看清，不要认为自变量取全体实数.

2．由几何图形中的线段长度转化为坐标系中点的坐标时，不要忽视点所在的象限.

【方法技巧】

1．最大利润问题一般先运用“总利润=总售价－总成本”或“总利润=单件商品利润×销售数量”建立利润与价格之间的二次函数解析式，应用配方法或公式法求出最值.

2．几何图形问题常见的有面积 的最值、用料的最佳方案、动态几何中的最值等.解题时一般结合面积公式等知识，把要讨论的量表示成另一个量的二次函数的形式，结合二次函数的性质进行分析.

3．抛物线型问题解决的关键是进行二次函数建模，依据题意有效的将线段的长度转换为点的坐标.将实际问题中的线段长度转化为两点之间的距离.

[来源:Z+xx+k.Com]

[来源:学科网]

参考答案

1. 解：⑴依题意，C点坐标为(0,3),E点坐标为（2，3），代入y=－x²+bx+c中，得 解得 故抛物线所对应的函数解析式为y=－x²+2x+3．

⑵由y=－x²+2x+3 =－(x－1)²+4,∴抛物线的顶点坐标为 (1,4),又y=0时，－x²+2x+3=0,解得x₁=-1,x₂=3,∴A B=3－(－1)=4,△ABD的面积为 ×4×4=8．

⑶不在，理由：当△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，又OA=1,则点A的对应点G的坐标为（3，2）,又x=3时，y=－3²+2×3+3=0≠2,∴ G点不在该抛物线上．

2．解：（1）以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如图），

则有M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（ ，0）．

设抛物线的解析式为y=ax²+k，抛物线过点M和点B，则k=5，a= ．

∴抛物线解析式为 ．

∴当x=1时， ；当 时， ．∴P（1，错误！未找到引用源。），Q（ ， ）在抛物线上．

当竖直摆放5 个圆柱形桶时，桶高= ×5= 错误！未找到引用源。，

∵错误！未找到引用源。＜错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。＜错误！未找到引用源。，∴网球不能落入桶内．

（2）设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，由题意，得错误！未找到引用源。≤错误！未找到引用源。m≤错误！未找到引用源。，[来源:Zxxk.Com]

解得 ≤m≤ ． [来源:学科网]

∵m为整数，∴m 的值为8，9，10，11，12．

∴当竖直摆放圆柱形桶8，9，10，11 或12个时，网球可以落入桶内．

3．解：（1）根 据图象可知当x≤20时，y=8000（0＜x≤20）；

当20＜x≤40时，将B（20，8000），C（40，4000），代入y=kx+b，得：

错误！未找到引用源。 解得错误！未找到引用源。

y=﹣200x+12000（20＜x≤40）．

（2）根据上式以及老王种植水果的成本是2800元/吨，

根据题意得：当x≤20时，W=（8000﹣2800）x=5200x，

y随x的增大而增大，当x=20时，W_最大=5200×20=104000（元），

当20＜x≤40时，W=（﹣200x+12000﹣2800）x=﹣200x²+9200x，

当x=﹣ =23时，W_最大=错误！未找到引用源。 =105800元．

故张经理的采购量为23吨时，老王在这次买卖中所获的利润W最大 ，最大利润是105800元．

4．解：（1）设甲、乙两种商 品的进货单价各为x，y元，

根据题意，得 错误！未找到引用源。解得 错误！未找到引用源。

答：甲、乙两种商品的进货单价分别为2元、3元．

（2）∵商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件，经调查发现，甲、 乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品 每天可各多销售100件，

∴甲、乙两种商品的零售单价都下降m元时，

甲、乙每天分别卖〔500+ 〕件，〔300+ 〕件．

∵销售甲、乙两种商品获取的利润：甲、乙每件的利润分别为：2﹣1=1（元），5﹣3=

2（元），降价后每件利润分别为（1﹣m），（2﹣m）．

所获利润=（1﹣m）×〔500+ 〕+（2﹣m）×〔300+ 〕=

﹣2000m²+2200m+1100，

当m= （元）时，w最大，最大值为 元．

∴当m定为0.55元时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元．

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