【331965】九年级数学下册：26.2　用函数观点看一元二次方程

26.2　用函数观点看一元二次方程

专题一 二次函数的图象与性质

1．关于x的二次函数 ，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

2．已知二次函数 的图象如图所示， 对称轴为直线 ，下列结论中，正确的是（ ）

A． B． C． D．

3．二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b²－4ac>0；② 2a+b<0；③ 4a－2b+c=0；④ a：b：c= －1：2：3.其中正确的是（ ）

A. ①② B. ②③ C. ③④ D.①④[来源:Zxxk.Com]

专题二　二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系

4．设一元二次方程 =m（m＞0）的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（　　）

A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜β C．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞2

5．二次函数 的图象如图所示，若一元二次方程 有实数根，则 的最大值为（　　）

　　A． 　 B．3　 　C． 　　 D．9[来源:学科网]

6．已知函数y=mx²﹣6x+1（m是常数）．

（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；

（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．

7．已知抛物线y=x²+px+q与x轴交于A、B两点，且过点(－1,－1)，设线段AB的长为d，当p为何值时，d²取得最小值？并求出最小值.

[来源:Z&xx&k.Com]

8.【2012·珠海】如图，二次函数y=(x－2)²+m的图象与 轴交于点 C，点B是点C关于该[来源:学科网]

二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1,0）及点B.

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（ 2）根据图象，写出满足kx+b≥(x－2)²+m的 的取值范围.

专题三 利用二次函数知识解决动态问题

9．一条抛物 线y= 错误！未找到引用源。x²+mx+n经过点（0， 错误！未找到引用源。）与（4， 错误！未找到引用源。）．

（1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；

（2）现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的动圆，当⊙P与坐标轴相切时，求圆心P 的坐标．

[来源:Zxxk.Com]

【知识要点】

1．二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的关系

（1）二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴有公共点，公共点的横坐标是 ，那么当x= 时，函数的值是0，因此x= 就是方程ax²＋bx＋c=0的一个根.

（2）二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax²＋bx＋c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数，有两个不相等的实数根.

2．二次函数与一元二次不等式的关系

抛物线y＝ax²＋bx＋c在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax²＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式ax²＋bx＋c＜0的解集，所以，利用画二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象的方法，可以直接地求得不等式ax²＋bx＋c＞0或ax²＋bx＋c＜0的解集．

【温馨提示】

1．当抛物线y＝ax²＋bx＋c开口向下，与坐标轴有两个交点时，y＜0对应的x值有两部分，不要漏掉；当抛物线y＝ax²＋bx＋c开口向上，与坐标轴有两个交点时，y＞0对应的x值有两部分，不要漏掉．

2．一元二次方程的解是对应的二次函数与x轴交点的横坐标，而不是与x轴的交点.

3．圆与坐标轴相切包括与x、y轴相切，不要漏掉某一部分.

【方 法技巧】

1．由二次函数图 象判断y＝ax²＋bx＋c解析式中字母的符号：

（1）a：抛物线开口向上，则a＞0；抛物线开口向 下，则a＜0；

（2）b：对称轴在y轴左侧，a、b同号；对称轴在y轴右侧，a、b异号；对称轴是y轴则b=0；简记“左同右异y轴b=0”；

（3）c：抛物线与y轴的交点在x轴上方，c＞0；抛物线与y轴的交点在x轴下方，c＜0；抛物线与y轴的交点在原点，c=0；简记“上正、下负、原点c为0”；

（4）b²-4ac：抛物线与x轴两个交点，b²-4ac＞0；抛物线与x轴一个交点，b²-4ac=0；抛物线与x轴没有交点，b²-4ac＜0；

（5）判断a+b+c的符号，看当x=1时，y的值与0的关系；判断a-b+c的符号，看当x=－1时，y的值与0的关系；判断4a+2b+c的符号，看当x=2时，y的值与0的关系；判断4a-2b+c的符号，看当x= -2时，y的值与0的关系；

（6）判断2a+b的符号看对称轴与直线x=1的关系；判断2a－b的符号看对称轴与直线x=－1的关系.

2．圆与x轴相切时，圆心的纵坐标的绝对值 等于半径；圆与y轴相切时，圆心的横坐标的绝对值等于半径.

参考答案

1．D【解析】二次函数化为一般形式得 ，所以对称轴方程为 = ，因为对称轴在y轴的右侧，所以 ，解得 ．

2．D【解析】∵a、b同号且a=b，c＜0，∴A、B均错误；当x=1时，由图象知y=a+b+c＜0，即2b+c＜0，故C错误；由2b+c＜0，两边加上2b 得4b+c＜2b,不得式左边的b用a替换，可得4a+c＜2b,所以D正确.

3．D【解析】∵抛物线与x轴有两个交点，∴b²-4ac＞0，①正确；∵对称轴为直线x=1，

∴ =1，可得2a+b=0 ，②错误；∵当x= -2时，y=4a-2b+c＜0，∴③错误；由x= -1时，y=a-b+c=0，2a+b=0，可得b=-2a，c=-3a，∴a：b：c=a：（-2a）：（-3a）=-1：2：3，④正确.

4．D【解析】令m=0，则函数 的图象与x轴的交点坐标分别为（1，0），（2，0），

故此函数的图象为：

∵m＞0，∴α＜1，β＞2．故选D．

5．B【解析】∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，∴a＞0， ，即 .

∵一元二次方程 有实数根，∴△= ，即 ，即 ，解得 ，∴m的最大值为3．

6．解：（1）当x=0时，y=1．

所以不论m为何值，函数y=mx²﹣6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）．

（2）①当m=0时，函数y=﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点；

②当m≠0时，若函数y=mx²﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx²﹣6x+1=0有两个相等的实数根，所以△=（﹣6）²﹣4m=0，m=9．

综上，若函数y= mx²﹣6x+1的图象与x轴只有一个 交点，则m的值为0或9．

7．解：把(－1,－1)代入y=x²+px+q得p－q=2，q=p－2.

设抛物线y=x²+px+q与x轴交点 A、B的坐标分别为(x₁,0)、(x₂,0),∴d=|x₁- x₂| ，

∴d²=(x₁－x₂)²=(x₁+x₂)²－4 x₁·x₂ = p²－4q= p²－4p+8=(p－2)²+4,当p=2时，d²有最小值，最小值是4.

8．解：（1）将点A（1，0）代入y=（x－2）²+m得，（1－2）²+m=0，解得m=－1.

则二次函数解析式为y=（x－2）²－1．

当x=0时，y=4－1=3，故C点坐标为（0，3）.

由于C和B关于对称轴对称，设B点坐标为（x，3），

令y=3，有（x－2）²－1=3，解得x=4或x=0，则B点坐标为（4，3）．

设一次函数解析式为y=kx+b，将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得，

解得 则一次函数解析式为y=x－1.

（2）∵A、B坐标为（1，0）、（4，3），∴当kx+b≥（x－2）²+m时，1≤x≤4．

9．解：（1）由抛物线过（0， 错误！未找到引用源。），（4， 错误！未找到引用源。）两点，得

解得 错误！未找到引用源。∴抛物线的解析式是y= x²﹣x+ .

由y= x²﹣x+ 错误！未找到引用源。= 错误！未找到引用源。（x﹣2）²+ 错误！未找到引用源。，得抛物线的顶点坐标为（2， 错误！未找到引用源。）.

（2）设点P的坐标为（x₀，y₀）.

①当圆P与y轴相切时，有|x₀|=1，∴x₀=±1.由x₀=1，得y₀= 错误！未找到引用源。×1﹣1+ 错误！未找到引用源。= .错误！未找到引用源。

由x₀=﹣1，得y₀= 错误！未找到引用源。×（﹣1）²﹣（﹣1）+ 错误！未找到引用源。= .错误！未找到引用源。

此时点P的坐标为P₁（1， 错误！未找到引用源。），P₂（﹣1， 错误 ！未找到引用源。）.

②当圆P与x轴相切时，有|y₀|=1.∵抛物线的开口向上，顶点在x轴的上方，y₀＞0，∴y₀=1.

由y₀=1，得 错误！未找到引用源。x₀²﹣x₀+ 错误！未找到引用源。=1，解得x₀=2± .错误！未找到引用源。

此时点P的坐标为 P₁（2﹣ ，1），P₄（2+ 错误！未找到引用源。，1）.

综上所述，圆心P的坐标为P₁（1，错误！未找到引用源。），P₂（﹣1，错误！未找到引用源。），P₃（ 错误！未找到引用源。，1），P₄（ 错误！未找到引用源。，1）．

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