【331939】解题技巧专题：圆中辅助线的作法

解题技巧专题：圆中辅助线的作法

——形成解题思维模式，快准解答

类型一　遇弦加弦心距或半径【方法4①】

1．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若OE＝3，则AB的长是(　　)

A．4 B．6 C．8 D．10

第1题图 第2题图

2．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为(　　)

A．3 B．4 C．5 D．6

3．如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上的两点，且AC＝BD，则△OCD是________三角形．

第3题图 第4题图

4．如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为________cm.

5．(2017·乐山中考)如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25米，BD＝1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是________米．

类型二　遇直径添加直径所对的圆周角【方法4②】

6．(2017·毕节中考)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD的度数为(　　)

A．30° B．50° C．60° D．70°

7. 如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD.若AC＝2，则cosD＝________.

第7题图 第8题图

8．如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为________．

9．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.

(1)求证：BE＝CE；

(2)若∠B＝70°，求DE的度数；

(3)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．

类型三　遇切线连接圆心和切点

10．(2017·长春中考)如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝29°，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D，则∠D的大小为【方法4③】(　　)

A．29° B．32° C．42° D．58°

第10题图 第11题图 第12题图

11．如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC＝3BC，CD与⊙O相切，切点为D.若CD＝3，则线段BC的长度等于________．【方法4③】

12．如图，⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，切点分别为D，F，E，AB＝5，AC＝4，BC＝3，则⊙O的半径是________．

13．(2017·陕西中考)如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C，交PB于点D，连接BC，其中∠P＝30°.

(1)求弦AC的长；

(2)求证：BC∥PA.

类型四　有交点证切线连接圆心和交点

14．(2017·凉山州中考)如图，已知AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E.

(1)求证：DC是⊙O的切线；【方法5①】

(2)若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．

类型五　添加辅助线计算阴影部分的面积【方法7】

15．(芜湖期末)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分的面积为(　　)

A．2π B．π C. D.

第15题图 　 第16题图 第17题图

16．(阜阳期末)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转45°后得到△AB′C′，点B经过的路径为BB′，图中阴影部分面积是(　　)

A．2π B．2 C．4π D．4

17．★(2017·乌鲁木齐中考)用等分圆周的方法，在半径为1的图中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积为________．

参考答案与解析

1．C　2.B　3.等腰

4．25　解析：设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D.设⊙O的半径为Rcm.由题意可得OC⊥AB，∴AD＝DB＝AB＝20cm.在Rt△AOD中，OA²＝AD²＋OD²，即R²＝20²＋(R－10)²，解得R＝25.故该脸盆的半径为25cm.

5．2.5　解析：如图，设圆心为O，切点为F，连接OA，AC，OF，OF交AC于点E.∵BD是⊙O的切线，∴OF⊥BD.由题意可得AC∥BD，AC＝BD＝1.5米，∴OE⊥AC，EF＝AB＝0.25米．设⊙O的半径为R米．在Rt△AOE中，AE＝AC＝0.75米，OE＝OF－EF＝(R－0.25)米，AE²＋OE²＝OA²，即0.75²＋(R－0.25)²＝R²，解得R＝1.25.故这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是1.25×2＝2.5(米)．

6．C　7.

8．2　解析：连接BE，设⊙O的半径为R.∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×8＝4.在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R－CD＝R－2，OC²＋AC²＝OA²，∴(R－2)²＋4²＝R²，解得R＝5，∴OC＝5－2＝3.∵OA＝OE，AC＝BC，∴BE＝2OC＝6.∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°.在Rt△BCE中，CE＝＝＝2.

9．(1)证明：连接AE.∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC.∵AB＝AC，∴BE＝CE.

(2)解：连接OD，OE.由(1)可知AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＝90°－∠B＝90°－70°＝20°，∴∠DOE＝2∠DAE＝40°，∴DE的度数为40°.

(3)解：连接CD.由(1)可知BE＝CE，∴BC＝2BE＝6.设AB＝AC＝x，则AD＝x－2.∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝90°.在Rt△BCD中，CD²＝BC²－BD²＝6²－2²＝32.在Rt△ADC中，AD²＋CD²＝AC²，即(x－2)²＋32＝x²，解得x＝9，即AC的长为9.

10．B　11.

12．2　解析：连接OE，OF.由题意得AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，OF⊥AF，OE⊥BC.∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，∴AB²＝AC²＋BC²，∴∠ACB＝90°，∴∠ECF＝90°.又∵OE＝OF，∴四边形OECF是正方形．设OF＝r，则CF＝CE＝r.∵BC＝3，∴BD＝BE＝BC－CE＝3－r.∵AB＝5，AC＝4，∴AD＝AB＋BD＝5＋3－r，AF＝AC＋CF＝4＋r，∴5＋3－r＝4＋r，∴r＝2，即⊙O的半径是2.

13．(1)解：连接OA.∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.∵∠P＝30°，∴∠AOD＝60°.∵AC⊥PB，PB过圆心O，∴AD＝DC.在Rt△ODA中，AD＝OA·sin60°＝，∴AC＝2AD＝5.

(2)证明：∵AC⊥PB，∠P＝30°，∴∠PAC＝60°.由(1)可知∠AOP＝60°，∴∠BOA＝120°，∴∠BCA＝60°，∴∠PAC＝∠BCA，∴BC∥PA.

14．(1)证明：连接DO.∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD.∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB.又∵OD＝OB，OC＝OC，∴△COD≌△COB，∴∠CDO＝∠CBO.∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，∴∠CDO＝90°.又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．

(2)解：设⊙O的半径为R，则OD＝R，OE＝OA＋AE＝R＋1.由(1)可知DC是⊙O的切线，∴∠EDO＝90°，∴ED²＋OD²＝OE²，即3²＋R²＝(R＋1)²，解得R＝4，∴⊙O的半径为4.

15．C　解析：连接OD.∵CD⊥AB，∴∠COB＝∠BOD，CE＝DE＝CD＝，∴S_△OCE＝S_△ODE，∴阴影部分的面积等于扇形BOD的面积．∵∠CDB＝30°，∴∠BOD＝∠COB＝60°，∴在Rt△ODE中，OD＝＝2，∴S_扇形BOD＝＝，即阴影部分的面积为.故选C.

16．A　解析：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4.根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S_△ABC＝S_△AB′C′，∴S_阴影＝S_扇形BAB′＋S_△ABC－S_△AB′C′＝

S_扇形BAB′＝＝2π.故选A.

17．π－　解析：如图，设AB的中点为P，连接OA，OP，AP，则∠AOP＝60°，∴△AOP为等边三角形，∴△OAP的面积是×1²＝，扇形OAP的面积是S_扇形＝×π×1²＝，AP直线和AP弧围成的弓形面积为－.由题意可得阴影面积为3×2S_弓形＝π－.