【331938】解题技巧专题：巧用旋转进行计算或证明

解题技巧专题：巧用旋转进行计算或证明

——体会旋转中常见解题技巧

类型一　利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度

1．(2016·合肥校级模拟)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为(　　)

A．60° B．85° C．75° D．90°

第1题图 第2题图 第3题图

2．(2016·株洲中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C.若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是(　　)

A．50° B．60° C．70° D．80°

3．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为________．

4．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝5，PB＝12，PC＝13，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．

类型二　利用旋转结合特殊三角形判定、性质或勾股定理求长度或证明

5．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转75°，得到△AB′C′，过点B′作B′D⊥CA，交CA的延长线于点D，若AC＝6，则AD的长为(　　)

A．2 B．3 C．2 D．3

6. 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，那么BM的长是________．

7．(2016·娄底中考)如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A₁BC₁的位置，AB与A₁C₁相交于点D，AC与A₁C₁，BC₁分别交于点E，F.

(1)求证：△BCF≌△BA₁D；

(2)当∠C＝α度时，判定四边形A₁BCE的形状，并说明理由．

类型三　利用旋转计算面积

8．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是(　　)

A.－1 B.＋1 C. D.

第8题图 第9题图

9．如图，在等边△ABC内有一点D，AD＝5，BD＝6，CD＝4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则△DCE的面积为________．【方法3】

参考答案与解析

1．B　解析：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，∴∠C＝∠E＝70°，∠BAC＝∠DAE.∵AD⊥BC，∴∠AFC＝90°，∴∠CAF＝90°－∠C＝90°－70°＝20°，∴∠DAE＝∠CAF＋∠EAC＝20°＋65°＝85°，∴∠BAC＝∠DAE＝85°.

2．B

3．90°　解析：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，∴∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，∴∠AB′B＝(180°－120°)＝30°.∵AC′∥BB′，∴∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，∴∠CAB′＝∠CAC′－∠C′AB′＝120°－30°＝90°.

4．解：连接PP′.∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.∵△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，AP′＝AP，BP′＝CP＝13，∴△AP′P为等边三角形，∴PP′＝AP＝5，∠APP′＝60°.在△BPP′中，∵PP′＝5，BP＝12，BP′＝13，∴PP′²＋BP²＝BP′²，∴△BPP′为直角三角形，∠BPP′＝90°，∴∠APB＝∠APP′＋∠BPP′＝60°＋90°＝150°.即点P与点P′之间的距离为5，∠APB的度数为150°.

5．D　解析：在Rt△ABC中，AB＝＝＝6，则AB′＝AB＝6.在Rt△B′AD中，∠B′AD＝180°－∠BAC－∠BAB′＝180°－45°－75°＝60°.则AD＝AB′·cos∠B′AD＝6×＝3.

6.＋　解析：连接AM，由题意，得CA＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM为等边三角形，∴AM＝CM，∠MAC＝∠MCA＝∠AMC＝60°.∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝CM＝2.∵AB＝BC，CM＝AM，∴BM垂直平分AC，∴BO＝AC＝，OM＝CM·sin60°＝，∴BM＝BO＋OM＝＋.

7．(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝BC，∠A＝∠C.∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A₁BC₁的位置，∴A₁B＝AB＝BC，∠A＝∠A₁＝∠C，∠A₁BD＝∠CBC₁.在△BCF与△BA₁D中，∴△BCF≌△BA₁D；

(2)解：四边形A₁BCE是菱形．理由如下：∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A₁BC₁的位置，∴∠A₁＝∠A.∵∠ADE＝∠A₁DB，∴∠AED＝∠A₁BD＝α，∴∠DEC＝180°－α.∵∠C＝α，∴∠A₁＝α，∴∠A₁BC＝360°－∠A₁－∠C－∠A₁EC＝180°－α，∴∠A₁＝∠C，∠A₁BC＝∠A₁EC，∴四边形A₁BCE是平行四边形．∵A₁B＝BC，∴四边形A₁BCE是菱形．

8．A　解析：连接AE，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝1，且∠B＝90°，∠D′CE＝45°，由勾股定理得AC＝＝.由题意，得AD′＝AB＝1，∠AD′E＝90°，∴D′C＝－1，∠D′EC＝∠D′CE＝45°，∴D′E＝D′C＝－1，∴S_△D′EC＝(－1)²＝－，∴S_阴影＝S_△ABC－S_△D′EC＝×1×1－＝－1.

9.　解析：由旋转的性质得△ACE≌△ABD，∴AE＝AD＝5，CE＝BD＝6，∠DAE＝60°，∴DE＝5.作EH⊥CD垂足为H.设DH＝x.由勾股定理得EH²＝CE²－CH²＝DE²－DH²，即6²－(4－x)²＝5²－x²，解得x＝，∴DH＝.由勾股定理得EH＝＝＝，∴△DCE的面积＝CD·EH＝.