【331906】广东省广州市荔湾区中考模拟卷

广东省广州市荔湾区中考数学模拟试卷

一．选择题（共10小题，满分27分）

1．有一个数值转换器，原来如下：当输入的x为64时，输出的y是（　　）

A．8 B．2 C．2 D．3

2．（3分）同时使分式 有意义，又使分式 无意义的x的取值范围是（　　）

A．x≠﹣4，且x≠﹣2 B．x=﹣4，或x=2 C．x=﹣4 D．x=2

3．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．（m﹣n）²=m²﹣n² B．（2ab³）²=2a²b⁶ C．2xy+3xy=5xy D． =2a

4．（3分）已知抛物线y=ax²+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x₀，y₀），点A（1，y_A），B（0，y_B），C（﹣1，y_C）在该抛物线上，当y₀≥0恒成立时， 的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．4 D．3

5．（3分）七年级学生完成课题学习“ 从数据谈节水”后，积极践行“节约用水，从我做起”，现在从七年级400名学生中选出10名学生统计各自家庭一个月的节水情况如下表：

节水量（m3）	0.2	0.25	0.3	0.4	0.5
家庭数	1	2	2	4	1

那么这组数据的众数和平均数分别是（　　）

A．0.4m³和0.34m³ B．0.4m³和0.3m³

C．0.25m³和0.34m³ D．0.25m³和0.3m³

6．（3分）在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（　　）

A．（4，﹣3） B．（﹣4，3） C．（﹣3，4） D．（﹣3，﹣4）

7．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．（3分）如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动1，2， 3，…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三步从第3号角移动到第6号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

9．（3分）16的算术平方根和25的平方根的和是（　　）

A．9 B．﹣1 C．9或﹣1 D．﹣9或1

10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（0，2），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3 ，则点B′的坐标为（　　）

A．（2 ，4） B．（2 ，3 ） C．（3 ，4） D．（3 ，3）

　

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．（3分）将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，若∠DBC=56°，则∠1=　 　°．

12．（3分）分解因式： a²﹣ a+2=　 　．

13．（3分）如果一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为4π的圆，那么这个圆锥的左视图的面积是　 　．

14．（3分）⊙O的半径为1cm，弦AB= cm，AC= cm，则∠BAC的度数为　 　．

15．（3分）如图，已知动点A在函数y= （x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC，直线DE分别交x轴，y轴于点P，Q，当QE：DP=9：25时，图中的阴影部分的面积等于　 　 ．

16．（3分）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE，tan∠ACB= ，BC=2cm．以下结论：

①CD= cm； ②AE=DE； ③CE是⊙O的切线； ④⊙O的面积等于 ．其中正确的结论有　 　．（填序号）

　

三．解答题（共9小题）

17．（1）解方程：x﹣2（5﹣x）=3（2x﹣1）；

（2）解方程： ﹣1= ．

18．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．

（1）求证：AB=CF；

（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．

19．计算

（1）

（2） ．

20．如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高．

（1）尺规作图：作∠C的平分线，交AB于点E，交AD于点F（不写作法，必须保留作图痕迹，标上应有的字母）；

（2）在（1）的条件下，过F画BC的平行线交AC于点H，线段FH与线段CH的数量关系如何？请予以证明；

（3）在（2）的条件下，连结DE、DH．求证：ED⊥HD．

21．某学校为了提高学生学科能力，决定开设以下校本课程：A．文学院，B．小小数学家，C．小小外交家，D．未来科学家，为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有　 　人；

（2）请你将条形统计图（2）补充完整；

（3）在平时的小小外交家的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加全国英语口语大赛，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．

22．如图，一次函数y=x+k图象过点A（1，0），交y轴于点B，C为y轴负半轴上一点，且OB= BC，过A，C两点 的抛物线交直线AB于点D，且CD∥x轴．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）直接写出使一次函数值小于二次函数值时x的取值范围．

23．某商店欲购进一批跳绳，若同时购进A种跳绳10根和B种跳绳7根，则共需395元，若同时购进A种跳绳5根和B种跳绳3根，共需185元．

（1）求A、B两种跳绳的单价各是多少？

（2）若该商店准备同时购进这两种跳绳共100根，且A种跳绳的数量不少于跳绳总数量的 ．若每根A种跳绳的售价为26元，每根B种跳绳的价为30元，问：该商店应如何进货才可获取最大利润，并求出最大利润．

24．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l： 与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线 经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．

（1）求n的值和抛物线的解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；

（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A₁O₁B₁，点A、O、B的对应点分别是点A₁、O₁、B₁．若△A₁O₁B₁的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A₁的横坐标．

25．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．

（1）如图1，求证：KE=GE；

（2）如图2，连接CABG，若∠FGB= ∠ACH，求证 ：CA∥FE；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sinE= ，AK= ，求CN的长．

　

2018年广东省广州市荔湾区中考数学模拟试卷（3月份）

参考答案与试题解析

　

一．选择题（共10小题，满分27分）

1．

【解答】解：将64输入，由于其平方根是8，

为有理数，需要再次输入，

得到 ，为2 ．

故选：B．

　

2．[来源:学科网]

【解答】解：由题意得：x²+6x+8≠0，且（x+1）²﹣9=0，

（x+2）（x+4）≠0，x+1=3或﹣3，

x≠﹣2且x≠﹣4，x=2或x=﹣4，

∴x=2，故选D．

　

3．

【解答】解：A、（m﹣n）²=m²﹣2mn+n²，故本选项错误；

B、（2ab³）²=4a²b⁶，故本选项错误；

C、2xy+3xy=5xy，故本选项正确；

D、 = ，故本选项错误；

故选：C．

　

4．

【解答】解：由0＜2a＜b，得x₀=﹣ ＜﹣1，

由题意，如图，过点A作AA₁⊥x轴于点A₁，则AA₁=y_A，OA₁=1，

连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=y_B﹣y_C，CD=1，

过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x₁，y_E），交x轴于点F（x₂，0），

则∠FAA₁=∠CBD．

于是Rt△AFA₁∽Rt△BCD，

所以 = ，即 = ，

过点E作EG⊥AA₁于点G，

易得△AEG∽△BCD．

有 = ，即 = ，

∵点A（1，y_A）、B（0，y_B）、C（﹣1，y_C）、E（x₁，y_E）在抛物线y=ax²+bx+c上，

得y_A=a+b+c，y_B=c，y_C=a﹣b+c，y_E=ax₁²+bx₁+c，

∴ = =1﹣x₁，

化简，得x₁²+x₁﹣2=0，解得x₁=﹣2（x₁=1舍去），

∵y₀≥0恒成立，根据题意，有x₂≤x₁＜﹣1，

则1﹣x₂≥1﹣x₁，即1﹣x₂≥3．

∴ ≥3，

∴ 的最小值为3．

故选：D．

　

5．

【解答】解：将数据按从大到小的顺序排列为：0.2，0.25，0.25，0.3，0.3，0.4，0.4，0.4，0.4，0.5，

则众数为：0.4m³；

平均数为： （0.2+0.25+0.25+0.3+0.3+0.4+0.4+0.4+0.4+0.5）=0.34m³．

故选：A．

　

6．

【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（﹣4，3）．

故选：B．

　

7．

【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC=3，AE平分∠BAC，

∴ BE=CE= BC=2，

又∵D是AB中点，

∴BD= AB= ，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE= AC= ，

∴△BDE的周长为BD+DE+BE= + +2=5．

故选：C．

　

8．

【解答】解：因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k= k（k+1），应停在第 k（k+1）﹣7p格，

这时P是整数，且使0≤ k（k+1）﹣7p≤6，分别取k=1，2，3，4，5，6，7时，

k（k+1）﹣7p=1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，

若7＜k≤10，设k=7+t（t=1，2，3）代入可得， k（k+1）﹣7p=7m+ t（t+1），

由此可知，停棋的情形与k=t时相同，

故第2，4，5格没有停棋，

即：这枚棋子永远不能到达的角的个数是3．

故选：D．

　

9．

【解答】解：根据题意得：16的算术平方根为4；25的平方根为5或﹣5，

则16的算术平方根和25的平方根的和是9或﹣1，

故选：C．

　[来源:Zxxk.Com]

10．

【解答】解：如图，过A作AD⊥x轴，过A'作A'C⊥x轴，

∵△AOB是等边三角形，点B的坐标为（0，2），

∴AO=BO=2，∠AOB=60°，

∴∠AOD=30°，

∴AD= AO=1，OD= ，

即A（ ，1），

又∵OC=3 ，

∴A'C=tan30°×OC=3，

∴A'（3 ，3），

∴CD=2 ，A'C﹣AD=3﹣1=2，

∴点A向右平移2 个单位，向上平移2个单位可得点A'，

又∵B的坐标为（0，2），

∴点B′的坐标为（2 ，4），

故选：A．

　

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．

【解答】解：如图所示：

由折叠可得：∠2=∠ABD，

∵∠DBC=56°，

∴∠2+∠ABD+56°=180°，

解得：∠2=62°，

∴∠1=62°，

故答案为：62

　

12．

【解答 】解： a²﹣ a+2

= （a²﹣6a+9）

= （a﹣3）²．

故答案为： （a﹣3）²．

　

13．

【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，则πr²=4π，解得r=2，

因为圆锥的主视图是等边三角形，

所以圆锥的母线长为4，

所以它的左视图的高= =2 ，

所以左视图的面积为 ×4×2 =4 ．

故答案为4 ．

　

14．

【解答】解：当圆心O在弦AC与AB之间时，如图（1）所示，

过O作OD⊥AB，OE⊥AC，连接OA，

由垂径定理得到：D为AB中点，E为AC中点，

∴AE= AC= cm，AD= AB= cm，

∴cos∠CAO= = ，cos∠BAO= = ，

∴∠CAO=30°，∠BAO=45°，

此时∠BAC=30°+45°=75°；

当圆心在弦AC与AB一侧时，如图（2）所示，同理得：∠BAC=45°﹣30°=15°，

综上，∠BAC=15°或75°．

故答案为：15°或75°．

　

15．

【解答】解：作DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于G，

∴△QEG∽△DPF，

∴ ，

设EG=9t，则PF=25t，

∴A（9t， ），

由AC=AE AD=AB，

∴AE=9t，AD= ，DF= ，PF=25t，

∵△ADE∽△FPD，

∴AE：DF=AD：PF，

9t： = ：25t，即t²= ，

图中阴影部分的面积= ×9t×9t+ × × = ，

故答案为： ．

　

16．

【解答】解：tan∠ACB= ，

∴ = ，又BC=2cm，

解得AB= cm，即CD= cm，①正确；

∵∠ACB=∠DCE，tan∠ACB= ，

∴tan∠DCE= ，即 = ，

解得，DE=1，

∵BC=2，

∴AE=1，

∴AE=DE，②正确；

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；

又∵∠ACB=∠DCE，

∴∠DAC=∠DCE；

连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE；

∵∠DCE+∠DEC=90°

∴∠AE0+∠DEC=90°

∴∠OEC=90°，即OE⊥CE．

又OE是⊙O的半径，

∴直线CE与⊙O相切，③正确；

在Rt△ADC中，AC= = ，

在Rt△CEO中，CE²+OE²=OC²，即（ ）²+1²+OE²=（ ﹣OE）²，

解得，OE= ，

④⊙O的面积=π×（ ）²= π，④错误，

故答案为：①②③．

　

三．解答题（共9小题）

17．

【解答】解：（1）x﹣2（5﹣x）=3（2x﹣1）

去括号，得

x﹣10+2x=6x﹣3

移项及合并同类项，得

﹣3x=7

系数化为1，得

x=﹣ ；

（2） ﹣1=

去分母，得

3（2x+1）﹣15=5（x﹣2）

去括号，得

6x+3﹣15=5x﹣10

移项及合并同类项，得

x=2．

　

18．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DF，

∴∠ABE=∠FCE，

∵E为BC中点，

∴BE=CE，

在△ABE与△FCE中，

，

∴△ABE≌△FCE（ASA），

∴AB=CF；[来源:学_科_网Z_X_X_K]

（2）∵AD=2 AB，AB=FC=CD，

∴AD=DF，

∵△ABE≌△FCE，

∴AE=EF，

∴DE⊥AF．

　

19．

【解答】解：（1）原式= ﹣ × = ﹣ = ；

（2）原式= × = ．

　

20．

【解答】解：（1）如图所示：

（2）结论：FH=HC．

理由：∵FH∥BC，

∴∠HFC=∠FCB，

∵∠FCB=∠FCH，

∴∠FCH=∠HFC，

∴FH=HC．

（3）∵AD是Rt△ABC斜边BC上的高，

∴∠ADC=∠BAC=90°，

∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，

∴∠B=∠CAD，

∵∠AEF=∠B+∠ECB，∠AFE=∠CAD+∠ACF，∠ACF=∠ECB，

∴∠AEF=∠AFE，

∴AE=AF，

∵FH∥CD，

∴ = ，∵AF=AE，CH=FH，

∴ = ，

∴ = ，∵∠BAD=∠DCH，

∴△EAD∽△HCD，

∴∠ADE=∠CDH，

∴∠EDH=∠ADC=90°，

∴ED⊥DH．

　

21．

【解答】解：（1）∵A是36°，

∴A占36°÷360=10%，

∵A的人数为20人，

∴这次被调查的学生共有：20÷10%=200（人），

故答案为：200；

（2）如图，C有：200﹣20﹣80﹣40=60（人），[来源:学科网ZXXK]

（3）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，恰 好同时选中甲、乙两位同学的有2种情 况，

∴恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为： = ．

　

22．

【解答】解：（1）把A（1，0）代入y=x+k中，得k=﹣1，

∴一次函数解析式为y=x﹣1，

令x=0，得点B坐标为（0，﹣1），

∵OB= BC，OB=1，

∴BC=2，

∴OC=3，

∴C点坐标为（0，﹣3），

又∵CD∥x轴，

∴点D的纵坐标为﹣3，

当y=﹣3时，x﹣1=﹣3，解得x=﹣2，

∴点D的坐标为（﹣2，﹣3），

设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，

将A（1，0），C（0，﹣3），D（﹣2，﹣3）代入，得 ，解得 ，

∴抛物线的解析式为：y =x²+2x﹣3；

（2）∵直线与抛物线交于D（﹣2，﹣3），A（1，0）两点，抛物线开口向上，

∴当x＜﹣2或x＞1时，一次函数值小于二次函数值．

　

23．

【解答】解：（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元．

根据题意，得 　　　　　　　　

解之，得　

答：A种跳绳的单价为22元，B种跳绳的单价为25元．

[来源:学|科|网]

（2）设购进A种跳绳a根，则B种跳绳（100﹣a）根，该商店的利润为w元

则w=（26﹣22）a+（30﹣25）（100﹣a）=﹣a+500，

∵﹣1＜0，∴a取最小值时，w取最大值，

又∵a≥40，且a为整数，

∴当a=40时，w_最大=﹣40+500=460（元），

此时，100﹣40=60，

所以该商店购进A种跳绳40根，B种跳绳60根时，

可获得最大利润，最大利润为460元．

　

24．

【解答】解：（1）∵直线l：y= x+m经过点B（0，﹣1），

∴m=﹣1，

∴直线l的解析式为y= x﹣1，

∵直线l：y= x﹣1经过点C（4，n），

∴n= ×4﹣1=2，

∵抛物线y= x²+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），

∴ ，

解得 ，

∴抛物线的解析式为y= x²﹣ x﹣1；

（2）令y=0，则 x﹣1=0，

解得x= ，

∴点A的坐标为（ ，0），

∴OA= ，

在Rt△OAB中，OB=1，

∴AB= = = ，

∵DE∥y轴，

∴∠ABO=∠DEF，

在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE• = DE，

DF=DE•sin∠DEF=DE• = DE，

∴p=2（DF+EF）=2（ + ）DE= DE，

∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），

∴D（t， t²﹣ t﹣1），E（t， t﹣1），

∴DE=（ t﹣1）﹣（ t²﹣ t﹣1）=﹣ t²+2t，

∴p= ×（﹣ t²+2t）=﹣ t²+ t，

∵p=﹣ （t﹣2）²+ ，且﹣ ＜0，

∴当t=2时，p有最大值 ；

（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，

∴A₁O₁∥y轴时，B₁O₁∥x轴，设点A₁的横坐标为x，

①如图1，点O₁、B₁在抛物线上时，点O₁的横坐标为x，点B₁的横坐标为x+1，

∴ x²﹣ x﹣1= （x+1）²﹣ （x+1）﹣1，

解得x= ，

②如图2，点A₁、B₁在抛物线上时，点B₁的横坐标为x+1，点A₁的纵坐标比点B₁的纵坐标大 ，

∴ x²﹣ x﹣1= （x+1）²﹣ （x+1）﹣1+ ，

解得x=﹣ ，

综上所述，点A₁的横坐标为 或﹣ ．

　

25．

【解答】（1）证明：连接OG．

∵EF切⊙O于G，

∴OG⊥EF，

∴∠AGO+∠AGE=90°，

∵CD⊥AB于H，

∴∠AHD=90°，

∴∠OAG=∠AKH=90°，

∵OA=OG，

∴∠AGO=∠OAG，

∴∠AGE=∠AKH，

∵∠EKG=∠AKH，

∴∠EKG=∠AGE，

∴KE=GE．

（2）设∠FGB=α，

∵AB是直 径，

∴∠AGB=90°，

∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α，

∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α，

∵∠FGB= ∠ACH，

∴∠ACH=2α，

∴∠ACH=∠E，

∴CA∥FE．

（3）作NP⊥AC于P．

∵∠ACH=∠E，

∴sin∠E=sin∠ACH= = ，设AH=3a，AC=5a，

则CH= =4a，tan∠CAH= = ，

∵CA∥FE，

∴∠CAK=∠AGE，

∵∠AGE=∠AKH，

∴∠CAK=∠AKH，

∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan∠AKH= =3，AK= = a，

∵AK= ，

∴ a= ，

∴a=1．AC=5，

∵∠BHD=∠AGB=90°，

∴∠BHD+∠AGB=180°，

在四边形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，

∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°，

∴∠AKH=∠ABG，

∵∠ACN=∠ABG，

∴∠AKH=∠ACN，

∴tan∠AKH=tan∠ACN=3，

∵NP⊥AC于P，

∴∠APN=∠CPN=90°，

在Rt△APN中，tan∠CAH= = ，设PN=12b，则AP=9b，

在Rt△CPN中，tan∠ACN= =3，

∴CP=4b，

∴AC=AP+CP=13b，

∵AC=5，

∴13b=5，

∴b= ，

∴CN= =4 b= ．