【331907】函数的图象与性质

《22.1.3 函数的图象与性质（一）》

一．选择题

1．抛物线y=2x²﹣1的顶点坐标是（　　）

A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（1，0） D．（﹣1，0）

2．抛物线y=ax²+b（a≠0）与x轴有两个交点，且开口向上，则a、b的取值范围是（　　）

A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0

3．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y= x²+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是（　　）

A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m

4．抛物线y=2x²﹣3可以看作由抛物线y=2x²如何变换得到的（　　）

A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度

C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度

5．抛物线y=﹣2x²+1的对称轴是（　　）

A．直线 B．直线 C．y轴 D．直线x=2

6．抛物线y=x²﹣4与x轴交于B，C两点，顶点为A，则△ABC的周长为（　　）

A．4 B．4 +4 C．12 D．2 +4

7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax²+c的图象大致所示中的（　　）

A． B． C． D．

二．填空题

8．函数y=ax²+c（a≠0）的图象是一条______，对称轴是______，顶点是______，当a＞0，抛物线开口______，顶点是抛物线的______，当a＜0，抛物线开口______，顶点是抛物线的______．

9．抛物线y=﹣2x²﹣3的开口______，对称轴是______，顶点坐标是______，当x______时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小．

10．若二次函数y=ax²+c，当x取x₁，x₂（x₁≠x₂）时，函数值相等，则当x取x₁+x₂时，函数值为______．

11．任给一些不同的实数k，得到不同的抛物线y=x²+k，当k取0，±1时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点．其中判断正确的是______．

12．点A（3，m）在抛物线y=x²﹣1上，则点A关于x轴的对称点的坐标为______．

13．若抛物线y=x²+（m﹣2）x+3的对称轴是y轴，则m=______．

14．若一条抛物线与y= 的形状相同且开口向上，顶点坐标为（0，2），则这条抛物线的解析式为______．

15．与抛物线y=﹣ +3关于x轴对称的抛物线的解析式为______．

16．已知A（﹣1，y₁），B（ ，y₂），C（2，y₃）三点都在二次函数y=ax²﹣1（a＞0）的图象上，那么y₁，y₂，y₃的大小关系是______．（用“＜”连接）

三．解答题

17．已知抛物线y=ax²+b过点（﹣2，﹣3）和点（1，6）

（1）求这个函数的关系式；

（2）当为何值时，函数y随x的增大而增大．

18．已知直线y=2x和抛物线y=ax²+3相交于点A（2，b），求a，b的值．

19．如图，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且矩形其面积为8，此抛物线的解析式．

《22.1.3 函数的图象与性质（一）》

参考答案

一．选择题

1．抛物线y=2x²﹣1的顶点坐标是（　　）

A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（1，0） D．（﹣1，0）

【解答】解：抛物线y=2x²﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）．

故选：B．

2．抛物线y=ax²+b（a≠0）与x轴有两个交点，且开口向上，则a、b的取值范围是（　　）

A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0

【解答】解：∵开口向上，∴a＞0；

∵抛物线y=ax²+b（a≠0）与x轴有两个交点，∴0﹣4ab＞0，∴b＜0．

故选A．

3．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y= x²+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是（　　）

A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m

【解答】解：如图，把C点纵坐标y=3.05代入y= x²+3.5中得：

x=±1.5（舍去负值），

即OB=1.5，

所以l=AB=2.5+1.5=4．

令解：把y=3.05代入y=﹣ x²+3.5中得：

x₁=1.5，x₂=﹣1.5（舍去），

∴L=2.5+1.5=4米．

故选：B．

4．抛物线y=2x²﹣3可以看作由抛物线y=2x²如何变换得到的（　　）

A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度

C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度

【解答】解：∵抛物线y=2x²﹣3顶点坐标为（0，﹣3），

抛物线y=2x²顶点坐标为（0，0），

∴抛物线y=2x²﹣3可以看作由抛物线y=2x²向下平移3个单位长度得到的，

故选B．

5．抛物线y=﹣2x²+1的对称轴是（　　）

A．直线 B．直线 C．y轴 D．直线x=2

【解答】解：∵抛物线y=﹣2x²+1的顶点坐标为（0，1），

∴对称轴是直线x=0（y轴），

故选C．

6．抛物线y=x²﹣4与x轴交于B，C两点，顶点为A，则△ABC的周长为（　　）

A．4 B．4 +4 C．12 D．2 +4

【解答】解：∵抛物线y=x²﹣4与x轴交于B、C两点，顶点为A，

∴B（﹣2，0），C（2，0），A（0，﹣4）．

∴AB=4，BC=AC= =2 ，

∴△ABC周长为：AB+BC+AC=4+4 ．

故应选B．

7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax²+c的图象大致所示中的（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：A、由一次函数的图象可知a＞0 c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，两者相矛盾；

B、由一次函数的图象可知a＜0 c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，两者相吻合；

C、由一次函数的图象可知a＜0 c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾；

D、由一次函数的图象可知a＜0 c＜0，由二次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾．

故选B．

二．填空题

8．函数y=ax²+c（a≠0）的图象是一条　抛物线　，对称轴是　y轴　，顶点是　（0，c）　，当a＞0，抛物线开口　向上　，顶点是抛物线的　最低点　，当a＜0，抛物线开口　向下　，顶点是抛物线的　最高点　．

【解答】解：函数y=ax²+c（a≠0）的图象是一条抛物线，对称轴是y轴，顶点是（0，c），当a＞0，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，当a＜0，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．

故答案为：抛物线，y轴，（0，c），向上，最低点，向下，最高点．

9．抛物线y=﹣2x²﹣3的开口　向下　，对称轴是　y轴　，顶点坐标是　（0，﹣3）　，当x　＜0　时，y随x的增大而增大，当x　＞0　时，y随x的增大而减小．

【解答】解：抛物线y=﹣2x²﹣3的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，﹣3），当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．

故答案为：向下，y轴，（0，﹣3），＜0，＞0．

10．若二次函数y=ax²+c，当x取x₁，x₂（x₁≠x₂）时，函数值相等，则当x取x₁+x₂时，函数值为　c　．

【解答】解：∵在y=ax²+c中，当x取x₁，x₂（x₁≠x₂）时，函数值相等，

∴抛物线的对称轴是y轴，

∴x₁，x₂互为相反数，

∴x₁+x₂=0，

当x=0时，y=c．

故填空答案：c．

11．任给一些不同的实数k，得到不同的抛物线y=x²+k，当k取0，±1时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点．其中判断正确的是　①②③④　．

【解答】解：抛物线y=x²+k，当k取0，±1时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都向上，故相同，正确；

②对称轴都是y轴，故相同；正确，

③形状相同；正确，

④都有最底点．正确．

其中判断正确的是①②③④．

故答案为：①②③④

12．点A（3，m）在抛物线y=x²﹣1上，则点A关于x轴的对称点的坐标为　（3，﹣8）　．

【解答】解：∵A（3，m）在抛物线y=x²﹣1上，

∴m=9﹣1=8，

∴A点坐标为（3，8），

∴点A关于x轴的对称点的坐标为（3，﹣8）．

故答案为（3，﹣8）．

13．若抛物线y=x²+（m﹣2）x+3的对称轴是y轴，则m=　2　．

【解答】解：

∵y=x²+（m﹣2）x+3，

∴其对称轴方程为x=﹣ ，

∵其对称轴为y轴，

∴﹣ =0，解得m=2，

故答案为：2．

14．若一条抛物线与y= 的形状相同且开口向上，顶点坐标为（0，2），则这条抛物线的解析式为　y= x²+2　．

【解答】解：根据题意设抛物线解析式为y= x²+b，

把x=0，y=2代入得：2=b，

则抛物线解析式为y= x²+2，

故答案为：y= x²+2

15．与抛物线y=﹣ +3关于x轴对称的抛物线的解析式为　y= x²﹣3　．

【解答】解：y=﹣ +3的顶点坐标为（0，3），而点（0，3）关于x轴对称的点的坐标为（0，﹣3），

所以抛物线y=﹣ +3关于x轴对称后抛物线的解析式为y= x²﹣3．

故答案为y= x²﹣3．

16．已知A（﹣1，y₁），B（ ，y₂），C（2，y₃）三点都在二次函数y=ax²﹣1（a＞0）的图象上，那么y₁，y₂，y₃的大小关系是　y₁＜y₂＜y₃　．（用“＜”连接）

【解答】解：∵二次函数的解析式为y=ax²﹣1（a＞0），

∴抛物线的对称轴为直线x=0，

∵A（﹣1，y₁）、B（ ，y₂）、C（2，y₃），

∴点C离直线x=0最远，点A离直线x=0最近，

而抛物线开口向上，

∴y₁＜y₂＜y₃．

故答案为y₁＜y₂＜y₃．

三．解答题

17．已知抛物线y=ax²+b过点（﹣2，﹣3）和点（1，6）

（1）求这个函数的关系式；

（2）当为何值时，函数y随x的增大而增大．

【解答】解：（1）把点（﹣2，﹣3）和点（1，6）代入y=ax²+b得

，解得

所以这个函数的关系式为y=﹣3x²+9；

（2）∵这个函数的关系式为y=﹣3x²+9；

∴对称轴x=0，

∵a=﹣3＜0，

∴抛物线开口向下，

∴当x＜0时，函数y随x的增大而增大．

18．已知直线y=2x和抛物线y=ax²+3相交于点A（2，b），求a，b的值．

【解答】解：把A（2，b）代入y=2x得b=2×2=4，则A点坐标为（2，4），

把A（2，4）代入y=ax²+3得4a+3=4，解得a= ．

19．如图，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且矩形其面积为8，此抛物线的解析式．

【解答】解：∵抛物线的顶点为A（0，1），

∴抛物线的对称轴为y轴，

∵四边形CDEF为矩形，

∴C、F点为抛物线上的对称点，

∵矩形其面积为8，OB=2

∴CF=4，

∴F点的坐标为（2，2），

设抛物线解析式为y=ax²+1，

把F（2，2）代入得4a+1=2，解得a= ，

∴抛物线解析式为y= x²+1．