【331871】第四章达标检测卷

北师大版数学九年级上册第四章达标检测卷

一、选择题(每题3分，共30分)

1．已知5x＝6y(y≠0)，那么下列比例式中正确的是(　　)

A.＝ B.＝ C.＝ D.＝

2．下列各组图形中有可能不相似的是(　　)

A．各有一个角是45°的两个等腰三角形 B．各有一个角是60°的两个等腰三角形

C．各有一个角是105°的两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形

3．如图，直线a，b，c被直线l₁，l₂所截，交点分别为点A，C，E和点B，D，F.已知a∥b∥c，且AC＝3，CE＝4，则的值是(　　)

A. B. C. D.

4．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为(　　)

A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)

5．对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ＝P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”．下列变换中不一定是等距变换的是(　　)

A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似

6．如图，为估算河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(　　)

A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m

7．如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(6，0)，B(0，8)，以某点为位似中心，作出△CDE，使它与△AOB位似，且相似比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为(　　)

A．(0，0)，2 B．(2，2)， C．(2，2)，2 D．(1，1)，

8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于(　　)

A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.25

9．如图，在▱ABCD中，E是CD上的一点，DEEC＝2：3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S_△DEF：S_△EBF：S_△ABF等于(　　)

A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25

10．如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC，PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的数量为(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题(每题3分，共24分)

11．假期，爸爸带小明去A地旅游，小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1：500 000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________．

12．若＝＝＝k(a＋b＋c≠0)，则k＝________.

13．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC.若S₁表示以BC为边的正方形的面积，S₂表示长为AD(AD＝AB)，宽为AC的矩形的面积，则S₁与S₂的大小关系为____________．

14．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF＝1，则BC＝________，△ADE与△ABC的周长之比为________，△CFG与△BFD的面积之比为________．

15．如图，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得到正方形A′B′C′D′，则点C的对应点C′的坐标为________．

16．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4 m宽的区域DE，已知点E到窗口下的墙脚C的距离为5 m，窗口AB高2 m，那么窗口底端B距离墙脚C________m.

17．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．

18．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB₁为边作正三角形AB₁C₁，△ABC与△AB₁C₁公共部分的面积记为S₁，再以正三角形AB₁C₁的边B₁C₁上的高AB₂为边作正三角形AB₂C₂，△AB₁C₁与△AB₂C₂公共部分的面积记为S₂，……，以此类推，则S_n＝________(用含n的式子表示，n为正整数)．

三、解答题(19，20题每题8分，24题14分，其余每题12分，共66分)

19．如图，矩形ABCD为一密封的长方体纸盒的纵切面的示意图，AB边上的点E处有一小孔，光线从点E处射入，经纸盒底面上的平面镜反射，恰好从点D处的小孔射出．已知AD＝26 cm，AB＝13 cm，AE＝6 cm.

(1)求证：△BEF∽△CDF；

(2)求CF的长．

20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′.

(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；

(2)计算△A′B′C′的面积．

21．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.

(1)求证：△ADF∽△DEC；

(2)若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．

22．如图，某水平地面上有一建筑物AB，在点D和点F处分别竖有2米高的标杆CD和EF，两标杆相距52米，并且建筑物AB，标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，点G与建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆EF后退4米到点H处，点H与建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物AB的高度．

23．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0<t<6)，那么：

(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论．

(3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？

24．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.

(1)当α＝0°和α＝180°时，求的值．

(2)试判断当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．

(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．

答案

一、1.B　2.A

3．C　【点拨】因为a∥b∥c，所以＝＝＝.

4．A　5.D

6．B　【点拨】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°.

又∵∠AEB＝∠DEC，

∴△ABE∽△DCE.

∴＝，即＝.

∴AB＝40 m.

7．B

8．B　【点拨】由∠A＝90°，CF⊥BE，AD∥BC，易证△ABE∽△FCB.

∴＝.由AE＝×3＝1.5，

AB＝2，易得BE＝2.5，

∴＝.解得CF＝2.4.

9．D

10．C　【点拨】设AP＝x，则BP＝8－x，

当△PAE∽△PBC时，＝，

∴AE·PB＝BC·PA，

即3(8－x)＝4x，解得x＝.

当△PAE∽△CBP时，＝，

∴AE·BC＝PA·PB，

即3×4＝x(8－x)，解得x＝2或6.

故满足条件的点P的数量为3个．

二、11.160 km　【点拨】设小明所居住的城市与A地的实际距离为x km，根据题意可列比例式为＝，解得x＝160.

12．2　【点拨】∵＝＝＝k(a＋b＋c≠0)，

∴＝k，故k＝2.

易错提醒：在运用等比性质时，注意分母的和不等于0这个条件．

13．S¹＝S²　【点拨】∵点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC，

∴BC²＝AC·AB.

又∵S₁＝BC²，S₂＝AC·AD＝AC·AB，

∴S₁＝S₂.

14．2；12；16

15．(2，1)或(0，－1)

易错提醒：此类题要注意多种可能：位似图形可能位于位似中心的同侧，也可能位于位似中心的两侧，要分情况进行讨论．

16．2.5　【点拨】由题意得CE＝5 m，AB＝2 m，DE＝4 m.

∵AD∥BE，∴＝，即＝，

解得BC＝2.5 m，即窗口底端B距离墙脚C 2.5 m.

17.或3　【点拨】∵∠ABC＝∠FBP＝90°，∴∠ABP＝∠CBF.当△MBC∽△ABP时，BM∶AB＝BC∶BP，得BM＝4×4÷3＝；当△CBM∽△ABP时，BM∶BP＝CB∶AB，得BM＝4÷4×3＝3.

18.×　【点拨】在正三角形ABC中，AB₁⊥BC，∴BB₁＝BC＝1.

在Rt△ABB₁中，AB¹＝＝＝，

根据题意可得△AB₂B₁∽△AB₁B，记△AB₁B的面积为S，

∴＝.∴S₁＝S.

同理可得S₂＝S₁，S₃＝S₂，S₄＝S₃，….

又∵S＝×1×＝，

∴S₁＝S＝×，

S₂＝S₁＝×，S₃＝S₂＝×，S₄＝S₃＝×，…，S_n＝×.

三、19.(1)证明：∵FG⊥BC，∠EFG＝∠DFG，∴∠BFE＝∠CFD.

又∵∠B＝∠C＝90°，

∴△BEF∽△CDF.

(2)解：∵AD＝26 cm，AB＝13 cm，

∴BC＝26 cm，CD＝13 cm.

设CF＝x cm，则BF＝(26－x)cm.

∵AB＝13 cm，AE＝6 cm，

∴BE＝7 cm，

由(1)得△BEF∽△CDF，

∴＝，即＝，

解得x＝16.9，即CF＝16.9 cm.

20．解：(1)如图．

(2)S△A′B′C′＝4×4－×2×2－×2×4－×2×4＝6.

21．(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，∠B＋∠C＝180°，

∴∠ADE＝∠DEC.

又∵∠AFE＝∠B，∠AFE＋∠AFD＝180°，

∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC.

(2)解：在▱ABCD中，CD＝AB＝8.

∵△ADF∽△DEC，∴＝，

即＝，解得DE＝12.

∵AE⊥BC，AD∥BC，∴AE⊥AD，即∠EAD＝90°.

在Rt△AED中，由勾股定理，得AE＝＝6.

22．解：由题意得，CD＝DG＝EF＝2米，DF＝52米，FH＝4米．

∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，

∴∠ABH＝∠CDG＝∠EFH＝90°.

又∵∠CGD＝∠AGB，∠EHF＝∠AHB，

∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，

∴＝，＝，

即＝，

＝，

∴＝，＝，

∴＝，

解得BD＝52米，

∴＝，解得AB＝54米．

答：建筑物AB的高度为54米．

23．解：(1)由题意知AP＝2t cm，DQ＝t cm，QA＝(6－t)cm，当QA＝AP时，

△QAP是等腰直角三角形，

所以6－t＝2t，解得t＝2.

即t为2时，△QAP为等腰直角三角形．

(2)四边形QAPC的面积＝S△QAC＋S△APC＝AQ·CD＋AP·BC＝(36－6t)＋6t＝36(cm²)．在P，Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．

(3)分两种情况：

①当＝时，△QAP∽△ABC，则＝，即t＝1.2；

②当＝时，△PAQ∽△ABC，则＝，即t＝3.

所以当t＝1.2或3时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似．

24．解：(1)当α＝0°时，∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4.

∵点D，E分别是边BC，AC的中点，

∴BD＝4，AE＝EC＝AC.

∵∠B＝90°，∴AC＝＝4.∴AE＝CE＝2.∴＝＝.

当α＝180°时，如图①，

易得AC＝4，CE＝2，CD＝4，

∴＝＝＝.

(2)无变化．证明：在题图①中，

易知DE是△ABC的中位线，

∴DE∥AB.

∴＝，∠EDC＝∠B＝90°.

在题图②中，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，

∴＝仍然成立．

∴＝.

又∵∠ACE＝∠BCD＝α，

∴△ACE∽△BCD.∴＝.

由(1)可知AC＝4.

∴＝＝.∴＝.

∴的大小不变．

(3)当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，如图②，∴BD＝AC＝4；当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD＝＝8.又易知DE＝2，∴AE＝6.∵＝，∴BD＝.

综上，BD的长为4或.