【331841】第二章 二次函数周周测7（2.5）

2.5 二次函数与一元二次方程

一、 选择题

1. 二次函数y＝ax ² ＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)．则代数式1－a－b的值为（  ）

A．－3 B．－1 C．2 D．5

2. 发射一枚炮弹，经过x秒后炮弹的高度为y米，x，y满足y=ax ² +bx，其中a，b是常数，且a≠0．若此炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等，则炮弹达到最大高度的时刻是（　　）

A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒

3. 已知二次函数y＝kx ² －7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（ ）

A．k>－ B．k<－ 且k≠0

C．k≥－ D．k>－ 且k≠0

4. 函数 的图像如图所示，那么关于x的方程 的根的情况是（ ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号实数根

C．有两个相等的实数根 D．无实数根

5. 如果抛物线 y ＝－ x ² +2( m －1) x + m +1与 x 轴交于 A 、 B 两点，且 A 点在 x 轴正半轴上， B 点在 x 轴的负半轴上，则 m 的取值范围应是（　　）

A． m ＞1   B． m ＞－1   C． m ＜－1   D． m ＜1

6. 根据下列表格中的对应值，判断 y ＝ ax ² + bx + c ( a ≠0， a 、 b 、 c 为常数)与 x 轴的交点的横坐标的取值范围是（　　）

A．0＜ x ＜3.23  B．3.23＜ x ＜3.24

C．3.24＜ x ＜3.25   D．3.25＜ x ＜3.26

7. 若二次函数y=Ax ² +C，当x取x ₁ ，x ₂ （x ₁ ≠x ₂ ）时函数值相等，则当x取x ₁ +x ₂ 时，函数值为（ ）

A．A+C B．A-C C．-C D．C

8. 已知二次函数 的图象与x轴的一个交点为（1，0）则关于x的一元二次方程 的两实数根是（  ）

A． B．

C． D．

9. 若关于x的二次函数 与 x轴只有一个交点，则实数k的值为（ ）

A．－1 B．－2 C．1 D．2

10. 已知抛物线 y ＝ x ² －2 bx +4的顶点在 x 轴上，则 b 的值一定是（　　）

A．1   B．2   C．－2  D．2或－2

11. 二次函数 y ＝ x ² －3 x + 的图象与 x 轴交点的个数是（　　）

A．0   B．1   C．2   D．不能确定

二、填空题

12. 已知抛物线 与x轴有两个交点，那么一元二次方程 的根的情况是 .

13. 已知二次函数 ，若当x取 ， （ ≠ ）时，函数值相等，则当x取 + 时，函数值为    .

14. 已知抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为 则它与x轴的另一个交点
为_______________．

15. 二次函数y=x ² +2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x ² +2x+k=0的一个解x ₁ =3，另一个解x ₂ =  

16. 在二次函数y=x ² +bx+c中，若系数b和c可在1，2，3，4，5，6中取值，则其中与x轴有交点的抛物线的个数是_________________.

17. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用时间x(分)之间满足关系y=-0.1x ² +2.6x+43(0≤x≤30),y值越大，表示接受能力越强，在第______________分钟时，学生接受能力最强.

三、解答题

18. 利用二次函数的图像求下列一元二次方程的根.
(1)4x2-8x+1=0;   (2)x2-2x-5=0;
(3)2x2-6x+3=0;   (3)x2-x-1=0.

19. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°， BC∥x轴，抛物线y=ax ² －2ax＋3经过△ABC的三个顶点，并且与x轴交于点D、E，点A为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）连接CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

20. 已知关于x一元二次方程 有两个不相等的实数根
（1）求k取值范围；
（2）当k最小的整数时，求抛物线 的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；
（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线 有三个不同公共点时m值．

21. 已知过原点O的两直线与圆心为M（0，4），半径为2的圆相切，切点分别为P、Q，PQ交y轴于点K，抛物线经过P、Q两点，顶点为N（0，6），且与x轴交于A、B两点．

（1）求点P的坐标；
（2）求抛物线解析式；
（3）在直线y=nx+m中，当n=0，m≠0时，y=m是平行于x轴的直线，设直线y=m与抛物线相交于点C、D，当该直线与⊙M相切时，求点A、B、C、D围成的多边形的面积（结果保留根号）．

答案

一、选择题

1、 B. 2、 B 3、 D 4、 C． 5、B　 6、C　 7、 D 8、 B. 9、 A．
10、D　 11、C　

二、填空题

12、 有两个不相等的实数根
13、 -3
14、 （5.5，0）
15、 -1
16、19

17、13

三、解答题

18、(1)x1≈1.9,x2≈0.1;(2)x1≈3.4,x2≈-1.4;
(3)x1≈2.7,x2≈0.6;(4)x1≈1.6,x2≈-0.6
19、（1）∵y=ax ² －2ax＋3
∴它的对称轴为直线x=
令x=0，则y=3,
∴B（0，3）
根据抛物线的对称性知：C（2，3），A（1，4）
把A（1，4）代入y=ax ² －2ax＋3，得：a=-1
∴抛物线的解析式为：y=-x ² +2x+3；
（2）存在.分两种情况：
（1）当CD为直角边时，设P（1，a）：
i)当点P在x轴上方时，DP= ，CP= ， ，
∵CD ² +CA ² =AD ²
∴18+2=4+a ²
即：a ² =16
解得a=±4（负舍去）
∴a=4
ii)当点P在x轴下方时，CD ² +DP ² =CP ²
∴
解得：a=-2
(2)当CD为斜边时，同理可以得出：a=
综上所述，点P的坐标分别为：P ₁ (1，4)  P ₂ (1，-2) 
20、（1）由题意，得 ，
∴k＞-1，
∴k的取值范围为k＞-1.
（2）∵k＞-1，且k取最小的整数，∴k=0．
∴ .
则抛物线的顶点坐标为（1，-4）.
∵ 的图象与x轴相交，
∴ ，∴解得：x=-1或3.
∴抛物线与x轴相交于A（-1，0），B（3，0）；
（3）翻折后所得新图象如图所示．

平移直线y=x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．
①当直线位于l ₁ 时，此时l ₁ 过点A（-1，0），
∴0=-1+m，即m=1．  
②当直线位于l ₂ 时，此时l ₂ 与函数 的图象有一个公共点，
∴方程x+m=-x ² +2x+3，即x ² -x-3+m=0有两个相等实根.
∴△=1-4（m-3）=0，即m= ．
当m= 时，x ₁ =x ₂ = 满足-1≤x≤3，
由①②知m=1或m= ．
考点：1.抛物线与x轴的交点；2.二次函数图象与几何变换；3.一元二次方程根的判别式；4.分类思想的应用．

21、（1）如图1，

∵⊙M与OP相切于点P，
∴MP⊥OP，即∠MPO=90°．
∵点M（0，4）即OM=4，MP=2，
∴OP=2 ．
∵⊙M与OP相切于点P，⊙M与OQ相切于点Q，
∴OQ=OP，∠POK=∠QOK．
∴OK⊥PQ，QK=PK．
∴PK= ．
∴OK= =3．
∴点P的坐标为（ ，3）．
（2）如图2，

设顶点为（0，6）的抛物线的解析式为y=ax ² +6，
∵点P（ ，3）在抛物线y=ax ² +6上，
∴3a+6=3．
解得：a=1．
则该抛物线的解析式为y=x ² +6．
（3）当直线y=m与⊙M相切时，
则有 =2．
解得；m ₁ =2，m ₂ =6．
①m=2时，如图3，

则有OH=2．
当y=2时，解方程x ² +6=2得：x=±2，
则点C（2，2），D（2，2），CD=4．
同理可得：AB=2 ．
则S _梯形ABCD = （DC+AB）OH= ×（4+2 ）×2=4+2 ．
②m=6时，如图4，
此时点C、点D与点N重合．

S _△ABC = ABOC= ×2 ×6=6 ．
综上所述：点A、B、C、D围成的多边形的面积为4+2 或6 ．