【331760】第27章达标检测卷

第二十七章达标检测卷

一、选择题(每题3分，共30分)

1．下列各组线段中，成比例线段的是(　　)

A．1，2，3，4 B．1，2，2，4 C．3，5，9，13 D．4，6，7，8

2．如图，可以判定△ABC∽△A′B′C′的条件是(　　)

A．∠A＝∠B′＝∠C′ B.＝且∠A＝∠C′

C.＝且∠A＝∠A′ D．以上条件都不对

3．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，BC＝12，则DE的长是(　　)

A．3 B．4 C．5 D．6

4．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为(　　)

A．(2，1) B．(3，2) C．(3，3) D．(3，1)

5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到的；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1:2；④两个相似多边形的面积比为4:9，则周长比为16:81.其中正确的有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．如图，为估算某河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(　　)

A．60 m B．50 m C．40 m D．30 m

7．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是(　　)

A．(6，0) B．(6，3) C．(6，5) D．(4，2)

8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E在BC上，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于(　　)

A. B．1 C. D．2

9．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE:EC＝2:3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S_△DEF:S_△EBF:S_△ABF＝(　　)

A．2:5:25 B．4:9:25 C．2:3:5 D．4:10:25

10．如图，在△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S_△FAB∶S_{四边形CBFG}＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD²＝FQ·AC，其中正确结论的个数是(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题 (每题3分，共30分)

11．比例尺为1∶4000 000的地图上，两城市间的图上距离为3 cm，则这两城市间的实际距离为________km.

12．已知△ABC∽△A′B′C′，且其相似比是3:4，△ABC的周长是27 cm，则△A′B′C′的周长是________cm.

13．如果＝，那么＝________.

14．如图，在▱ABCD中，E在DC上，若DE:EC＝1:2，则BFBE＝________.

15．如图，点D，E分别在AB，AC上，且∠ABC＝∠AED.若DE＝4，AE＝5，BC＝8，则AB的长为________．

16．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标为________．

17．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10.四边形BDEF是△ABC的内接正方形(点D，E，F在三角形的边上)，则此正方形的面积是________．

18．如图，身高为1.7 m的小明AB站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A，E，C′在一条直线上．已知河BD的宽度为12 m，BE＝3 m，则树CD的高度为________．

19．如图，将边长为6 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是________cm.

20．如图，A，B，C，D依次为一直线上四个点，BC＝2，△BCE为等边三角形，⊙O过A，D，E三点，且∠AOD＝120°，设AB＝x，CD＝y，则y关于x的函数解析式为________．

三、解答题(第21～25题每题8分，第26，27题每题10分，共60分)

21．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小．

22．如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE∥BC，AD:BD＝1:3.

(1)求证：△ADE∽△ABC；

(2)若DE＝2，求BC的长．

23．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′.

(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；

(2)计算△A′B′C′的面积．

24．如图，明珠大厦的顶部建有一直径为16 m的“明珠”，它的西面45 m处有一高16 m的小型建筑CD，人站在CD的西面附近无法看到“明珠”的外貌，如果向西走到点F处，可以开始看到“明珠”的顶端B；若想看到“明珠”的全貌，必须向西至少再走12 m．求大厦主体建筑的高度AE(不含顶部“明珠”部分的高度)．

25．如图，在△ABC中，AB＝10 cm，BC＝20 cm，点P从点A开始沿AB边以2 cm/s的速度向点B移动，点Q从点B开始沿BC边以4 cm/s的速度向点C移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，问经过多久，△PBQ与△ABC相似？

26．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点D为AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P.

(1)若PC＝PF，求证：AB⊥DE；

(2)点D在AC的什么位置时，才能使AD²＝DE·DF，为什么？

27．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.

(1)当α＝0°和α＝180°时，求的值．

(2)试判断当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．

(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．

答案

一、1.B　2.C　3.B　4.A　5.B

6．C　点拨：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°.

又∵∠AEB＝∠DEC，

∴△ABE∽△DCE.

∴＝，即＝.

∴AB＝40 m.

7．B

8．C　点拨：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝5，∠D＝∠B＝∠C＝90°.∵AF平分∠DAE，EF⊥AE，∴∠DAF＝∠FAE，∠AEF＝∠D＝90°.又∵AF＝AF，∴△ADF≌△AEF，∴AE＝AD＝5.在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE＝＝3，∴EC＝5－3＝2.∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∠AEB＋∠FEC＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△ABE∽△ECF，∴＝，∴＝，∴CF＝.故选C.

9．D

10．D　点拨：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，∴∠CAD＋∠FAG＝90°.∵FG⊥CA，∴∠G＝90°＝∠ACB，∴∠AFG＋∠FAG＝90°.∴∠DAC＝∠AFG.在△FGA和△ACD中，∴△FGA≌△ACD(AAS)，∴AC＝FG，①正确；∵BC＝AC，∴FG＝BC.∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF＝90°，S_△FAB＝FB·FG＝S_{四边形CBFG}，②正确；∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，∴∠ABC＝∠ABF＝45°，③正确；易知∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC∶AD＝FE∶FQ，∴AD·FE＝AD2＝FQ·AC，④正确．

二、11.120

12．36　点拨：∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比是3:4，∴△ABC与△A′B′C′的周长比是3:4.又∵△ABC的周长是27 cm，∴△A′B′C′的周长是27×＝36(cm)．

13.　点拨：由题意可设x＝2a，y＝5a(a≠0)，则＝＝＝.

14．3:5

15．10　点拨：∵∠ABC＝∠AED，∠BAC＝∠EAD，∴△AED∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AB＝10.

16．(，)

17．25

18．5.1 m

19．12　点拨：由折叠的性质，得DF＝EF，设EF＝x cm，则AF＝(6－x) cm.∵点E是AB的中点，∴AE＝BE＝×6＝3(cm)．在Rt△AEF中，由勾股定理，得AE²＋AF²＝EF²，即3²＋(6－x)²＝x²，解得x＝，∴AF＝6－＝(cm)．∵∠FEG＝∠D＝90°，∴∠AEF＋∠BEG＝90°.∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠AFE＝∠BEG.又∵∠A＝∠B＝90°，∴△AEF∽△BGE，∴＝＝，即＝＝，解得BG＝4 cm，EG＝5 cm，∴△EBG的周长是3＋4＋5＝12(cm)．

20．y＝(x＞0)

三、21.解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴∠H＝∠D＝95°.

∴∠α＝360°－95°－118°－67°＝80°.

∵四边形ABCD∽四边形EFGH，

∴＝.

即＝.解得x＝14.

22．(1)证明：∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，

∴△ADE∽△ABC.

(2)解：∵△ADE∽△ABC，∴＝.

∵AD:BD＝1:3，∴AD:AB＝1:4，∴＝.

又DE＝2，∴BC＝4DE＝8.

23．解：(1)如图．

(2)S_{△A′B′C′}＝4×4－×2×2－×2×4－×2×4＝6.

24．解：设AE＝h m，∵CD∥AB，∴△FAB∽△FCD，∴＝，

即＝，∴AF＝ m.

同理易证△AGE∽△CGD，∴＝，

即＝，∴AG＝ m.

又∵AG－AF＝12 m，∴－＝12.

整理得h²－16h－960＝0，

∴h＝40或h＝－24(不合题意，舍去)．

∴大厦主体建筑的高度AE为40 m.

25．解：设经过t s，△PBQ与△ABC相似．

则AP＝2t cm，BQ＝4t cm，BP＝(10－2t)cm.

当△PBQ∽△ABC时，有＝，

即＝，

解得t＝2.5.

当△QBP∽△ABC时，有＝，

即＝，解得t＝1.

综上所述，经过2.5 s或1 s，△PBQ与△ABC相似．

26．(1)证明：如图，连接OC.

∵PC＝PF，∴∠PCF＝∠PFC＝∠AFH.

又∵PC是⊙O的切线，

∴∠PCF＋∠ACO＝90°.

∵OC＝OA，

∴∠ACO＝∠CAO.

∴∠AFH＋∠CAO＝90°.

∴∠FHA＝90°.∴AB⊥DE.

(2)解：点D在AC的中点时，AD²＝DE·DF.

理由：如图，连接AE，

∵点D是AC的中点，

∴DC＝DA，

∴∠CAD＝∠AED.

又∵∠FDA＝∠ADE，

∴△ADF∽△EDA，

∴＝，

∴AD²＝DE·DF.

27．解：(1)当α＝0°时，∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4.

∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴BD＝4，AE＝EC＝AC.

∵∠B＝90°，∴AC＝＝4，∴AE＝CE＝2，

∴＝＝.

当α＝180°时，如图①，易得AC＝4，CE＝2，CD＝4，

∴＝＝＝.

(2)无变化．

证明：在题图①中，∵DE是△ABC的中位线，

∴DE∥AB，∴＝，∠EDC＝∠B＝90°.

在题图②中，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，

∴＝仍然成立．

又∵∠ACE＝∠BCD＝α，∴△ACE∽△BCD，∴＝.

在Rt△ABC中，AC＝＝＝4.

∴＝＝，∴＝，∴的大小不变．

(3)当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，如图②，∴BD＝AC＝4；当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD＝＝8.又易知DE＝2，∴AE＝6.∵＝，∴BD＝.综上，BD的长为4或.