【331748】第23章检测卷1

第23章达标检测卷

(150分，120分钟)

一、选择题(每题4分，共40分)

1．cos 45°的值等于(　　)

A. B. C. D.

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则cos A的值是(　　)

A. B. C. D.

3．如图，要测量河两岸A，C两点间的距离，已知AC⊥AB，测得AB＝a，∠ABC＝α，那么AC等于(　　)

A．a·sin α B．a·cos α

C．a·tan α D.

(第3题)

　　　　　 (第5题)

　　　　　 (第6题)

4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列式子一定成立的是(　　)

A．a＝c·sin B B．a＝c·cos B

C．b＝c·sin A D．b＝

5．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(3，m)，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值是(　　)

A. B. C. D.

6．如图所示，在△ABC中， cos B＝，sin C＝，BC＝7，则△ABC的面积是(　　)

A. B．12 C．14 D．21

7．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cos A＝，BE＝2，则tan ∠DBE的值是(　　)

A. B．2 C. D.

8．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若BC＝2，则DE＋DF＝(　　)

A．1 B. C. D.

(第7题)

　　　　　　 (第8题)

　　　　　　 (第10题)

9．阅读材料：因为cos 0°＝1，cos 30°＝，cos 45°＝，cos 60°＝，cos 90°＝0，所以，当0°＜α＜90°时，cosα随α的增大而减小．解决问题：已知∠A为锐角，且cos A＜，那么∠A的取值范围是(　　)

A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜60° C．60°＜∠A＜90° D．30°＜∠A＜90°

10．如图，小叶与小高欲测量公园内某棵树DE的高度．他们在这棵树正前方的一座楼亭前的台阶上的点A处测得这棵树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得这棵树顶端D的仰角为60°.已知点A的高度AB为3 m，台阶AC的坡度为1∶，且B，C，E三点在同一条直线上，那么这棵树DE的高度为(　　)

A．6 m B．7 m C．8 m D．9 m

二、填空题(每题5分，共20分)

11．若∠A是锐角，且sinA是方程2x²－x＝0的一个根，则sinA＝________．

12．如图所示，在等腰三角形ABC中，tan A＝，AB＝BC＝8，则AB边上的高CD的长是________．

(第12题)

　　　　　　　　 (第13题)

13．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC对称，若DM＝1，则tan ∠ADN＝________．

14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，且sin 30°＝，sin 45°＝，sin 60°＝，cos 30°＝，cos 45°＝，cos 60°＝；观察上述等式，当∠A与∠B互余时，请写出∠A的正弦函数值与∠B的余弦函数值之间的关系：______________．

三、解答题(19～21题每题12分，22题14分，其余每题10分，共90分)

15．计算：

(1)2sin 30°＋cos 45°－tan 60°；　　　　(2)tan²30°＋cos²30°－sin²45°tan 45°.

16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠B＝60°，解这个直角三角形．

17．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝.求：

(1)BC的长；

(2)sin ∠ADC的值．

(第17题)

18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC.

(1)求证：AC＝BD；

(1)若sin C＝，BC＝12，求△ABC的面积．

(第18题)

19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC，AD＝7，tan A＝2.求CD的长．

(第19题)

20．如图，某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点，已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米，塔高AB为123米(AB垂直地面BC)，在地面C处测得点E的仰角α＝45°，从点C沿CB方向前行40米到达D点，在D处测得塔尖A的仰角β＝60°，求点E离地面的高度EF.(结果精确到1米，参考数据≈1.4，≈1.7)

(第20题)

21．为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，如图是一辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45 cm和60 cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20 cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB＝75°.(参考数据：sin 75°≈0.966，cos 75°≈0.259，tan 75°≈3.732)

(1)求车架档AD的长；

(2)求车座点E到车架档AB的距离(结果精确到1 cm)．

(第21题)　　

22．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD.大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．

(1)求两渔船M，N之间的距离(结果精确到1米)．

(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25.为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i＝1∶1.75.施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备．工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？

(参考数据：tan 31°≈0.60，sin 31°≈0.52)

(第22题)

参考答案

1.B

2．B　点拨：由余弦定义可得cos A＝，因为AB＝10，AC＝6，所以cos A＝＝，故选B.

3．C　点拨：因为tan α＝，所以AC＝AB·tan α＝a·tan α.

4．B　点拨：在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据余弦的定义可得，cos B＝，即a＝c·cos B.

5．A　点拨：由题意可知m＝4.根据勾股定理可得OP＝5，所以sin α＝.

6．A　点拨：过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝3x，∵cos B＝，∴∠B＝45°，则BD＝AD＝3x.又sin C＝＝，∴AC＝5x，则CD＝4x.∵BC＝BD＋CD＝3x＋4x＝7，∴x＝1，AD＝3，故S_△ABC＝AD·BC＝.

7．B

8．C　点拨：设BD＝x，则CD＝2－x，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴DE＝BDsin 60°＝x，DF＝CDsin 60°＝.∴DE＋DF＝x＋＝.

9．C　点拨：由0＜cos A＜，得cos 90°＜cos A＜cos 60°，故60°＜∠A＜90°.

10．D　点拨：过点A作AF⊥DE于点F，则四边形ABEF为矩形，∴AF＝BE，EF＝AB＝3 m．设DE＝x m，在Rt△CDE中，CE＝＝x m．在Rt△ABC中，∵＝，AB＝3 m，∴BC＝3 m．在Rt△AFD中，DF＝DE－EF＝(x－3) m，∴AF＝＝(x－3) m．∵AF＝BE＝BC＋CE，∴(x－3)＝3＋x，解得x＝9，∴这棵树DE的高度为9 m.

11.　点拨：解方程2x²－x＝0，得x＝0或x＝.因为∠A是锐角，所以0＜sin A＜1，所以sin A＝.

12．4　点拨：∵tan A＝，∴∠A＝30°.又AB＝BC，∴∠ACB＝∠A＝30°，∴∠DBC＝60°，∴CD＝BC·sin∠DBC＝8×＝4.

(第13题)

13.　点拨：如图，过N作NG⊥AD于点G.∵正方形ABCD的边长为4，M，N关于AC对称，DM＝1，∴MC＝NC＝3，∴GD＝3.而GN＝AB＝4，∴tan ∠ADN＝＝.

14．sin A＝cos B

15.解：(1)原式＝2×＋×－×

＝ 1＋1－3

＝ －1.

(2)原式＝＋－×1

＝ ＋－

＝ .

16．解：因为∠B＝60°，所以∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.

因为sin A＝，所以＝，得AB＝12.

因为tan B＝，所以＝，得AC＝6.

(第17题)

17．解：(1)如图，过点A作AE⊥BC于点E.

∵cos C＝，∴∠C＝45°.

在Rt△ACE中，CE＝AC·cos C＝1，

∴AE＝CE＝1.

在Rt△ABE中，∵tan B＝，∴＝.

∴BE＝3AE＝3.∴BC＝BE＋CE＝3＋1＝4.

(2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝2.

∴DE＝CD－CE＝2－1＝1.∴DE＝AE.

又∵AE⊥BC，∴∠ADC＝45°.∴sin ∠ADC＝.

18．(1)证明：∵AD⊥BC，∴tan B＝，cos∠DAC＝.

又tan B＝cos∠DAC，∴＝，∴AC＝BD.

(2)解：由sin C＝＝，可设AD＝12x，则AC＝13x，由勾股定理得CD＝5x.由(1)知AC＝BD，∴BD＝13x，∴BC＝5x＋13x＝12，解得x=，∴AD＝8，∴△ABC的面积为×12×8＝48.

(第19题)

19．解：如图所示，延长AB、DC交于点E，∵∠ABC＝∠D＝90°，∴∠A＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠ECB，∴tanA＝tan∠ECD＝2.∵AD＝7，∴DE＝14，设BC＝AB＝x，则BE＝2x，∴AE＝3x，CE＝x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：(3x)²＝7²＋14²，解得x＝，∴CE＝×＝，则CD＝14－＝.

20.解：在Rt△ADB中，tan 60°＝，

∴DB＝＝41米．

又∵FB＝OE＝10米，

∴CF＝DB－FB＋CD＝41－10＋40＝(41＋30)(米)．

∵α＝45°，∴EF＝CF≈100米．

答：点E离地面的高度EF约为100米．

21．解：(1)在Rt△ACD中，AC＝45 cm，DC＝60 cm，

∴AD＝＝75(cm)，

∴车架档AD的长是75 cm.

(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F，

∵AE＝AC＋CE＝45＋20＝65(cm)，

∴EF＝AEsin 75°＝65 sin 75°≈62.79≈63(cm)，

∴车座点E到车架档AB的距离约为63 cm.

22．解：(1)由题意得∠E＝90°，∠PME＝α＝31°，∠PNE＝β＝45°，PE＝30米．

在Rt△PEN中，PE＝NE＝30米，

在Rt△PEM中，tan 31°＝，∴ME≈＝50(米)．

∴MN＝EM－EN≈50－30＝20(米)．

答：两渔船M，N之间的距离约为20米．

(2)如图，过点D作DG⊥AB于G，坝高DG＝24米．

(第22题)

∵背水坡AD的坡度i＝1∶0.25，∴DG∶AG＝1∶0.25，

∴AG＝24×0.25＝6(米)．

∵背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，

∴DG∶GH＝1∶1.75，∴GH＝24×1.75＝42(米)．

∴AH＝GH－GA＝42－6＝36(米)．

∴S_△ADH＝AH·DG＝×36×24＝432(平方米)．

∴需要填筑的土石方为432×100＝43 200(立方米)．

设施工队原计划平均每天填筑土石方x立方米，

根据题意，得10＋＝－20.

解方程，得x＝864.

经检验：x＝864是原方程的根且符合题意．

答：施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米．