【331744】第22章检测卷1

第22章达标检测卷

(150分，90分钟)

一、选择题(每题4分，共40分)

1．若＝，则等于(　　)

A. B. C. D.

2．若两个相似多边形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为(　　)

A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．4∶1

(第3题)

3．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD＝3，BD＝6，AE＝2，则AC的长为(　　)

A．4 B．5

C．6 D．8

4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与△ABC相似的是(　　)

(第4题)

5．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是(　　)

A．AB²＝BC·BD B．AB²＝AC·BD

C．AB·AD＝BD·BC D．AB·AD＝AD·CD

(第5题)

　　　　　 (第6题)

　　　　　 (第7题)

6．如图，为估算某河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C， D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20 m， CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(　　)

A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m

7．如图，△ABO是由△A′B′O经过位似变换得到的，若点P′(m，n)在△A′B′O上，则点P′经过位似变换后的对应点P的坐标为(　　)

A．(2m，n) B．(m，n) C．(m，2n) D．(2m，2n)

8．如图，点E为▱ABCD的AD边上一点，且AE∶ED＝1∶3，点F为AB的中点，EF交AC于点G，则AG∶GC等于(　　)

A．1∶2 B．1∶5 C．1∶4 D．1∶3

(第8题)

　　　 (第9题)

　　　 (第10题)

9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为(　　)

A．1 B．2 C．12－6 D．6－6

10．如图，在钝角三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分 ∠AEB交AB于点M，取BC的中点D，AC的中点N，连接DN，DE，DF.下列结论：①EM＝DN；②S_△CND＝S_四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF.其中正确的结论有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题(每题5分，共20分)

11．假期，爸爸带小明去A地旅游．小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1∶500 000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________km.

12．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．

(第12题)

　　　　 (第13题)

　　　　 (第14题)

13．如图，过原点O的直线与反比例函数y₁，y₂的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y₁＝，则y₂与x的函数表达式是____________．

14．如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB₁为边作正△AB₁C₁，△ABC与△AB₁C₁公共部分的面积记为S₁，再以正△AB₁C₁边B₁C₁上的高AB₂为边作正△AB₂C₂，△AB₁C₁与△AB₂C₂公共部分的面积记为S₂，…，依次类推，则S_n＝________.(用含n的式子表示)

三、解答题(16题10分，19、20题每题14分，21题16分，其余每题12分，共90分)

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5，2)．

(第15题)

(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁；

(2)将△A₁B₁C₁的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2，得到对应的点A₂，B₂，C₂，请画出△A₂B₂C₂；

(3)求△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂的面积比，即S△A₁B₁C₁∶S△A₂B₂C₂＝________．(不写解答过程，直接写出结果)

16．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且＝.求证：DE∥AC.

(第16题)

17．如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N(不含A，B)，使得△CDM与△MAN相似？若能，请求出AN的长；若不能，请说明理由．

(第17题)

18．如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两景观灯的间隔都是10 m，在与河岸DE的距离为16 m的A处(AD⊥DE)看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．

(第18题)

19．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝24，BC＝12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动．如果E，F同时出发，用t(0≤t≤6)秒表示运动的时间．

请解答下列问题：

(1)当t为何值时，△CEF是等腰直角三角形？

(2)当t为何值时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似？

(第19题)

20．如图所示，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF.

(1)求证：△ADE≌△DCF；

(2)若E是CD的中点，求证：Q为CF的中点；

(3)连接AQ，设S_△CEQ＝S₁，S_△AED＝S₂，S_△EAQ＝S₃，在(2)的条件下，判断S₁＋S₂＝S₃是否成立？并说明理由．

(第20题)

21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx²－8mx＋4m＋2(m＞0)与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B(x₁，0)，C(x₂，0)，且x₂－x₁＝4.直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E(t，0)，过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P，Q.

(1)求抛物线对应的函数表达式；

(2)当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；

(3)当t＞2时，是否存在点P，使以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似．若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

(第21题)

参考答案

1.D　2.B

3．C　点拨：因为DE∥BC，所以AE∶AC＝AD∶AB＝3∶9＝1∶3，则AC＝6.

4．A

5．A　点拨：因为△ABC∽△DBA，所以＝＝.所以AB²＝BC·BD，AB·AD＝AC·DB.

6．B　点拨：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC＝∠DCE＝90°.又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE.∴＝.即＝，∴AB＝40 m.

7．D　点拨：将△A′B′O经过位似变换得到△ABO，由题图可知，点O是位似中心，位似比为A′B′∶AB＝1∶2，所以点P′(m，n)经过位似变换后的对应点P的坐标为(2m，2n)．

8．B　点拨：延长FE，CD交于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，易证△AFE∽△DHE，∴＝，即＝，∴HD＝3AF.易证△AFG∽△CHG，∴＝＝＝.故选B.

9．D　点拨：如图，过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，∵AB＝AC，AD＝AG，∴AD∶AB＝AG∶AC.又∠BAC＝∠DAG，∴△ADG∽△ABC.∴∠ADG＝∠B.∴DG∥BC.∴AN⊥DG.∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥DG.∴FH⊥BC.∵AB＝AC＝18，BC＝12，∴BM＝BC＝6.∴AM＝＝12.∵DG∥BC，∴＝.即＝.∴AN＝6.∴MN＝AM－AN＝6.∴FH＝MN－GF＝6－6.故选D.

(第9题)

10．D　点拨：∵△ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，

∴EM是AB边上的中线．∴EM＝AB.

∵点D、点N分别是BC，AC的中点，∴DN是△ABC的中位线．

∴DN＝AB，DN∥AB.∴EM＝DN.①正确．

∵DN∥AB，∴△CDN∽△CBA.

∴S_△CND∶S_△CAB＝(DN∶AB)²＝1∶4.

∴S_△CND＝S_四边形ABDN.②正确．

连接DM，FN，则DM是△ABC的中位线，

∴DM＝AC，DM∥AC.

∴四边形AMDN是平行四边形．

∴∠AMD＝∠AND.

∴∠EMD＝∠FND.

∵FN是AC边上的中线，∴FN＝AC.

∴DM＝FN，∴△DEM≌△FDN.

∴DE＝DF.③正确．

∵∠MDN＋∠AMD＝180°，∴∠EDF＝∠MDN－(∠EDM＋∠FDN)＝180°－∠AMD－(∠EDM＋∠DEM)＝180°－(∠AMD＋∠EDM＋∠DEM)＝180°－(180°－∠AME)＝180°－(180°－90°)＝90°.

∴DE⊥DF.④正确．故选D.

11.160　点拨：设小明所居住的城市与A地的实际距离为x km，根据题意可列比例式为＝，解得x＝160.

12.或3　点拨：∵∠ABC＝∠FBP＝90°，∴∠ABP＝∠CBF.当△MBC∽△ABP时，BM∶AB＝BC∶BP，得BM＝4×4÷3＝；当△CBM∽△ABP时，BM∶BP＝CB∶AB，得BM＝4×3÷4＝3.

13．y₂＝　点拨：如图，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，则S_△AOC＝，△AOC∽△BOD，

∴＝.

∵点A为OB的中点，

∴＝＝，

∴S_△BOD＝2.

设y₂与x的函数表达式是y₂＝(k≠0)，则|k|＝2，

∴k＝±4.

∵函数y₂的图象在第一、三象限，∴k＞0，

∴k＝4，∴y₂与x的函数表达式是y₂＝.

(第13题)

14.×　点拨：在正△ABC中，AB₁⊥BC，∴BB₁＝BC＝1.在Rt△ABB₁中，AB₁＝＝＝，

根据题意可得△AB₂B₁∽△AB₁B，记△AB₁B的面积为S，∴＝.∴S₁＝S.

同理可得：S₂＝S₁，S₃＝S₂，S₄＝S₃，….

又∵S＝×1×＝，

∴S₁＝S＝×，S₂＝S₁＝×.

S₃＝S₂＝×，S₄＝S₃＝×，…，

S_n＝×.

15.分析：(1)根据关于x轴对称的两点的坐标特征得出对应点的位置，进而得出答案；

(2)将△A₁B₁C₁三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2得出各点坐标，进而得出答案；

(3)利用相似图形的性质得出相似比，进而得出答案．

解：(1)如图：△A₁B₁C₁即为所求；

(第15题)

(2)如图：△A₂B₂C₂即为所求；

(3)1∶4

16．证明：∵＝，∴＝

又∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC，

∴∠BDE＝∠A，∴DE∥AC.

17．解：分两种情况讨论：(1)若△CDM∽△MAN，则＝.

∵正方形ABCD的边长为a，M是AD的中点，∴AN＝a.

(2)若△CDM∽△NAM，则＝.∵正方形ABCD的边长为a，M是AD的中点，∴AN＝a，即N点与B点重合，不合题意．所以，能在边AB上找一点N(不含A，B)，使得△CDM与△MAN相似，此时AN＝a.

18．解：由题意可得DE∥BC，所以＝.

又因为∠DAE＝∠BAC，所以△ADE∽△ABC.

所以＝，即＝.

因为AD＝16 m，BC＝50 m，DE＝20 m，

所以＝.解得DB＝24 m.

答：这条河的宽度为24 m.

19．解：(1)由题意可知BE＝2t，CF＝4t，CE＝12－2t.

因为△CEF是等腰直角三角形，∠ECF是直角，所以CE＝CF，

所以12－2t＝4t，解得t＝2，

所以当t＝2时，△CEF是等腰直角三角形．

(2)根据题意，可分为两种情况：

①若△EFC∽△ACD，则＝，

所以＝.解得t＝3，

即当t＝3时，△EFC∽△ACD.

②若△FEC∽△ACD，则＝，

所以＝.解得t＝1.2，

即当t＝1.2时，△FEC∽△ACD.

因此，当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．

20．(1)证明：由AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，DE＝CF，得△ADE≌△DCF.

(2)证明：因为四边形AEHG是正方形，

所以∠AEH＝90°，所以∠QEC＋∠AED＝90°.

又因为∠AED＋∠EAD＝90°，所以∠EAD＝∠QEC.

因为∠ADE＝∠C＝90°，所以△ECQ∽△ADE，

所以＝.

因为E是CD的中点，所以EC＝DE＝AD，所以＝.

因为DE＝CF，所以＝＝.即Q是CF的中点．

(3)解：S₁＋S₂＝S₃成立．

理由：因为△ECQ∽△ADE，所以＝，

所以＝.

因为∠C＝∠AEQ＝90°，

所以△AEQ∽△ECQ，

所以△AEQ∽△ECQ∽△ADE.

所以＝，＝.

所以＋＝＋＝.

在Rt△AEQ中，由勾股定理，得EQ²＋AE²＝AQ²，

所以＋＝1，即S₁＋S₂＝S₃.

21．解：(1)由题意知x₁，x₂是方程mx²－8mx＋4m＋2＝0的两根，∴x₁＋x₂＝8.

由解得

∴B(2，0)，C(6，0)．

则4m－16m＋4m＋2＝0，解得m＝，

∴该抛物线对应的函数表达式为y＝x²－2x＋3.

(2)由(1)可求得A(0，3)，设线段AC所在直线对应的函数表达式为y＝kx＋b，由解得

∴线段AC所在直线对应的函数表达式为y＝－x＋3.

要构成△APC，显然t≠6，下面分两种情况讨论：

①当0＜t＜6时，设直线l与AC的交点为F，

则F.

∵P，∴PF＝－t²＋t.

∴S_△APC＝S_△APF＋S_△CPF

＝·t＋·(6－t)

＝·6＝－(t－3)²＋.

当t＝3时，△APC面积的最大值是.

②当6＜t≤8时，延长AC交直线l于H，

则H，∴PH＝t²－t，

∴S_△APC＝S_△APH－S_△PCH＝·t－(t²－t)·(t－6)＝·6＝(t－3)²－.

此时，当t＝8时，△APC面积的最大值是12＞.

综上，当t＝8时，△APC面积的最大值是12.

(3)由题意可知：OA＝3，OB＝2，Q(t，3)，t＞2.

当P在直线AD下方时，令△AOB∽△AQP，

∴＝，∴＝，

解得t＝0(舍去)或t＝.

令△AOB∽△PQA，∴＝，∴＝，

解得t＝0(舍去)或t＝2(舍去)．

当P在直线AD上方时，令△AOB∽△AQP，

∴＝，∴＝，

解得t＝0(舍去)或t＝.

令△AOB∽△PQA，∴＝，∴＝，

解得t＝0(舍去)或t＝14.

综上所述，满足条件的点P有3个，此时t的值分别是，，14.