【331623】北师大版九上第1章 测试卷（2）

第一章 特殊平行四边形

总分120分 120分钟

一．选择题（共8小题，每题3分）

1．（2018•十堰）菱形不具备的性质是（　　）

A．四条边都相等 B．对角线一定相等

C．是轴对称图形 D．是中心对称图形

2．（2018•上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）

A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC

3．（2018•日照）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　）

A．AB＝AD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO

4．（2018•梧州）如图，在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（　　）

A．（﹣6，2） B．（0，2） C．（2，0） D．（2，2）

5.（2018•贵阳）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（　　）

A．24 B．18 C．12 D．9

6．如图，在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形，则它们的公共部分（即阴影部分）的面积是（　　）

A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．小于或等于1

7．在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，则DH的长是（　　）

A．7.5 B．7 C．6.5 D．5.5

8. （2018•宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （　　）

A．1 B． C． D．

二．填空题（共6小题，每题3分）

9．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O且AC=8，如果∠AOD=60°，那么AD=　4　．

10．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是　_________　

A、①④⇒⑥；B、①③⇒⑤；C、①②⇒⑥；D、②③⇒④

11．（2018•葫芦岛）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为　 　．

12．（2018•巴彦淖尔）如图，菱形ABCD的面积为120cm²，正方形AECF的面积为72cm²，则菱形的边长为　2 　．（结果中如有根号保留根号）

13．（2018•南通）如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是　　（填序号）．

14．（2018•武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是　　．

三．解答题（共11小题）

15．（6分）（2018•舟山）如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD是正方形．

16．（6分）（2018•广西）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．

（1）求证：▱ABCD是菱形；

（2）若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．

17．（6分）（2018•湘西州）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．

（1）求证：△ADE≌△BCE；

（2）若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．

18．（6分）已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．

19．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C=45°，BC=4，AD=2．求四边形ABCD的面积．

20．（8分）如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．过点C作CG⊥AD，垂足为G，AF是BC边上的中线，连接FG．

（1）求证：AC=FG．

（2）当AC⊥FG时，△ABC应是怎样的三角形？为什么？

21．（8分）如图，E是等边△ABC的BC边上一点，以AE为边作等边△AEF，连接CF，在CF延长线取一点D，使∠DAF=∠EFC．试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．

22．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，BE∥AC，EC∥BD，BE、EC相交于点E．试说明：四边形OBEC是菱形．

23．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，判断四边形CODE的形状，并计算其周长．

24．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于N，连接MN，DN．

（1）求证：四边形BMDN是菱形；

（2）若AB=6，BC=8，求MD的长．

25．（8分）如图所示，有四个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样速度向B，C，D，A各点移动．

（1）试判断四边形PQEF是否是正方形，并证明；

（2）PE是否总过某一定点，并说明理由．

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．（2018•十堰）菱形不具备的性质是（　　）

A．四条边都相等 B．对角线一定相等

C．是轴对称图形 D．是中心对称图形

【分析】根据菱形的性质即可判断；

【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，

故选：B．

【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考基础题．

2.（2018•上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）

A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC

【解答】解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；

B、∠A＝∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；

C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；

D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；

故选：B．

【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．

3．（2018•日照）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　）

A．AB＝AD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO

【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．

【解答】解：∵AO＝CO，BO＝DO，

∴四边形ABCD是平行四边形，

当AB＝AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；

当∠ABO＝∠CBO时，

由AD∥BC知∠CBO＝∠ADO，

∴∠ABO＝∠ADO，

∴AB＝AD，

∴四边形ABCD是菱形；

当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形；

故选：B．

【点评】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．

4．（2018•梧州）如图，在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（　　）

A．（﹣6，2） B．（0，2） C．（2，0） D．（2，2）

【分析】首先根据正方形的性质求出D点坐标，再将D点横坐标加上3，纵坐标不变即可．

【解答】解：∵在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），

∴D（﹣3，2），

∴将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（0，2），

故选：B．

【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变化﹣平移，是基础题，比较简单．

5.（2018•贵阳）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（　　）

A．24 B．18 C．12 D．9

【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长＝4BC问题得解．

【解答】解：∵E是AC中点，

∵EF∥BC，交AB于点F，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF＝ BC，

∴BC＝6，

∴菱形ABCD的周长是4×6＝24．

故选：A．

【点评】本题考查的是三角形中位线的性质及菱形的周长公式，题目比较简单．

6．已知如图，在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形．则它们的公共部分（即阴影部分）的面积是（　　）

A． 大于1 B．等于1 C．小于1 D． 小于或等于1

解：如图所示：作EN∥AB，FM∥CD，过点E作EG⊥MN于点G，

可得阴影部分面等于四边形EFMN的面积，

则四边形EFMN是平行四边形，且EN=FM=1，

∵EN=1，

∴EG＜1，

∴它们的公共部分（即阴影部分）的面积小于1．

故选：C．

点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积求法，得出阴影部分面等于四边形EFMN的面积是解题关键．

7．在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，则DH的长是（　　）

A． 7.5 B．7 C．6.5 D． 5.5

分析：过C作DH的垂线CE交DH于E，证明四边形BCEH是矩形．所以求出HE的长；再求出∠DCE=30°，又因为CD=11，所以求出DE，进而求出DH的长．

解：过C作DH的垂线CE交DH于E，

∵DH⊥AB，CB⊥AB，

∴CB∥DH又CE⊥DH，

∴四边形BCEH是矩形．

∵HE=BC=2，在Rt△AHD中，∠A=60°，

∴∠ADH=30°，

又∵∠ADC=90°

∴∠CDE=60°，

∴∠DCE=30°，

∴在Rt△CED中，DE= CD=5.5，

∴DH=2+5.5=7.5．

故选A．

点评： 本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的一个重要性质：30°的锐角所对的直角边是斜边的一半；以及勾股定理的运用．

8. （2018•宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （　　）

A．1 B． C． D．

【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，

∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．

∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，

∴S_阴＝ S_{正方形ABCD}＝ ，

故选：B．

【点评】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型．

二．填空题（共6小题）

9．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O且AC=8，如果∠AOD=60°，那么AD=　4　．

【考点】矩形的性质．

【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OD= AC，然后判断出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的三边都相等解答即可．

【解答】解：在矩形ABCD中，OA=OD= AC= ×8=4，

∵∠AOD=60°，

∴△AOD是等边三角形，

∴AD=OA=4．

故答案为：4．

【点评】本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，等边三角形的判定与性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．

10．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是　C　

A、①④⇒⑥；B、①③⇒⑤；C、①②⇒⑥；D、②③⇒④

分析：根据矩形、菱形、正方形的判定定理，对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案．

解答：解：A、由①④得，一组邻边相等的矩形是正方形，故正确；

B、由③得，四边形是平行四边形，再由①，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故正确；

C、由①②不能判断四边形是正方形；

D、由③得，四边形是平行四边形，再由②，一个角是直角的平行四边形是矩形，故正确．

故选C．

点评：此题用到的知识点是：矩形、菱形、正方形的判定定理，如：一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形；对角线互相平分且一个角是直角的四边形是矩形．灵活掌握这些判定定理是解本题的关键．

11．（2018•葫芦岛）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为　（2，﹣3）　．

【分析】根据轴对称图形的性质即可解决问题；

【解答】解：∵四边形OABC是菱形，

∴A、C关于直线OB对称，

∵A（2，3），

∴C（2，﹣3），

故答案为（2，﹣3）．

【点评】本题考查菱形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用菱形是轴对称图形解决问题．

12．（2018•巴彦淖尔）如图，菱形ABCD的面积为120cm²，正方形AECF的面积为72cm²，则菱形的边长为　2 　．（结果中如有根号保留根号）

【分析】连接AC、BD，由正方形的面积，可计算出正方形的边长和对角线AC的长，再根据菱形的面积，计算出菱形的对角线BD的长，在直角△AOB中，求出菱形的边长．

【解答】解：连接AC、BD，AC、BD相交于点O．

∵正方形AECF的面积为72cm²，

∴AE＝ ＝6 ，

AC＝6 × ＝12．

∵菱形ABCD的面积为120cm²，

即 AC×BD＝120

∵AC＝12，

∴BD＝20

∵四边形ABCD是菱形，

∴AO＝ AC＝6，BO＝ BD＝10，

∴AB＝

＝

＝2

故答案为：2

【点评】本题考查了菱形的性质、面积，正方形的面积及勾股定理．解决本题的关键是根据面积，求出菱形对角线的长．

13．（2018•南通）如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是　②　（填序号）．

【分析】当BA＝BC时，四边形ADCE是菱形．只要证明四边形ADCE是平行四边形，DA＝DC即可解决问题．

【解答】解：当BA＝BC时，四边形ADCE是菱形．

理由：∵AE∥CD，CE∥AD，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∵BA＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA，

∵AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，

∴∠DAC＝∠DCA，

∴DA＝DC，

∴四边形ADCE是菱形．

故答案为②

【点评】本题考查菱形的判断、平行四边形的判断和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

14．（2018•武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是　30°或150°　．

【考点】KK：等边三角形的性质；LE：正方形的性质．

【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得．

【解答】解：如图1，

∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠AED＝∠ADE＝∠DAE＝60°，

∴∠BAE＝∠CDE＝150°，又AB＝AE，DC＝DE，

∴∠AEB＝∠CED＝15°，

则∠BEC＝∠AED﹣∠AEB﹣∠CED＝30°．

如图2，

∵△ADE是等边三角形，

∴AD＝DE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝DC，

∴DE＝DC，

∴∠CED＝∠ECD，

∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，

∴∠CED＝∠ECD＝ （180°﹣30°）＝75°，

∴∠BEC＝360°﹣75°×2﹣60°＝150°．

故答案为：30°或150°．

【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

三．解答题（共11小题）

15．（2018•舟山）如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD是正方形．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质；LB：矩形的性质；LF：正方形的判定．

【分析】先判断出AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，进而求出∠AFD＝∠AEB＝75°，进而判断出△AEB≌△AFD，即可得出结论．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，

∵△AEF是等边三角形，

∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，

∵∠CEF＝45°，

∴∠CFE＝∠CEF＝45°，

∴∠AFD＝∠AEB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，

∴△AEB≌△AFD（AAS），

∴AB＝AD，

∴矩形ABCD是正方形．

【点评】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，判断出∠AFD＝∠AEB是解本题的关键．

16．（2018•广西）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．

（1）求证：▱ABCD是菱形；

（2）若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质．

【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB＝AD即可解决问题；

（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠D，

∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴∠AEB＝∠AFD＝90°，

∵BE＝DF，

∴△AEB≌△AFD

∴AB＝AD，

∴四边形ABCD是菱形．

（2）连接BD交AC于O．

∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，

∴AC⊥BD，

AO＝OC＝ AC＝ ×6＝3，

∵AB＝5，AO＝3，

∴BO＝ ＝ ＝4，

∴BD＝2BO＝8，

∴S_{平行四边形ABCD}＝ ×AC×BD＝24．

【点评】本题考查菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

17.（2018•湘西州）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．

（1）求证：△ADE≌△BCE；

（2）若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质．

【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；

（2）由（1）中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE的长度，结合三角形的周长公式解答．

【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°．

∵E是AB的中点，

∴AE＝BE．

在△ADE与△BCE中，

，

∴△ADE≌△BCE（SAS）；

（2）由（1）知：△ADE≌△BCE，则DE＝EC．

在直角△ADE中，AE＝4，AE＝ AB＝3，

由勾股定理知，DE＝ ＝ ＝5，

∴△CDE的周长＝2DE+AD＝2DE+AB＝2×5+6＝16．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

18．已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．

证明：∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∵AE是∠BAC的外角平分线，

∴∠FAE=∠EAC，

∵∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC，

∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，

∴AE∥CD，

又∵DE∥AB，

∴四边形AEDB是平行四边形，

∴AE平行且等于BD，

又∵BD=DC，∴AE平行且等于DC，

故四边形ADCE是平行四边形，

又∵∠ADC=90°，

∴平行四边形ADCE是矩形．

即四边形ADCE是矩形．

点评： 此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，灵活利用平行四边形的判定得出四边形AEDB是平行四边形是解题关键．

19．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C=45°，BC=4，AD=2．求四边形ABCD的面积．

考点：矩形的判定与性质；等腰直角三角形．

分析：如上图所示，延长AB，延长DC，相交于E点．△ADE是等腰直角三角形，AD=DE=2，则可以求出△ADE的面积；∠C=∠AED=45度，所以△CBE是等腰直角三角形，BE=CB=4厘米，则可以求出△CBE的面积；那么四边形ABCD的面积是两个三角形的面积之差．

解：延长AB，延长DC，相交于E点，得到两个等腰直角三角形△ADE和△CBE，

由等腰直角三角形的性质得：

DE=AD=2，

BE=CB=4，

那么四边形ABCD的面积是：

4×4÷2﹣2×2÷2

=8﹣2

=6．

答：四边形ABCD的面积是6．

点评：此题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式的运用，解题的关键是作延长线，找到交点，组成新图形，是解决此题的关键．

20．如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．过点C作CG⊥AD，垂足为G，AF是BC边上的中线，连接FG．

（1）求证：AC=FG．

（2）当AC⊥FG时，△ABC应是怎样的三角形？为什么？

考点：矩形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

分析：先根据题意推理出四边形AFCG是矩形，然后根据矩形的性质得到对角线相等；由第一问的结论和AC⊥FG得到四边形AFCG是正方形，然后即可得到△ABC是等腰直角三角形．

解答：（1）证明：∵AD平分∠EAC，且AD∥BC，

∴∠ABC=∠EAD=∠CAD=∠ACB，

∴AB=AC；

AF是BC边上的中线，

∴AF⊥BC，

∵CG⊥AD，AD∥BC，

∴CG⊥BC，

∴AF∥CG，

∴四边形AFCG是平行四边形，

∵∠AFC=90°，

∴四边形AFCG是矩形；

∴AC=FG．

（2）解：当AC⊥FG时，△ABC是等腰直角三角形．理由如下：

∵四边形AFCG是矩形，

∴四边形AFCG是正方形，∠ACB=45°，

∵AB=AC，

∴△ABC是等腰直角三角形．

点评： 该题目考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、等腰三角形的性质，知识点比较多，注意解答的思路要清晰．

21．如图，E是等边△ABC的BC边上一点，以AE为边作等边△AEF，连接CF，在CF延长线取一点D，使∠DAF=∠EFC．试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．

考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

分析：在已知条件中求证全等三角形，即△BAE≌△CAF，△AEC≌△AFD，从而得到△ACD和△ABC都是等边三角形，故可根据四条边都相等的四边形是菱形判定．

解：四边形ABCD是菱形．

证明：在△ABE、△ACF中

∵AB=AC，AE=AF

∠BAE=60°﹣∠EAC，∠CAF=60°﹣∠EAC

∴∠BAE=∠CAF

∴△BAE≌△CAF

∵∠CFA=∠CFE+∠EFA=∠CFE+60°

∠BEA=∠ECA+∠EAC=∠EAC+60°

∴∠EAC=∠CFE

∵∠DAF=∠CFE

∴∠EAC=∠DAF

∵AE=AF，∠AEC=∠AFD

∴△AEC≌△AFD

∴AC=AD，且∠D=∠ACE=60°

∴△ACD和△ABC都是等边三角形

∴四边形ABCD是菱形．

点评：本题考查了菱形的判定、等边三角形的性质和全等三角形的判定，学会在已知条件中多次证明三角形全等，寻求角边的转化，从而求证结论．

22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，BE∥AC，EC∥BD，BE、EC相交于点E．试说明：四边形OBEC是菱形．

考点：菱形的判定；矩形的性质．

分析：在矩形ABCD中，可得OB=OC，由BE∥AC，EC∥BD，所以四边形OBEC是平行四边形，两个条件合在一起，可得出其为菱形．

证明：在矩形ABCD中，AC=BD，∴OB=OC，

∵BE∥AC，EC∥BD，

∴四边形OBEC是平行四边形，

∴四边形OBEC是菱形．

点评：熟练掌握菱形的性质及判定定理．

23．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，判断四边形CODE的形状，并计算其周长．

考点：菱形的判定与性质；矩形的性质．

分析：首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．

解：∵CE∥BD，DE∥AC，

∴四边形CODE是平行四边形，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，

∴OD=OC= AC=2，

∴四边形CODE是菱形，

∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．

故答案为：8．

点评： 此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．

24．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于N，连接MN，DN．

（1）求证：四边形BMDN是菱形；

（2）若AB=6，BC=8，求MD的长．

考点：菱形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．

分析：（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；

（2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM²=AM²+AB²，推出x²=（8﹣x）²+6²，求出即可．

解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠A=90°，

∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，

在△DMO和△BNO中，

，

∴△DMO≌△BNO（ASA），

∴OM=ON，

∵OB=OD，

∴四边形BMDN是平行四边形，

∵MN⊥BD，

∴平行四边形BMDN是菱形．

（2）解：∵四边形BMDN是菱形，

∴MB=MD，

设MD长为x，则MB=DM=x，

在Rt△AMB中，BM²=AM²+AB²

即x²=（8﹣x）²+6²，

解得：x= ．

答：MD长为 ．

点评： 本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用．注意对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

25．如图所示，有四个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样速度向B，C，D，A各点移动．

（1）试判断四边形PQEF是否是正方形，并证明；

（2）PE是否总过某一定点，并说明理由．

考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．

专题：动点型．

分析：（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形，故可根据正方形的定义证明四边形PQEF是否使正方形．

（2）证PE是否过定点时，可连接AC，证明四边形APCE为平行四边形，即可证明PE过定点．

解：（1）在正方形ABCD中，AP=BQ=CE=DF，AB=BC=CD=DA，

∴BP=QC=ED=FA．

又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，

∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．

∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB．

∴四边形PQEF是菱形，

∵∠FPQ=90°，

∴四边形PQEF为正方形．

（2）连接AC交PE于O，

∵AP平行且等于EC，

∴四边形APCE为平行四边形．

∵O为对角线AC的中点，

∴对角线PE总过AC的中点．

点评：在证明过程中，应了解正方形和平行四边形的判定定理，为使问题简单化，在证明过程中，可适当加入辅助线．