【331622】北师大版九上第1章 测试卷（1）

第一章 特殊平行四边形

一、选择题

1．矩形具有而菱形不具有的性质是(　　)

A．两组对边分别平行 B．对角线相等

C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等

2．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的(　　)

A. B. C. D.

第2题图 第3题图

3．如图，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于(　　)

A．40° B．50° C．80° D．100°

4．正方形ABCD的面积为36，则对角线AC的长为(　　)

A．6 B．6 C．9 D．9

5．下列命题中，真命题是(　　)

A．对角线相等的四边形是矩形

B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．对角线互相平分的四边形是平行四边形

D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形

6．四边形ABCD的对角线AC＝BD，AC⊥BD，分别过A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是(　　)

A．正方形 B．菱形

C．矩形 D．任意四边形

7．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，周长是16，则菱形的面积是(　　)

A．16 B．16 C．16 D．8

第7题图 第9题图 第10题图

8．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有(　　)

①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.

1. ①②③ B．①②④

C．②③④ D．①③④

9．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长为(　　)

A．4 B．6 C．8 D．10

10．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥AB.下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

11．顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是________．

12．如图，延长正方形ABCD的边BC至E，使CE＝AC，则∠AFC＝________．

第12题图 第14题图

13．已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件____________使其成为一个菱形(只添加一个即可)．

14．如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为________度时，两条对角线长度相等．

15．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为____________．

第15题图 第16题图

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD，CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝________时，平行四边形CDEB为菱形．

17．如图，已知双曲线y＝(x＞0)经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为6，则k＝________．

第17题图 第18题图

18．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F.若AB＝6，BC＝10，则FD的长为________．

三、解答题

19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证：四边形ABCD是菱形．

20.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．

(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F(保留作图痕迹，不写作法和证明)；

(2)连接BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．

21．如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE，CF.

(1)求证：△ABF≌△CBE；

(2)判断△CEF的形状，并说明理由．

22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.

(1)求证：四边形ADCE为矩形；

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

23．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点E为BC的中点，AE⊥BC，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G.

(1)求菱形ABCD的面积；

(2)求∠CHA的度数．

24．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.(提示：在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半)

(1)试判断线段BD与CD的大小关系；

(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论；

(3)若△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°时，判断四边形AFBD的形状，并说明理由.

参考答案

一、选择题

1．B　2.B　3.C　4.B　5.C　6.A　7.D　8.B　9.C

10．D　解析：∵DE∥CA，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；若∠BAC＝90°，则平行四边形AEDF为矩形，故②正确；若AD平分∠BAC，

∴∠EAD＝∠FAD.∵DE∥CA，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴平行四边形AEDF为菱形，故③正确；若AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，同理可得平行四边形AEDF为菱形，故④正确，则其中正确的个数有4个．故选D.

二、填空题

11．菱形　12.112.5°　13.AC⊥BD(答案不唯一)

14．90　15.(2＋，)　16.

17．6　解析：设F，则B，因为S_矩形ABCO＝S_△OCE＋S_△AOF＋S_{四边形OEBF}，

所以k＋k＋6＝a·，解得k＝6.

18.　解析：连接EF，∵E是AD的中点，∴AE＝DE.

∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，

∴AE＝EG，BG＝AB＝6，∴ED＝EG.

∵在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠EGF＝90°.

在Rt△EDF和Rt△EGF中，

∴Rt△EDF≌Rt△EGF(HL)，∴DF＝FG.设DF＝x，则BF＝BG＋GF＝6＋x，CF＝CD－DF＝6－x.

在Rt△BCF中，BC²＋CF²＝BF²，即10²＋(6－x)²＝(6＋x)²，解得x＝.即DF＝.

三、解答题

19．证明：∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠B＝180°.

∵∠BAD＝∠BCD，∴∠B＋∠BCD＝180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，

∴∠B＝∠D.

∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMB＝∠AND＝90°.

在△ABM与△ADN中，

∴△ABM≌△ADN，

∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．

20．解：(1)如图所示，EF为所求直线．

(2)四边形BEDF为菱形．理由如下：

∵EF垂直平分BD，∴BF＝DF，BE＝DE，∠DEF＝∠BEF.

∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF.

∵BF＝DF，∴BE＝ED＝DF＝BF，∴四边形BEDF为菱形．

21.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°.

∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，∴BE＝BF，∠EBC＋∠FBC＝90°.

又∵∠ABF＋∠FBC＝90°，∴∠ABF＝∠CBE.

在△ABF和△CBE中，有

∴△ABF≌△CBE(SAS)．

(2)解：△CEF是直角三角形．理由如下：

∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠FEB＝45°，∴∠AFB＝180°－∠BFE＝135°.

又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB＝∠AFB＝135°，∴∠CEF＝∠CEB－∠FEB＝135°－45°＝90°，∴△CEF是直角三角形．

22．(1)证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠DAC.∵AE平分∠CAM，

∴∠CAE＝∠EAM，∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝(∠BAC＋∠CAM)＝90°.

∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，∴四边形ADCE为矩形．

(2)解：当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE为正方形．证明如下

∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∴AD＝CD.

又∵四边形ADCE为矩形，∴四边形ADCE为正方形．

23．解：(1)连接AC，BD，并且AC和BD相交于点O.

∵AE⊥BC且E为BC的中点，∴AC＝AB.∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝AD＝DC，AC⊥BD∴△ABC和△ADC都是正三角形，∴AB＝AC＝4.

∴AO＝AC＝2，∴BO＝＝2，

∴BD＝4，∴菱形ABCD的面积是AC·BD＝8.

(2)∵△ADC是正三角形，AF⊥CD，∴∠DAF＝30°.∵CG∥AE，BC∥AD，AE⊥BC，

∴四边形AECG为矩形，∴∠AGH＝90°，∴∠AHC＝∠DAF＋∠AGH＝120°.

24．解：(1)BD＝CD.∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠CDE.∵点E是AD的中点，∴AE＝DE.

在△AEF和△DEC中，

∴△AEF≌△DEC(ASA)，∴AF＝CD.

∵AF＝BD，∴BD＝CD.

(2)四边形AFBD是矩形．证明如下：

∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．

∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AFBD是矩形．

(3)四边形AFBD为菱形，理由如下：

∵∠BAC＝90°，BD＝CD，∴BD＝AD.

同(2)可得四边形AFBD是平行四边形，

∴四边形AFBD是菱形．