【331619】北师大版九年级（下）期中测试卷1

期中数学试卷（一）　

一、填空题

1．在等腰三角形ABC中，底边上的高是 ，这条高与一腰的夹角为60°，则这个三角形的面积是（　　）

A． B． C．2 D．3

2．如图所示，下列说法：①B在A的东北方向，A在B的西南方向；②C在A的北偏东75°方向；③C在B的南偏东30°方向；④B在C的北偏西30°方向，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．如图所示，在△ABC中，已知c= ，∠A=45°，∠B=60°，则a的值是（　　）

A．3﹣ B．3 ﹣3 C． ﹣1 D．5﹣

4．二次函数y=x²+2x﹣5有（　　）

A．最大值﹣5 B．最小值﹣5 C．最大值﹣6 D．最小值﹣6

5．若二次函数y=﹣x²+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3），则b、c的值分别是（　　）

A．b=2，c=4 B．b=﹣2，c=﹣4 C．b=2，c=﹣4 D．b=﹣2，c=4

6．下列函数中，图象开口最大的是（　　）

A．y=5x² B．y=﹣3x² C．y=﹣ x² D．y= x²

7．二次函数y=ax²+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

8．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当x=1时，函数y有最大值，设（x₁，y₁），（x₂，y₂）是这个函数图象上的两点，且1＜x₁＜x₂，那么（　　）

A．a＞0，y₁＞y₂ B．a＞0，y₁＜y₂ C．a＜0，y₁＞y₂ D．a＜0，y₁＜y₂

二、填空题

9．在△ABC中，∠C=90°，a=9，c=15，则sinB=　 ，b=　 　．

10．在锐角三角形ABC中，∠B=60°，AD⊥BC于D，AD=3，AC=5，则AB=　 　．

11．已知a＜﹣1，点（a﹣1，y₁），（a，y₂），（a+1，y₃）都在函数y=x²的图象上，则y₁，y₂，y₃的大小关系是　 　．

12．(1)若cosα= ，α为锐角，则sinα= ；

(2)若tanα=2，则 = ．

13．如图所示，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD=3m，斜坡AD=8m，斜坡BC的坡度i=1：3，B，C间的水平距离为12m，则斜坡AD的坡角∠A=　 　，坝底宽AB=　 m．

14．已知抛物线甲：y=﹣2x²﹣1和抛物线乙的形状相同，且两条抛物线的对称轴均为y轴，两点距离5个单位长度，它们的图象如图所示，则抛物线乙的解析式为　 　．

15．已知二次函数y=x²﹣6x+n的最小值为1，那么n的值是　 　．

16．将抛物线y=x²﹣2向右平移一个单位后，得到一条新抛物线，则新的抛物线的顶点坐标是　 　．

三、解答题　

17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD= ，求∠B的度数及边BC、AB的长．

18．如图所示，已知两山脚B，C相距1 500m，在距山脚B 500m的A处测得山BD，CE的山顶D，E的仰角分别为45°，30°，求两山的高．（精确到1m）

19．如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B处时，发现灯塔A在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西方向行驶至达C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向．求该军舰行驶的路程．（计算过程和结果均不取近似值）

20．已知，二次函数y=ax²﹣5x+c的图象如图．

(1)求这个二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标；

(2)观察图象，回答：何时y随x的增大而增大；何时y随x的增大而减小．

　

21．已知抛物线的顶点坐标是（﹣3，﹣2），它与直线y=2x+m的交点是（1，6），求抛物线和直线所对应的函数关系式．

22．已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点；

(1)求此二次函数的解析式；

(2)对于实数m，点M（m，﹣5）是否在这个二次函数的图象上？说明理由．

23．某工艺厂为迎接建厂60周年，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，其中工艺品的销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足关系式y=﹣10x+800，若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么，销售单价定为多少元时，工艺厂试销该工艺品获得的利润最大？最大利润是多少？

24．改革开放后，不少农村用上了自动喷灌设备．如图所示，AB表示水管，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水是抛物线状，建立如图所示的直角坐标系后，抛物线的表达式为y=﹣ x²+2x+ ．

(1)当x=1时，喷出的水离地面多高？

(2)你能求出水的落地点距水管底部A的最远距离吗？

(3)水管有多高？

25．如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向．

(1)线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；

(2)求A，B间的距离．（参考数据cos41°≈0.75）

参考答案与试题解析

　

1．在等腰三角形ABC中，底边上的高是 ，这条高与一腰的夹角为60°，则这个三角形的面积是（　　）

A． B． C．2 D．3

【考点】T7：解直角三角形；KH：等腰三角形的性质．

【专题】选择题

【分析】画出图形，求出∠B=30°，求出AB、BD，根据等腰三角形性质或同理求出CD，得出BC的长，根据三角形面积求出即可．

【解答】

解：∵AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∵∠BAD=60°，

∴∠B=30°，

∴AB=2AD=2 ，

在Rt△BDA中，由勾股定理得：BD=3，

同理可求CD=3，

∴BC=6，

∴△ABC的面积是 ×BC×AD= ×6× =3 ，

故选D．

【点评】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，三角形的面积的应用，关键是求出BC的长．

　

2．如图所示，下列说法：①B在A的东北方向，A在B的西南方向；②C在A的北偏东75°方向；③C在B的南偏东30°方向；④B在C的北偏西30°方向，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】IH：方向角．

【专题】选择题

【分析】根据方向角的定义对每一个选项进行逐一的判断，找出正确的选项即可．

【解答】解：①B在A的东北方向，A在B的西南方向，此说法正确；

②C在A的北偏东75°方向，此说法正确；

③C在B的南偏东30°方向，此说法正确；

④B在C的北偏西30°方向，此说法正确；

正确的有①②③④，

故选D．

【点评】本题主要考查方向角的知识点，熟知方向角的描述方法是解答此题的关键，此题基础题，比较简单．

　

3．如图所示，在△ABC中，已知c= ，∠A=45°，∠B=60°，则a的值是（　　）

A．3﹣ B．3 ﹣3 C． ﹣1 D．5﹣

【考点】T7：解直角三角形

【专题】选择题 ．

【分析】过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=30°，AD=DC，设BD=x，则AD=DC= x，BC=2x，得出方程x+ x= ，求出即可．

【解答】解：

过C作CD⊥AB于D，

∵∠A=45°，

∴∠ACD=∠A=45°，

∴CD=AD，

设BD=x，

∵∠CDB=90°，∠B=60°，

∴∠BCD=30°，

∴BC=a=2x，由勾股定理得：CD= x=AD，

∵AB=c= ，

∴BD= ，

即x+ x= ，

x=

∴a=2x=3﹣ ，

故选A．

【点评】本题考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是得出关于x的方程．

　

4．二次函数y=x²+2x﹣5有（　　）

A．最大值﹣5 B．最小值﹣5 C．最大值﹣6 D．最小值﹣6

【考点】H7：二次函数的最值．

【专题】选择题

【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由其顶点式求出其最值即可．

【解答】解：∵二次函数y=x²+2x﹣5中a=1＞0，

∴此函数有最小值，

∴y_最小= = =﹣6．

故选：D．

【点评】本题考查的是二次函数的最值问题，即二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）中，当a＞0时，函数有最小值最低点，所以函数有最小值，当x= 时，y= ．

　

5．若二次函数y=﹣x²+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3），则b、c的值分别是（　　）

A．b=2，c=4 B．b=﹣2，c=﹣4 C．b=2，c=﹣4 D．b=﹣2，c=4

【考点】H7：二次函数的最值．

【专题】选择题

【分析】根据二次函数y=﹣x²+bx+c的二次项系数﹣1来确定该函数的图象的开口方向，由二次函数y=﹣x²+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3）确定该函数的顶点坐标，然后根据顶点坐标公式解答b、c的值．

【解答】解：∵二次函数y=﹣x²+bx+c的二次项系数﹣1＜0，

∴该函数的图象的开口方向向下，

∴二次函数y=﹣x²+bx+c的图象的最高点坐标（﹣1，﹣3）就是该函数的顶点坐标，

∴﹣1=﹣ ，即b=﹣2；①

﹣3= ，即b²+4c﹣12=0；②

由①②解得，b=﹣2，c=﹣4；

故选B．

【点评】本题考查了二次函数的最值．解答此题时，弄清楚“二次函数y=﹣x²+bx+c的图象的最高点坐标（﹣1，﹣3）就是该函数的顶点坐标”是解题的关键．

　

6．下列函数中，图象开口最大的是（　　）

A．y=5x² B．y=﹣3x² C．y=﹣ x² D．y= x²

【考点】H3：二次函数的性质．

【专题】选择题

【分析】根据二次函数中二次项系数的绝对值越小，开口越大可以得到答案．

【解答】解：四个选项中C选项中的二次函数的二次项系数的绝对值最小，其开口最大，

故选C．

【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是记住二次项系数的绝对值越小，开口越大．

　

7．二次函数y=ax²+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

【考点】H2：二次函数的图象；F4：正比例函数的图象．

【专题】选择题

【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．

【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），

∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除B、C；

当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D；

当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A正确；

故选A．

【点评】考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．

　

8．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当x=1时，函数y有最大值，设（x₁，y₁），（x₂，y₂）是这个函数图象上的两点，且1＜x₁＜x₂，那么（　　）

A．a＞0，y₁＞y₂ B．a＞0，y₁＜y₂ C．a＜0，y₁＞y₂ D．a＜0，y₁＜y₂

【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．

【专题】选择题

【分析】由当x=1时，函数y有最大值，根据抛物线的性质得a＜0，抛物线的对称轴为直线x=1，当x＞1时，y随x的增大而减小，所以由1＜x₁＜x₂得到y₁＞y₂．

【解答】解：∵当x=1时，函数y有最大值，

∴a＜0，抛物线的对称轴为直线x=1，

∵1＜x₁＜x₂，

∴y₁＞y₂．

故选C．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点满足其解析式．也考查了二次函数的性质．

9．在△ABC中，∠C=90°，a=9，c=15，则sinB=　 　，b=　12　．

【考点】T1：锐角三角函数的定义；KQ：勾股定理．

【专题】填空题

【分析】根据题意作出图形，利用勾股定理求出b的值，然后根据锐角三角函数的定义求出sinB即可．

【解答】解：根据题意作出图形，

在Rt△ABC中，b= =12，

∴sinB= = = ．

故答案为： ，12．

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，关键是利用勾股定理求出b的长度，难度一般．

　

10．在锐角三角形ABC中，∠B=60°，AD⊥BC于D，AD=3，AC=5，则AB=　2 　．

【考点】T7：解直角三角形；KQ：勾股定理．

【专题】填空题

【分析】求出∠ADB=90°，通过解直角三角形得出sin∠ABD= ，推出AB= ，代入求出即可．

【解答】解：

∵AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∵sin∠ABD= ，AD=3，

∴AB= =2 ，

故答案为：2 ．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，注意：在△ADB中，Rtsin∠ABD= ．

　

11．已知a＜﹣1，点（a﹣1，y₁），（a，y₂），（a+1，y₃）都在函数y=x²的图象上，则y₁，y₂，y₃的大小关系是　y₁＞y₂＞y₃　．

【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．

【专题】填空题

【分析】抛物线y=x²的对称轴为y轴，即直线x=0，图象开口向上，当a＜﹣1时，a﹣1＜a＜a+1＜0，在对称轴左边，y随x的增大而减小，由此可判断y₁，y₂，y₃的大小关系．

【解答】解：∵当a＜﹣1时，a﹣1＜a＜a+1＜0，

而抛物线y=x²的对称轴为直线x=0，开口向上，

∴三点都在对称轴的左边，y随x的增大而减小，

∴y₁＞y₂＞y₃．

故本题答案为：y₁＞y₂＞y₃．

【点评】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．

　

12． (1)若cosα= ，α为锐角，则sinα=　 　；

(2)若tanα=2，则 =　 　．

【考点】T3：同角三角函数的关系．

【专题】填空题

【分析】(1)根据sin²α+cos²α=1，可求出cosα的值．

(2)化简可得 = ，代入即可得出答案．

【解答】解：(1)∵sin²α+cos²α=1，cosα= ，

∴sin²α= ，

又∵α为锐角，

∴sinα= ．

(2) = =（ ）²= ．

故答案为： 、 ．

【点评】本题考查了同角三角函数的关系，注意掌握据sin²α+cos²α=1，tanα= ．

　

13．如图所示，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD=3m，斜坡AD=8m，斜坡BC的坡度i=1：3，B，C间的水平距离为12m，则斜坡AD的坡角∠A=　30°　，坝底宽AB=　15+4 　m．

【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．

【专题】填空题

【分析】过D点作DE⊥AB于点E，过C点作CF⊥AB于点F，得到两个直角三角形和一个矩形，在Rt△BCF、Rt△AED中已知坡度和一边，或两边的比，满足解直角三角形的条件，可求出CF的长度和，继而根据AD=8m，可求得∠A的度数，然后解直角三角形可求得AE的长，继而也可求得AB的长度．

【解答】解：过D点作DE⊥AB于点E，过C点作CF⊥AB于点F，

则四边形CDEF是矩形，

∴CD=FE=3m，DE=CF，

∵斜坡BC的坡度i=1：3，BF=12m，

∴CF：BF=1：3，

则CF= ×12=4m，

∵AD=8m，

∴sinA=DE：AD=4：8=1：2，

∴∠A=30°，AE=ADcos30°=4 （m），

∴AB=AE+EF+FB=4 +3+12=15+4 ．

故答案为：30°、（15+4 ）．

【点评】本题考查坡度、坡角的知识，解答本题的关键是理解掌握坡度、坡角的定义，能正确解直角三角形．

　

14．已知抛物线甲：y=﹣2x²﹣1和抛物线乙的形状相同，且两条抛物线的对称轴均为y轴，两点距离5个单位长度，它们的图象如图所示，则抛物线乙的解析式为　y=﹣2x²+4　．

【考点】H6：二次函数图象与几何变换．

【专题】填空题

【分析】设抛物线乙的解析式为y=ax²+bx+c，先抛物线甲：y=﹣2x²﹣1和抛物线乙的形状相同，且两条抛物线的对称轴均为y轴，得出a=﹣2，b=0，再由两点距离5个单位长度，结合图形得出c﹣（﹣1）=5，求出c=4．从而确定抛物线乙的解析式．

【解答】解：设抛物线乙的解析式为y=ax²+bx+c．

∵抛物线甲：y=﹣2x²﹣1和抛物线乙的形状相同，且两条抛物线的对称轴均为y轴，

∴a=﹣2，b=0，

又∵两点距离5个单位长度，

∴c﹣（﹣1）=5，

∴c=4．

即y=﹣2x²+4．

故答案为y=﹣2x²+4．

【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，难度中等．用到的知识点：两条抛物线的形状相同，则|a|相同，当a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=﹣ ．

　

15．已知二次函数y=x²﹣6x+n的最小值为1，那么n的值是　10　．

【考点】H7：二次函数的最值．

【专题】填空题

【分析】将二次函数化为顶点式，即可建立关于m的等式，解方程求出m的值即可．

【解答】解：原式可化为：y=（x﹣3）²﹣9+n，

∵函数的最小值是1，

∴﹣9+n=1，

n=10．

故答案为：10．

【点评】本题考查了二次函数的最值，会用配方法将原式化为顶点式是解题的关键．

　

16．将抛物线y=x²﹣2向右平移一个单位后，得到一条新抛物线，则新的抛物线的顶点坐标是　（1，﹣2）　．

【考点】H6：二次函数图象与几何变换．

【专题】填空题

【分析】先得到原抛物线的顶点坐标，让横坐标加1，纵坐标不变即为新抛物线的顶点坐标．

【解答】解：∵抛物线y=x²﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），

向右平移1个单位得到新抛物线的解析式，

∴所得抛物线的顶点坐标是（1，﹣2）．

故答案为：（1，﹣2）．

【点评】本题考查二次函数图象与几何变换的知识，讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标的平移即可．

17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD= ，求∠B的度数及边BC、AB的长．

【考点】T7：解直角三角形．

【专题】解答题

【分析】在三角形ACD中，斜边以及直角边已告知，根据锐角三角函数的概念解直角三角形即可得∠CAD以及∠B，从而解直角三角形求出其余结果．

【解答】解：在Rt△ACD中

∵cos∠CAD= = = ，∠CAD为锐角．

∴∠CAD=30°，∠BAD=∠CAD=30°，即∠CAB=60°．

∴∠B=90°﹣∠CAB=30°．

∵sinB= ，

∴AB= = =16．

又∵cosB= ，

∴BC=AB•cosB=16• =8 ．

【点评】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．

　

18．如图所示，已知两山脚B，C相距1 500m，在距山脚B 500m的A处测得山BD，CE的山顶D，E的仰角分别为45°，30°，求两山的高．（精确到1m）

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】解答题

【分析】由在Rt△ABD中，BD=AB•tan45°，即可求得BD的长，继而求得AC的长，然后由在Rt△ACE中，EC=AC•tan30°，求得两山的高．

【解答】解：∵在Rt△ABD中，BD=AB•tan45°=500×1=500（m），

∴AC=BC﹣AB=1500﹣500=1000（m），

∴在Rt△ACE中，EC=AC•tan30°=1000× ≈577（m）．

答：两山的高为：577m．

【点评】此题考查了仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．

　

19．如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B处时，发现灯塔A在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西方向行驶至达C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向．求该军舰行驶的路程．（计算过程和结果均不取近似值）

【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．

【专题】解答题

【分析】易得∠A的度数为60°，利用60°正切值可得BC的值．

【解答】解：∵CE∥AB，

∴∠ECB=90°

∴∠A=∠ECA=60°，

∴BC=AB×tan60°=500× =500 m．

答：该军舰行驶的路程为500 m．

【点评】考查解直角三角形的应用；用∠A的正切值表示出所求线段长是解决本题的关键．

　

20．已知，二次函数y=ax²﹣5x+c的图象如图．

(1)求这个二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标；

(2)观察图象，回答：何时y随x的增大而增大；何时y随x的增大而减小．

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H2：二次函数的图象；H3：二次函数的性质．

【专题】解答题

【分析】(1)由图知，该二次函数经过（1，0）、（4，0），可将这两点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；然后将所得函数解析式化为顶点式，从而求出其顶点坐标；

(2)根据(1)得出的抛物线的对称轴及开口方向，分段讨论抛物线的增减性．

【解答】解：(1)根据二次函数y=ax²﹣5x+c的图象可得

（2分）

解得a=1，c=4；（4分）

所以这个二次函数的解析式是y=x²﹣5x+4；（5分）

y=x²﹣5x+4

= ﹣

= ，（7分）

它的图象的顶点坐标（ ）；（8分）

(2)当x＞ ，y随x的增大而增大；（10分）

当x＜ ，y随x的增大而减小．（12分）

注：①顶点坐标如用公式得出同样给分；

②对第（2）小题，如回答，函数y=x²﹣5x+4的图象在对称轴右侧部分，y随x的增大而增大；在对称轴的左侧部分，y随x的增大而减小；也视为正确，同样给分．

【点评】此题考查了用待定系数法确定二次函数解析式的方法及二次函数的图象与性质；在讨论二次函数的增减性时要考虑到两点：①抛物线的开口方向，②抛物线的对称轴．

　

21．已知抛物线的顶点坐标是（﹣3，﹣2），它与直线y=2x+m的交点是（1，6），求抛物线和直线所对应的函数关系式．

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；FA：待定系数法求一次函数解析式．

【专题】解答题

【分析】根据题意可设二次函数的解析式为y=a（x+3）²﹣2，将点（1，6）代入得a= ，求得抛物线的解析式；

将点（1，6）代入直线y=2x+m得m=4，求得直线所对应的函数关系式．

【解答】解：设二次函数的解析式为y=a（x+3）²﹣2

将点（1，6）代入得a=

∴抛物线的解析式为y= （x+3）²﹣2

将点（1，6）代入直线y=2x+m

得m=4

∴直线所对应的函数关系式为y=2x+4．

【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，注意当二次函数的顶点坐标已知时，可设顶点式．

　

22．已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点；

(1)求此二次函数的解析式；

(2)对于实数m，点M（m，﹣5）是否在这个二次函数的图象上？说明理由．

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H5：二次函数图象上点的坐标特征．

【专题】解答题

【分析】(1)本题可直接用待定系数法求出二次函数的解析式；

(2)根据(1)得出的二次函数解析式，可将M点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出M是否在二次函数的图象上．（由于本题中，M点的纵坐标小于抛物线的最小值，可据此判断M点不在二次函数的图象上）．

【解答】解：(1)设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），由于抛物线的图象经过C（0，﹣3），则有：

﹣3=a（0+1）（0﹣3），解得a=1．

∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x²﹣2x﹣3；

(2)由(1)可知：y=x²﹣2x﹣3=（x﹣1）²﹣4．

因此抛物线的最小值为﹣4＞﹣5．

因此无论m取何值，点M都不在这个二次函数的图象上．

【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法以及二次函数图象上点的坐标特征等知识点．

　

23．某工艺厂为迎接建厂60周年，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，其中工艺品的销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足关系式y=﹣10x+800，若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么，销售单价定为多少元时，工艺厂试销该工艺品获得的利润最大？最大利润是多少？

【考点】HE：二次函数的应用．

【专题】解答题

【分析】设销售单价定为x，则此时的销量为：﹣1Ox+800，根据利润=销量×单件利润，即可得出利润表达式，利用配方法求最值即可．

【解答】解：设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，

由题意得：W=（x﹣2）•y=（x﹣20）（﹣10x+800）=﹣10（x﹣50）²+9000，

∵﹣10＜0，

∴函数图象开口向下，对称轴为x=50，

又∵20＜x≤45，在对称轴的左侧，W的值随着x值的增大而增大，

∴当x=45时，W取最大值，

W_max=﹣10（45﹣50）²+9000=8750．

答：销售单价定为45元时，工艺厂试销该工艺品获得的利润最大为8750元．

【点评】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是仔细审题，得出利润表达式，同学们注意配方法求二次函数最值的应用．

　

24．改革开放后，不少农村用上了自动喷灌设备．如图所示，AB表示水管，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水是抛物线状，建立如图所示的直角坐标系后，抛物线的表达式为y=﹣ x²+2x+ ．

(1)当x=1时，喷出的水离地面多高？

(2)你能求出水的落地点距水管底部A的最远距离吗？

(3)水管有多高？

【考点】HE：二次函数的应用．

【专题】解答题

【分析】(1)把x=1代入解析式求得y的值即可；

(2)当y=0时，水的落地点距水管底部A的最远距离，求出此时x的值即可；

(3)当x=0时，求出y的值即是水管的高度．

【解答】解：(1)当x=1时，y=﹣ ×1²+2×1+ =3，

故当x=1时，喷出的水离地面的高度为3；

(2)当y=0时，﹣ x²+2x+ =0，

解得x₁=2+ ，x₂=2﹣ ＜0（舍去），

因此水的落地点距A的最远距离为2+ ；

(3)当x=0时，y=1.5，

因此水管的高度为1.5．

【点评】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，理解点的横、纵坐标代表的实际含义．

　

25．如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向．

(1)线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；

(2)求A，B间的距离．（参考数据cos41°≈0.75）

【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．

【专题】解答题

【分析】(1)首先由已知求出∠PBQ和∠BPQ的度数进行比较得出线段BQ与PQ是否相等；

(2)先由已知求出∠PQA，再由直角三角形PQA求出AQ，由(1)得出BQ=PQ=1200，又由已知得∠AQB=90°，所以根据勾股定理求出A，B间的距离．

【解答】解：(1)线段BQ与PQ相等．

证明：∵∠PQB=90°﹣41°=49°，

∠BPQ=90°﹣24.5°=65.5°，

∴∠PBQ=180°﹣49°﹣65.5°=65.5°，

∴∠BPQ=∠PBQ，

∴BQ=PQ；

(2)∠AQB=180°﹣49°﹣41°=90°，

∠PQA=90°﹣49°=41°，

∴AQ= = =1600，

BQ=PQ=1200，

∴AB²=AQ²+BQ²=1600²+1200²，

∴AB=2000，

答：A、B的距离为2000m．

【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是通过角的计算得出BQ=PQ，再由直角三角形先求出AQ，根据勾股定理求出AB．