【331618】北师大版九年级（下）期末测试卷2

期末测试（二）

　

一、选择题

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，AB=25，则cosB的值为（　　）

A． B． C． D．

2．在△ABC中，∠C=90°，sinB= ，则tanA的值为（　　）

A． B．1 C． D．

3．轮船航行到A处时，观察到小岛B的方向是北偏西32°，那么同时从B处观测到轮船A的方向是（　　）

A．南偏西32° B．东偏南32° C．南偏东58° D．南偏东32°

4．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠B=60°，则∠A等于（　　）

A．80° B．50° C．40° D．30°

5．已知下列函数：(1)y=3﹣2x²；(2)y= ；(3)y=3x（2x﹣1）；(4)y=﹣2 x²；(5)y=x²﹣（3+x）²；(6)y=mx²+nx+p（其中m、n、p为常数）．其中一定是二次函数的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

6．抛物线y=﹣ （x+1）²+3的顶点坐标（　　）

A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣1，3）

7．二次函数y=ax²+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

8．已知二次函数y=kx²﹣7x﹣7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（　　）

A．k＞﹣ B．k＞﹣ 且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣ 且k≠0

9．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图，下列结论中，正确的结论的个数有（　　）

①a+b+c＞0 ②a﹣b+c＞0 ③abc＜0 ④b+2a=0 ⑤△＞0．

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

10．某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面 米，则水流下落点B离墙距离OB是（　　）

A．2米 B．3米 C．4米 D．5米

二、填空题

11．若 =tan（α+10°），则锐角α=　 　．

12．如图，在⊙O中，弦AB=3cm，圆周角∠ACB=30°，则⊙O的直径等于　 　cm．

13．如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时水深为　 米．

14．二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则a　 　0，b　 　0，c　 　0，△　 　0．

15．抛物线y=2x²向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到图象的解析式是　 　，顶点坐标是　 　，对称轴是　 　．

16．抛物线y=x²﹣4x+3与x轴交于A、B，顶点为P，则△PAB的面积是　 　．

三、解答题

17．计算

(1)2sin30°﹣3cos60°

(2) cos30°﹣ sin45°+tan45°•cos60°．

18．小明从黄山百步云梯脚下的点A约走了50m后，到达山顶的点B．已知山顶B到山脚下的垂直距离约是30m，求山坡的坡度．

19．小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果保留根号）

20．在一次测量活动中，同学们要测量某公园的码头A与他正东方向的亭子B之间的距离，如图他们选择了与码头A、亭子B在同一水平面上的点P在点P处测得码头A位于点P北偏西方向30°方向，亭子B位于点P北偏东43°方向；又测得P与码头A之间的距离为200米，请你运用以上数据求出A与B的距离．

21．如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD．

22．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：

(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x之间的函数关系式；

(3)当销售单价定为每千克多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少？

23．如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y=﹣ x²+3.5运行，然后准确落入篮框内．已知篮框的中心离地面的距离为3.05米．

(1)球在空中运行的最大高度为多少米？

(2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？

24．如图，点P在⊙O的直径BA的延长线上，AB=2PA，PC切⊙O于点C，连接BC．

(1)求∠P的正弦值；

(2)若⊙O的半径r=2cm，求BC的长度．

25．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．

(1)求D点的坐标；

(2)求一次函数及二次函数的解析式；

(3)求抛物线的顶点坐标和对称轴；

(4)根据图象写出使一次函数值大于二次函数的值的x的取值范围．

参考答案与试题解析

　

一、选择题

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，AB=25，则cosB的值为（　　）

A． B． C． D．

【考点】T1：锐角三角函数的定义；KQ：勾股定理．

【专题】选择题

【分析】首先根据勾股定理计算出BC的长，再根据cosB= 可算出答案．

【解答】解：∵∠C=90°，AC=5，AB=25，

∴CB= ，

∴cosB= = ，

故选：A．

【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握余弦定义：锐角的邻边与斜边的比．

　

2．在△ABC中，∠C=90°，sinB= ，则tanA的值为（　　）

A． B．1 C． D．

【考点】T5：特殊角的三角函数值．

【专题】选择题

【分析】先根据特殊角的三角函数值得出∠B，从而得出∠A，即可计算出结果．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，

∵sinB= ，

∴∠B=30°，

∴∠A=60°，

∴tanA= ．

故选A．

【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，比较简单．

　

3．轮船航行到A处时，观察到小岛B的方向是北偏西32°，那么同时从B处观测到轮船A的方向是（　　）

A．南偏西32° B．东偏南32° C．南偏东58° D．南偏东32°

【考点】IH：方向角．

【专题】选择题

【分析】根据方向是向是相对的，北偏西与南偏西，可得答案．

【解答】解：轮船航行到A处时，观察到小岛B的方向是北偏西32°，那么同时从B处观测到轮船A的方向是南偏东32°，

故选：D．

【点评】本题考查了方向角，利用了方向相对的关系．

　

4．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠B=60°，则∠A等于（　　）

A．80° B．50° C．40° D．30°

【考点】M5：圆周角定理．

【专题】选择题

【分析】由AB为⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可求得∠C=90°，又由∠B=60°，即可求得答案．

【解答】解：∵AB为⊙O的直径，

∴∠C=90°，

∵∠B=60°，

∴∠A=90°﹣∠B=30°．

故选D．

【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角定理的应用．

　

5．已知下列函数：(1)y=3﹣2x²；(2)y= ；(3)y=3x（2x﹣1）；(4)y=﹣2 x²；(5)y=x²﹣（3+x）²；(6)y=mx²+nx+p（其中m、n、p为常数）．其中一定是二次函数的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【考点】H1：二次函数的定义．

【专题】选择题

【分析】根据二次函数的定义求解．

【解答】解：(1)y=3﹣2x²；(3)y=3x（2x﹣1）=6x²﹣3x；(4)y=﹣2 x²符合二次函数的定义，属于二次函数；

(2)y= 的右边不是整式，则它不是二次函数；

(5)y=x²﹣（3+x）²=﹣6x﹣9，属于一次函数；

(6)y=mx²+nx+p（其中m、n、p为常数），当m=0时，该函数不是二次函数．

综上所述，其中一定是二次函数的有3个．

故选：B．

【点评】本题考查二次函数的定义．一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．

　

6．抛物线y=﹣ （x+1）²+3的顶点坐标（　　）

A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣1，3）

【考点】H3：二次函数的性质．

【专题】选择题

【分析】可直接根据顶点式的特殊形式得顶点坐标．

【解答】解：因为y=﹣ （x+1）²+3是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，3）．

故选D．

【点评】主要考查了求抛物线顶点坐标的方法．

　

7．二次函数y=ax²+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

【考点】H2：二次函数的图象；F4：正比例函数的图象．

【专题】选择题

【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．

【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），

∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除B、C；

当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D；

当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A正确；

故选A．

【点评】考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．

　

8．已知二次函数y=kx²﹣7x﹣7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（　　）

A．k＞﹣ B．k＞﹣ 且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣ 且k≠0

【考点】HA：抛物线与x轴的交点．

【专题】选择题

【分析】根据二次函数的定义得到k≠0，根据．△=b²﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到（﹣7）²﹣4k•（﹣7）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．

【解答】解：根据题意得 ，

解得k＞﹣ 且k≠0．

故选B．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b²﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

　

9．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图，下列结论中，正确的结论的个数有（　　）

①a+b+c＞0 ②a﹣b+c＞0 ③abc＜0 ④b+2a=0 ⑤△＞0．

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．

【专题】选择题

【分析】利用x=1时，y＞0，x=﹣1时，y＜0可对①②进行判断；根据抛物线开口方向得到a＜0，再利用对称轴为直线x=﹣ =1得到b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对③进行判断；根据x=﹣ =1可对④进行判断；根据抛物线与x轴有2个交点可对⑤进行判断．

【解答】解：∵x=1时，y＞0，

∴a+b+c＞0，所以①正确；

∵x=﹣1时，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，所以②错误；

∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1，

∴b=﹣2a＞0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，所以③正确；

∵x=﹣ =1，

∴b+2a=0，所以④正确；

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴△＞0，所以⑤正确．

故选B．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

　

10．某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面 米，则水流下落点B离墙距离OB是（　　）

A．2米 B．3米 C．4米 D．5米

【考点】HE：二次函数的应用．

【专题】选择题

【分析】以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，把题中已知点代入，求出解析式后，令y=0，即可解答．

【解答】解：设抛物线解析式：y=a（x﹣1）²+ ，

把点A（0，10）代入抛物线解析式得：

a=﹣ ，

∴抛物线解析式：

y=﹣ （x﹣1）²+ ．

当y=0时，x₁=﹣1（舍去），x₂=3．

∴OB=3米．

故选B．

【点评】本题考查抛物线建模，在平面直角坐标系中求抛物线解析式，解决实际问题．

　

11．若 =tan（α+10°），则锐角α=　50°　．

【考点】T5：特殊角的三角函数值．

【专题】填空题

【分析】根据 =tan（α+10°），求出α+10°=60°，继而可求得α的度数．

【解答】解：∵ =tan（α+10°），

∴α+10°=60°，

∴α=50°．

故答案为：50°．

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．

　

12．如图，在⊙O中，弦AB=3cm，圆周角∠ACB=30°，则⊙O的直径等于　6　cm．

【考点】M5：圆周角定理；KO：含30度角的直角三角形．

【专题】填空题

【分析】连接AO，并延长交圆于点D，再连接BD，根据直角三角形的性质可得出AD的长．

【解答】解：连接AO，并延长交圆于点D，再连接BD，

∴∠ABD=90°，

∵∠ACB=30°，

∴∠D=30°，

∵AB=3cm，

∴AD=6cm．

故答案为：6．

【点评】本题考查了圆周角定理以及含30度角的直角三角形，是基础知识要熟练掌握．

　

13．如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时水深为　0.4　米．

【考点】M3：垂径定理的应用；KQ：勾股定理．

【专题】填空题

【分析】利用垂径定理，以及勾股定理即可求解．

【解答】解：作出弧AB的中点D，连接OD，交AB于点C．

则OD⊥AB．AC= AB=0.8m．

在直角△OAC中，OC= = =0.6m．

则水深CD=OD﹣OC=1﹣0.6=0.4m．

【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．

　

14．二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则a　＜　0，b　＞　0，c　＜　0，△　＞　0．

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．

【专题】填空题

【分析】根据抛物线开口方向判断a的符号；根据对称轴在y轴右侧得到ab＜0，则可判断b的符号；根据抛物线与y轴的交点位置可判断c的符号；根据抛物线与x轴的交点个数可判断△的符号．

【解答】解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0；

∵对称轴在y轴右侧，

∴ab＜0，

∴b＞0；

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，

∴c＜0；

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴△＞0．

故答案为＜、＞、＜、＞．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

　

15．抛物线y=2x²向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到图象的解析式是　y=2（x﹣3）²﹣4　，顶点坐标是　（3，﹣4）　，对称轴是　直线x=3　．

【考点】H6：二次函数图象与几何变换．

【专题】填空题

【分析】利用二次函数平移规律进而得出答案，再得出其对称轴和顶点坐标．

【解答】解：∵抛物线y=2x²向右平移3个单位，再向下平移4个单位，

∴得到图象的解析式是：y=2（x﹣3）²﹣4，

故顶点坐标是：（3，﹣4），对称轴是：直线x=3．

故答案为：y=2（x﹣3）²﹣4；（3，﹣4）；直线x=3．

【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，利用二次函数平移规律得出是解题关键．

　

16．抛物线y=x²﹣4x+3与x轴交于A、B，顶点为P，则△PAB的面积是　1　．

【考点】HA：抛物线与x轴的交点．

【专题】填空题

【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系，求得A、B两点的坐标，结合图形即可解答．

【解答】解：∵抛物线y=x²﹣4x+3与x轴交于A、B，

∴即A，B两点的横坐标为方程x²﹣4x+3=0的两根，

解得x₁=1，x₂=3，

∵顶点P的纵坐标= =﹣1

∴△PAB的面积= |x₂﹣x₁||﹣1|= ×2×1=1．

【点评】解答此题的关键是要明白抛物线y=x²﹣4x+3与x轴交于A、B，即A，B横坐标为方程x²﹣4x+3=0的两根，顶点P的纵坐标为函数的最大值．

　

17．计算

(1)2sin30°﹣3cos60°

(2) cos30°﹣ sin45°+tan45°•cos60°．

【考点】T5：特殊角的三角函数值．

【专题】解答题

【分析】(1)将特殊角的三角函数值代入求解即可；

(2)将特殊角的三角函数值代入求解即可．

【解答】解：(1)原式=2× ﹣3× =﹣ ；

(2)原式= × ﹣ × +1× =1．

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．

　

18．小明从黄山百步云梯脚下的点A约走了50m后，到达山顶的点B．已知山顶B到山脚下的垂直距离约是30m，求山坡的坡度．

【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．

【专题】解答题

【分析】首先利用勾股定理求得AC的长，然后利用正切函数的定义求解即可．

【解答】解：由题意得：AB=50m，BC=30m，

根据勾股定理得：AC= = =40（m），

所以tan∠A= = = ．

故山坡的坡度为 ．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是从实际问题中整理出直角三角形．注意，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度．

　

19．小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果保留根号）

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】解答题

【分析】从题意可知AB=BD=50m，至B处，测得仰角为60°，sin60°= ．可求出塔高．

【解答】解：∵∠DAB=30°，∠DBC=60°，

∴BD=AB=50m．

∴DC=BD•sin60°=50× =25 （m），

答：该塔高为25 m．

【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角找到直角三角形各边之间的联系，从而求解．

　

20．在一次测量活动中，同学们要测量某公园的码头A与他正东方向的亭子B之间的距离，如图他们选择了与码头A、亭子B在同一水平面上的点P在点P处测得码头A位于点P北偏西方向30°方向，亭子B位于点P北偏东43°方向；又测得P与码头A之间的距离为200米，请你运用以上数据求出A与B的距离．

【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．

【专题】解答题

【分析】过P作AB的垂线，设垂足为H．在Rt△APH中求出AH、PH的长，进而在Rt△AHB中求得BH的长；由AB=AH+BH即可求出A、B间的距离．

【解答】解：作PH⊥AB于点H．

则∠APH=30°，

在Rt△APH中，

AH=100，PH=AP•cos30°=100 ．

Rt△PBH中，

BH=PH•tan43°≈161.60．

AB=AH+BH≈262．

答：码头A与B距约为262米．

【点评】当两个三角形有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题目的基本出发点．

　

21．如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD．

【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系．

【专题】解答题

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理，弦AD=BC，则弧AD=弧BC，则弧AB=弧CD，则AB=CD．

【解答】证明：∵AD=BC，

∴ = ，

∴ + = + ，

即 = ．

∴AB=CD．

【点评】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两个弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．

　

22．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：

(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x之间的函数关系式；

(3)当销售单价定为每千克多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少？

【考点】HE：二次函数的应用．

【专题】解答题

【分析】(1)根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克”，可知：月销售量=500﹣（销售单价﹣50）×10．由此可得出售价为55元/千克时的月销售量，然后根据利润=每千克的利润×销售的数量来求出月销售利润；

(2)方法同(1)只不过将55元换成了x元，求的月销售利润变成了y；

(3)得出(2)的函数关系式后根据函数的性质即可得出函数的最值以及相应的自变量的值．

【解答】解：(1)∵当销售单价定为每千克55元时，则销售单价每涨（55﹣50）元，少销售量是（55﹣40）×10千克，

∴月销售量为：500﹣（55﹣50）×10=450（千克），

所以月销售利润为：（55﹣40）×450=6750元；

(2)当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：[500﹣（x﹣50）×10]千克．

每千克的销售利润是：（x﹣40）元，

所以月销售利润为：y=（x﹣40）[500﹣（x﹣50）×10]=（x﹣40）（1000﹣10x）=﹣10x²+1400x﹣40000，

∴y与x的函数解析式为：y=﹣10x²+1400x﹣40000；

(3)由(2)的函数可知：y=﹣10（x﹣70）²+9000

因此：当x=70时，y_max=9000元，

即：当售价是70元时，利润最大为9000元．

【点评】本题主要考查了二次函数的应用，能正确表示出月销售量是解题的关键．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．

　

23．如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y=﹣ x²+3.5运行，然后准确落入篮框内．已知篮框的中心离地面的距离为3.05米．

(1)球在空中运行的最大高度为多少米？

(2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？

【考点】HE：二次函数的应用．

【专题】解答题

【分析】(1)最大高度应是抛物线顶点的纵坐标的值；

(2)根据所建坐标系，水平距离是蓝框中心到Y轴的距离+球出手点到y轴的距离，即两点横坐标的绝对值的和．

【解答】解：(1)因为抛物线y=﹣ x²+3.5的顶点坐标为（0，3.5）

所以球在空中运行的最大高度为3.5米；（2分）

(2)当y=3.05时，3.05=﹣ x²+3.5，

解得：x=±1.5

又因为x＞0

所以x=1.5（3分）

当y=2.25时，

x=±2.5

又因为x＜0

所以x=﹣2.5，

由|1.5|+|﹣2.5|=1.5+2.5=4米，

故运动员距离篮框中心水平距离为4米．

【点评】根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．

　

24．如图，点P在⊙O的直径BA的延长线上，AB=2PA，PC切⊙O于点C，连接BC．

(1)求∠P的正弦值；

(2)若⊙O的半径r=2cm，求BC的长度．

【考点】MC：切线的性质；M5：圆周角定理；T1：锐角三角函数的定义．

【专题】解答题

【分析】(1)连接OC，则PC⊥OC，又AB=2PA，则有OC=AO=AP= PO，于是∠P=30°，可证sin∠P= ；

(2)连接AC，证得△CAO是正三角形，那么CA=r=2，再根据勾股定理可求得CB的长．

【解答】解：(1)连接OC，

∵PC切⊙O于点C，

∴PC⊥OC

又∵AB=2PA

∴OC=AO=AP= PO

∴∠P=30°

∴sin∠P= ；

（或：在Rt△POC，sin∠P= ）

(2)连接AC，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠COA=90°﹣30°=60°，

又∵OC=OA，

∴△CAO是正三角形．

∴CA=r=2，

∴CB= ．

【点评】此题综合考查了切线的性质、三角函数的定义、勾股定理等知识点．

　

25．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．

(1)求D点的坐标；

(2)求一次函数及二次函数的解析式；

(3)求抛物线的顶点坐标和对称轴；

(4)根据图象写出使一次函数值大于二次函数的值的x的取值范围．

【考点】HC：二次函数与不等式（组）；FA：待定系数法求一次函数解析式；H3：二次函数的性质．

【专题】解答题

【分析】(1)根据函数图象求出对称轴，再根据二次函数的对称性写出点D的坐标即可；

(2)分别利用待定系数法求函数解析式解答；

(3)把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出即可；

(4)根据图象写出一次函数图象在二次函数图象上方部分的x的取值范围即可．

【解答】解：(1)由图可知，二次函数图象的对称轴为直线x=﹣1，

∵点C、D是二次函数图象上的一对对称点，

∴点D的坐标为（﹣2，3）；

(2)设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），

则 ，

解得 ，

所以，直线BD的解析式为y=﹣x+1；

设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，

则 ，

解得 ，

所以，二次函数的解析式为y=﹣x²﹣2x+3；

(3)∵y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4，

∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），

对称轴为直线x=﹣1；

(4)由图可知，x＜﹣2或x＞1时，一次函数值大于二次函数的值．

【点评】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，准确识图得到函数图象经过的点的坐标是解题的关键．