【331616】北师大版九年级（下）第一章 单元测试卷2

单元测试（二）

一、选择题

1．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosB的值是（　　）

A． B． C． D．

2．如果α是锐角，且 ，那么cos（90°﹣α）的值为（　　）

A． B． C． D．

3．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosB的值为（　　）

A． B． C． D．

4．在△ABC中，若tanA=1，sinB= ，你认为最确切的判断是（　　）

A．△ABC是等腰三角形 B．△ABC是等腰直角三角形

C．△ABC是直角三角形 D．△ABC是一般锐角三角形

5．在△ABC中，若|sinA﹣ |+（ ﹣cosB）²=0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（　　）

A．75° B．90° C．105° D．120°

6．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（　　）

A． B． C． D．h•cosα

7．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα= ，则小车上升的高度是（　　）

A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米

8．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米， ≈1.414）（　　）

A．34.14米 B．34.1米 C．35.7米 D．35.74米

9．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（　　）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．

A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米

二、填空题

10．若 是二次函数，则m的值是　 　．　

11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，则sin =　 ．

12．如图，BC是一条河的直线河岸，点A是河岸BC对岸上的一点，AB⊥BC于B，站在河岸C的C处测得∠BCA=50°，BC=10m，则桥长AB=　 　m（用计算器计算，结果精确到0.1米）

13．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC= BD，连接AC，若tanB= ，则tan∠CAD的值 ．

14．如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°，n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是　 　km．

三、解答题

15．计算：tan²60°﹣2sin30°﹣ cos45°．

16．16（2017•宝应县一模）计算： +（ ）^﹣1﹣4cos45°﹣（ ）⁰．

17．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅的距离AC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）

　

18．如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2 米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果不取近似值）

19．如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．（结果保留根号）

20．耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是“运河四大名塔”之一（如图1）．数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点P处，利用测角仪测得运河两岸上的A，B两点的俯角分别为17.9°，22°，并测得塔底点C到点B的距离为142米（A、B、C在同一直线上，如图2），求运河两岸上的A、B两点的距离（精确到1米）．

（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin17.9°≈0.31，cos17.9°≈0.95，tan17.9°≈0.32）

21．如图，为了测得一棵树的高度AB，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得树顶A的仰角为45°，再向树方向前进10m，又测得树顶A的仰角为60°，求这棵树的高度AB．

答案与解析

1．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosB的值是（　　）

A． B． C． D．

【考点】T1：锐角三角函数的定义．

【专题】选择题

【分析】根据余弦的定义解答即可．

【解答】解：在Rt△ABC中，BC=3，AB=5，

∴cosB= = ，

故选：A．

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边a与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．

　

2．如果α是锐角，且 ，那么cos（90°﹣α）的值为（　　）

A． B． C． D．

【考点】T3：同角三角函数的关系．

【专题】选择题

【分析】根据互为余角三角函数关系，解答即可．

【解答】解：∵α为锐角， ，

∴cos（90°﹣α）=sinα= ．

故选B．

【点评】本题考查了互为余角的三角函数值，熟记三角函数关系式，是正确解答的基础．

　

3．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosB的值为（　　）

A． B． C． D．

【考点】T4：互余两角三角函数的关系．

【专题】选择题

【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．

【解答】解：由在Rt△ABC中，∠C=90°，得

∠A+∠B=90°，

cosB=sinA= ，

故选：D．

【点评】本题考查了互余两角三角函数关系，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键．

　

4．在△ABC中，若tanA=1，sinB= ，你认为最确切的判断是（　　）

A．△ABC是等腰三角形 B．△ABC是等腰直角三角形

C．△ABC是直角三角形 D．△ABC是一般锐角三角形

【考点】T5：特殊角的三角函数值．

【专题】选择题

【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A，∠B的值，再根据三角形内角和定理求出∠C即可判断．

【解答】解：∵tanA=1，sinB= ，

∴∠A=45°，∠B=45°．

又∵三角形内角和为180°，

∴∠C=90°．

∴△ABC是等腰直角三角形．

故选B．

【点评】解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值，三角形内角和定理及等腰三角形的判定．

　

5．在△ABC中，若|sinA﹣ |+（ ﹣cosB）²=0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（　　）

A．75° B．90° C．105° D．120°

【考点】T5：特殊角的三角函数值；16：非负数的性质：绝对值；1F：非负数的性质：偶次方．

【专题】选择题

【分析】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0．”分别求出∠A、∠B的值．然后用三角形内角和定理即可求出∠C的值．

【解答】解：∵|sinA﹣ |=0，（ ﹣cosB）²=0，

∴sinA﹣ =0， ﹣cosB=0，

∴sinA= ， =cosB，

∴∠A=45°，∠B=30°，

∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=105°．

故选C．

【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式、绝对值、非负数等考点的运算．

　

6．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（　　）

A． B． C． D．h•cosα

【考点】T8：解直角三角形的应用．

【专题】选择题

【分析】根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由os∠BCD= 知BC= = ．

【解答】解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，

∴∠CAD=∠BCD，

在Rt△BCD中，∵cos∠BCD= ，

∴BC= = ，

故选：B．

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．

　

7．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα= ，则小车上升的高度是（　　）

A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米

【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．

【专题】选择题

【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．

【解答】解：如图AC=13，作CB⊥AB，

∵cosα= = ，

∴AB=12，

∴BC= =13²﹣12²=5，

∴小车上升的高度是5m．

故选A．

【点评】此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

　

8．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米， ≈1.414）（　　）

A．34.14米 B．34.1米 C．35.7米 D．35.74米

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】选择题

【分析】过B作BF⊥CD于F，于是得到AB=A′B′=CF=1.6米，解直角三角形即可得到结论．

【解答】解：过B作BF⊥CD于F，

∴AB=A′B′=CF=1.6米，

在Rt△DFB′中，B′F= ，

在Rt△DFB中，BF=DF，

∵BB′=AA′=20，

∴BF﹣B′F=DF﹣ =20，

∴DF≈34.1米，

∴CD=DF+CF=35.7米，

答：楼房CD的高度约为35.7米，

故选C．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．

　

9．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（　　）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．

A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．

【专题】选择题

【分析】延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP，可得CE=PQ=2、CQ=PE，由i= = = 可设CQ=4x、BQ=3x，根据BQ²+CQ²=BC²求得x的值，即可知DP=11，由AP= = 结合AB=AP﹣BQ﹣PQ可得答案．

【解答】解：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，

∵CE∥AP，

∴DP⊥AP，

∴四边形CEPQ为矩形，

∴CE=PQ=2，CQ=PE，

∵i= = = ，

∴设CQ=4x、BQ=3x，

由BQ²+CQ²=BC²可得（4x）²+（3x）²=10²，

解得：x=2或x=﹣2（舍），

则CQ=PE=8，BQ=6，

∴DP=DE+PE=11，

在Rt△ADP中，∵AP= = ≈13.1，

∴AB=AP﹣BQ﹣PQ=13.1﹣6﹣2=5.1，

故选：A．

【点评】此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．

10．若 是二次函数，则m的值是　﹣3　．

【考点】H1：二次函数的定义．

【专题】填空题

【分析】根据二次函数的定义列出有关m的方程，然后求解即可．

【解答】解：由二次函数的定义可知：m²+2m﹣1=2，

解得：m=﹣3或1，

又m﹣1≠0，m≠1，

∴m=﹣3．

故答案为：﹣3．

【点评】本题考查了二次函数的定义，属于基础题，难度不大，注意掌握二次函数的定义．

　

11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，则sin =　 　．

【考点】T5：特殊角的三角函数值．

【专题】填空题

【分析】根据∠A的正弦求出∠A=60°，再根据30°的正弦值求解即可．

【解答】解：∵sinA= = ，

∴∠A=60°，

∴sin =sin30°= ．

故答案为： ．

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．

　

12．如图，BC是一条河的直线河岸，点A是河岸BC对岸上的一点，AB⊥BC于B，站在河岸C的C处测得∠BCA=50°，BC=10m，则桥长AB=　11.9　m（用计算器计算，结果精确到0.1米）

【考点】T8：解直角三角形的应用．

【专题】填空题

【分析】在Rt△ABC中，tan∠BCA= ，由此可以求出AB之长．

【解答】解：在△ABC中，

∵BC⊥BA，∴tan∠BCA= ．

又∵BC=10m，∠BCA=50°，

∴AB=BC•tan50°=10×tan50°≈11.9m．

故答案为11.9．

【点评】此题考查了正切的概念和运用，关键是把实际问题转化成数学问题，把它抽象到直角三角形中来．

　

13．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC= BD，连接AC，若tanB= ，则tan∠CAD的值　 　．

【考点】T7：解直角三角形．

【专题】填空题

【分析】延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，由tanB= ，即 = ，设AD=5x，则AB=3x，然后可证明△CDE∽△BDA，然后相似三角形的对应边成比例可得： = = = ，进而可得CE= x，DE= x，从而可求tan∠CAD= = ．

【解答】解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，

∵tanB= ，即 = ，

∴设AD=5x，则AB=3x，

∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，

∴△CDE∽△BDA，

∴ = = = ，

∴CE= x，DE= x，

∴AE= ，

∴tan∠CAD= = ，

故答案为 ．

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD放在直角三角形中．

　

14．如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°，n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是　（20 ﹣20）　km．

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】填空题

【分析】分别在Rt△ALR，Rt△BLR中，求出AL、BL即可解决问题．

【解答】解：在Rt△ARL中，

∵LR=AR•cos30°=40× =20 （km），AL=AR•sin30°=20（km），

在Rt△BLR中，∵∠BRL=45°，

∴RL=LB=20 ，

∴AB=LB﹣AL=（20 ﹣20）km，

故答案为（20 ﹣20）km．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的概念解决问题．

　

15．计算：tan²60°﹣2sin30°﹣ cos45°．

【考点】T5：特殊角的三角函数值．

【专题】解答题

【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．

【解答】解：原式=（ ）²﹣2× ﹣ ×

=3﹣1﹣1

=1．

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．

　

16．计算： +（ ）^﹣1﹣4cos45°﹣（ ）⁰．

【考点】T5：特殊角的三角函数值；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．

【专题】解答题

【分析】先根据二次根式的化简、负整数指数幂、特殊角的三角函数值及0指数幂把原式化简，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．

【解答】解：原式=2 +2﹣4× ﹣1，

=2 +2﹣2 ﹣1，

=1．

故答案为：1．

【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂及二次根式等考点的运算．

　

17．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅的距离AC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）

【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．

【专题】解答题

【分析】利用余弦函数的定义即可求出AC的长．

【解答】解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C．

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，

∴AC=AB•cos∠BAC=12×0.857≈10.3（米）．

即大厅的距离AC的长约为10.3米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．

　

18．如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2 米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果不取近似值）

【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；U5：平行投影．

【专题】解答题

【分析】如图作MF⊥PQ于F，QE⊥MN于E，则四边形EMFQ是矩形．分别在Rt△EQN、Rt△PFM中解直角三角形即可解决问题．

【解答】解：如图作MF⊥PQ于F，QE⊥MN于E，则四边形EMFQ是矩形．

在Rt△QEN中，设EN=x，则EQ=2x，

∵QN²=EN²+QE²，

∴20=5x²，

∵x＞0，

∴x=2，

∴EN=2，EQ=MF=4，

∵MN=3，

∴FQ=EM=1，

在Rt△PFM中，PF=FM•tan60°=4 ，

∴PQ=PF+FQ=4 +1．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

　

19．如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．（结果保留根号）

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】解答题

【分析】先求出∠DBE=30°，∠BDE=30°，得出BE=DE，然后设EC=xm，则BE=2xm，DE=2xm，DC=3xm，BC= xm，然后根据∠DAC=45°，可得AC=CD，列出方程求出x的值，然后即可求出塔DE的高度．

【解答】解：由题知，∠DBC=60°，∠EBC=30°，

∴∠DBE=∠DBC﹣∠EBC=60°﹣30°=30°．

又∵∠BCD=90°，

∴∠BDC=90°﹣∠DBC=90°﹣60°=30°．

∴∠DBE=∠BDE．

∴BE=DE．

设EC=xm，则DE=BE=2EC=2xm，DC=EC+DE=x+2x=3xm，

BC= = = x，

由题知，∠DAC=45°，∠DCA=90°，AB=20，

∴△ACD为等腰直角三角形，

∴AC=DC．

∴ x+60=3x，

解得：x=30+10 ，

2x=60+20 ．

答：塔高约为（60+20 ）m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．

　

20．耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是“运河四大名塔”之一（如图1）．数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点P处，利用测角仪测得运河两岸上的A，B两点的俯角分别为17.9°，22°，并测得塔底点C到点B的距离为142米（A、B、C在同一直线上，如图2），求运河两岸上的A、B两点的距离（精确到1米）．

（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin17.9°≈0.31，cos17.9°≈0.95，tan17.9°≈0.32）

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】解答题

【分析】在Rt△PBC中，求出BC，在Rt△PAC中，求出AC，根据AB=AC﹣BC计算即可．

【解答】解：根据题意，BC=142米，∠PBC=22°，∠PAC=17.9°，

在Rt△PBC中，tan∠PBC= ，

∴PC=BCtan∠PBC=142•tan22°，

在Rt△PAC中，tan∠PAC= ，

∴AC= = ≈ ≈177.5，

∴AB=AC﹣BC=177.5﹣142≈36米．

答：运河两岸上的A、B两点的距离为36米．

【点评】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形，利用三角函数解决问题，属于中考常考题型．

　

21．如图，为了测得一棵树的高度AB，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得树顶A的仰角为45°，再向树方向前进10m，又测得树顶A的仰角为60°，求这棵树的高度AB．

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】解答题

【分析】设AG=x，分别在Rt△AFG和Rt△ACG中，表示出CG和GF的长度，然后根据DE=10m，列出方程即可解决问题．

【解答】解：设AG=x．

在Rt△AFG中，

∵tan∠AFG= ，

∴FG= ，

在Rt△ACG中，∵∠GCA=45°，

∴CG=AG=x，

∵DE=10，

∴x﹣ =10，

解得：x=15+5

∴AB=15+5 +1=16+5 （米）．

答：这棵树的高度AB为（16+5 ）米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．