【331615】北师大版九年级（下）第一章 单元测试卷1

单元测试卷（一）

一、选择题

1．计算：cos²45°+sin²45°=（　　）

A． B．1 C． D．

2．在Rt△ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（　　）

A．都扩大两倍 B．都缩小两倍 C．不变 D．都扩大四倍

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列结论正确的是（　　）

A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．tanB=

4．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（　　）

A． B． ﹣1 C．2﹣ D．

5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（　　）

A．2 B． C． D．

6．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为（　　）

A． B． C． D．

7．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（　　）

A．5 m B．2 m C．4 m D． m

8．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB， ，BE=2，则tan∠DBE的值（　　）

A． B．2 C． D．

9．直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（　　）

A．5 B． C．7 D．

10．如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC=1 200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°，则飞机A与指挥台B的距离为（　　）

A．1 200 m B．1 200 m C．1 200 m D．2 400 m

二、填空题

11．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行　 　米．

12．如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为　 　（用科学计算器计算，结果精确到0.1°）．

13．小兰想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为 　m．（小兰身高忽略不计，取 ）

14．等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于　 　．

15．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB= ，则AC=　 　．

16．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA= ．

17．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为　 　cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．

18．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=6，CD=9，则AB= ．

三、解答题

19．计算下列各题：

(1) （2cos45°﹣sin60°）+ ；

(2)（﹣2）⁰﹣3tan30°+| ﹣2|．

20．在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树（如图）的高度，设计的方案及测量数据如下：

(1)在大树前的平地上选择一点A，测得由点A看大树顶端C的仰角为35°；

(2)在点A和大树之间选择一点B（A，B，D在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°；

(3)量出A，B两点间的距离为4.5米．

请你根据以上数据求出大树CD的高度．（精确到0.1米）（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）

21．每年的5月15日是”世界助残日”，我区时代超市门前的台阶共高出地面1.2米，为帮助残疾人，便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，轮椅行走斜坡的坡角不得超过9°，已知此商场门前的人行道距门前垂直距离为8米（斜坡不能修在人行道上），问此商场能否把台阶换成斜坡？（参考数据：sin9°=0.1564，cos9°=0.9877，tan9°=0.1584）

22．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取 =1.732，结果精确到1m）

　

23．已知：如图，在山脚的A处测得山顶D的仰角为45°，沿着坡度为30°的斜角前进400米处到B处（即∠BAC=30°，AB=400米），测得D的仰角为60°，求山的高度CD．

24．一段路基的横断面是直角梯形，如图1，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如右下图2的技术要求．试求出改造后坡面的坡度是多少？

25．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．

(1)求sinB的值；

(2)如果CD= ，求BE的值．

26．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船c的求救信号．已知A、B两船相距100（ +3）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．

(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．

(2)已知距观测点D处200海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）

参考答案与试题解析

　

1．计算：cos²45°+sin²45°=（　　）

A． B．1 C． D．

【考点】T5：特殊角的三角函数值．

【专题】选择题

【分析】首先根据cos45°=sin45°= ，分别求出cos²45°、sin²45°的值是多少；然后把它们求和，求出cos²45°+sin²45°的值是多少即可．

【解答】解：∵cos45°=sin45°= ，

∴cos²45°+sin²45°

=

=

=1．

故选B．

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：（1）30°、45°、60°角的各种三角函数值；（2）一个角正弦的平方加余弦的平方等于1．

　

2．在Rt△ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（　　）

A．都扩大两倍 B．都缩小两倍 C．不变 D．都扩大四倍

【考点】T1：锐角三角函数的定义．

【专题】选择题

【分析】根据三边对应成比例，两三角形相似，可知扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．

【解答】解：∵各边的长度都扩大两倍，

∴扩大后的三角形与Rt△ABC相似，

∴锐角A的各三角函数值都不变．

故选C．

【点评】本题考查了锐角三角形函数的定义，理清锐角的三角函数值与角度有关，与三角形中所对应的边的长度无关是解题的关键．

　

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列结论正确的是（　　）

A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．tanB=

【考点】T1：锐角三角函数的定义．

【专题】选择题

【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．

【解答】解：A、在Rt△ABC中，∠C=90°，

sinA= ，csinA=a，正确；

B、在Rt△ABC中，∠C=90°，

cosB= ，本项错误；

C、在Rt△ABC中，∠C=90°，

tanA= ，btanA=a，本项错误；

D、在Rt△ABC中，∠C=90°，

tanB= ，本项错误，

故选A．

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义．解答此题关键是正确理解和运用锐角三角函数的定义．

　

4．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（　　）

A． B． ﹣1 C．2﹣ D．

【考点】T7：解直角三角形；KW：等腰直角三角形．

【专题】选择题

【分析】利用等腰直角三角形的判定与性质推知BC= AC，DE=EC= DC，然后通过解直角△DBE来求tan∠DBC的值．

【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=45°，BC= AC．

又∵点D为边AC的中点，

∴AD=DC= AC．

∵DE⊥BC于点E，

∴∠CDE=∠C=45°，

∴DE=EC= DC= AC．

∴tan∠DBC= = = ．

故选A．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质．通过解直角三角形，可求出相关的边长或角的度数或三角函数值．

　

5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（　　）

A．2 B． C． D．

【考点】T1：锐角三角函数的定义；KQ：勾股定理；KS：勾股定理的逆定理．

【专题】选择题

【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．

【解答】解：如图： ，

由勾股定理，得

AC= ，AB=2 ，BC= ，

∴△ABC为直角三角形，

∴tan∠B= = ，

故选D．

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．

　

6．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为（　　）

A． B． C． D．

【考点】T1：锐角三角函数的定义；T4：互余两角三角函数的关系．

【专题】选择题

【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．

【解答】解：解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解．

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，

∴sinA= ，tanB= 和a²+b²=c²．

∵sinA= ，设a=3x，则c=5x，结合a²+b²=c²得b=4x．

∴tanB= ．

解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．

∵A、B互为余角，

∴cosB=sin（90°﹣B）=sinA= ．

又∵sin²B+cos²B=1，

∴sinB= = ，

∴tanB= = = ．

故选A．

【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．

　

7．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（　　）

A．5 m B．2 m C．4 m D． m

【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．

【专题】选择题

【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．

【解答】解：∵AB=10米，tanA= = ．

∴设BC=x，AC=2x，

由勾股定理得，AB²=AC²+BC²，即100=x²+4x²，解得x=2 ，

∴AC=4 ，BC=2 米．

故选B．

【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．

　

8．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB， ，BE=2，则tan∠DBE的值（　　）

A． B．2 C． D．

【考点】T7：解直角三角形；L8：菱形的性质．

【专题】选择题

【分析】在直角三角形ADE中，cosA= ，求得AD，AE．再求得DE，即可得到tan∠DBE= ．

【解答】解：设菱形ABCD边长为t．

∵BE=2，

∴AE=t﹣2．

∵cosA= ，

∴ ．

∴ = ．

∴t=5．

∴AE=5﹣2=3．

∴DE= =4．

∴tan∠DBE= = =2．

故选B．

【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．

　

9．直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（　　）

A．5 B． C．7 D．

【考点】AD：一元二次方程的应用；KQ：勾股定理．

【专题】选择题

【分析】可设直角三角形一直角边为x，则另一直角边为7﹣x，由面积为6作为相等关系列方程求得x的值，进而求得斜边的长．

【解答】解：设直角三角形一直角边为x，则另一直角边为7﹣x，

根据题意得 x（7﹣x）=6，

解得x=3或x=4，

所以斜边长为 ．

故选A．

【点评】可根据直角三角形的面积公式列出关于直角边的方程，解得直角边的长再根据勾股定理求斜边的长．熟练运用勾股定理和一元二次方程是解题的关键．

　

10．如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC=1 200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°，则飞机A与指挥台B的距离为（　　）

A．1 200 m B．1 200 m C．1 200 m D．2 400 m

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】选择题

【分析】首先根据图示，可得∠ABC=∠α=30°，然后在Rt△ABC中，用AC的长度除以sin30°，求出飞机A与指挥台B的距离为多少即可．

【解答】解：∵∠ABC=∠α=30°，

∴AB= = =2400（m），

即飞机A与指挥台B的距离为2400m．

故选D．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

　

11．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行　10　米．

【考点】KU：勾股定理的应用．

【专题】填空题

【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．

【解答】解：如图，设大树高为AB=12m，

小树高为CD=6m，

过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，

连接AC，

∴EB=6m，EC=8m，AE=AB﹣EB=12﹣6=6（m），

在Rt△AEC中，

AC= =10（m）．

故小鸟至少飞行10m．

故答案为：10．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据实际得出直角三角形，培养学生解决实际问题的能力．

　

12．如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为　27.8°　（用科学计算器计算，结果精确到0.1°）．

【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．

【专题】填空题

【分析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可．

【解答】解：∵tan∠A= = ≈0.5283，

∴∠A=27.8°，

故答案为：27.8°．

【点评】本题考查了坡度坡角的知识，解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值，难度不大．

　

13．小兰想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为　43.3　m．（小兰身高忽略不计，取 ）

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】填空题

【分析】从题意可知AB=BD=50m，至B处，测得仰角为60°，sin60°= ．可求出塔高．

【解答】解：∵∠DAB=30°，∠DBC=60°，

∴BD=AB=50m．

∴DC=BD•sin60°=50× =43.3．

故答案为：43.3．

【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角找到直角三角形各边之间的联系，从而求解．

　

14．等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于　15°或75°．　．

【考点】KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理．

【专题】填空题

【分析】此题分两种情况，当顶角为锐角时，利用勾股定理，AD的长，然后即可得出∠ABD=60°，可得顶角度数．同理即可求出顶角为钝角时，底角的度数．

【解答】解；如图1，△ABC中，AB=AC=2，BD为腰上的高，且BD=1，

顶角为锐角，

∵AD²=AB²﹣BD²，

∴AD²=4﹣1=3，

∴AD= ，

∴∠ABD=60°，

∴顶角为30°，底角为75°；

如图2，△ABC中，AB=AC=2，BD为腰上的高，且BD=1，

顶角为钝角

同理可得，底角为15°．

故答案为：15°或75°．

【点评】此题主要考查学生对等腰三角形性质的理解和掌握，解答此题的关键是利用分类讨论的思想进行分析，对顶角为锐角和顶角为钝角时分别进行分析．

　

15．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB= ，则AC=　5　．

【考点】T7：解直角三角形．

【专题】填空题

【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出AC．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，cosB= ，

∴sinB= ，tanB= = ．

∵在Rt△ABD中AD=4，

∴AB= ．

在Rt△ABC中，

∵tanB= ，

∴AC= × =5．

【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．

　

16．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=　 　．

【考点】T1：锐角三角函数的定义．

【专题】填空题

【分析】在直角△ABD中利用勾股定理求得AD的长，然后利用正弦的定义求解．

【解答】解：在直角△ABD中，BD=1，AB=2，

则AD= = = ，

则sinA= = = ．

故答案是： ．

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

　

17．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为　14.1　cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．

【考点】T8：解直角三角形的应用．

【专题】填空题

【分析】作BE⊥CD于E，根据等腰三角形的性质和∠CBD=40°，求出∠CBE的度数，根据余弦的定义求出BE的长．

【解答】解：如图2，作BE⊥CD于E，

∵BC=BD，∠CBD=40°，

∴∠CBE=20°，

在Rt△CBE中，cos∠CBE= ，

∴BE=BC•cos∠CBE

=15×0.940

=14.1cm．

故答案为：14.1．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的重要环节．

　

18．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=6，CD=9，则AB=　8 　．

【考点】KQ：勾股定理；KO：含30度角的直角三角形．

【专题】填空题

【分析】过点D作DE⊥AB于点E，CF⊥DE于F，可得四边形BCFE为矩形，根据∠A=60°，可得出∠ADE=30°，根据∠D=90°，可求得∠CDE=60°，∠DCF=30°，在△CDF中，根据CD=9，分别求出CF，DF的长度，然后在△ADE中，求出AE的长度，继而可求出AB的长度．

【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，CF⊥DE于F，

则有四边形BCFE为矩形，BC=EF，BE=CF，

∵∠A=60°，

∴∠ADE=30°，

∵∠D=90°，

∴∠CDE=60°，∠DCF=30°，

在△CDF中，

∵CD=9，

∴CF= CD= ，CF= CD= ，

∵EF=BC=6，

∴DE=EF+DF=6+ = ，

则AE= = ，

∴AB=AE+BE= + =8 ．

故答案为：8 ．

【点评】本题考查了勾股定理的知识以及含30度角的直角三角形的性质，注意掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，难度一般．

　

19．计算下列各题：

(1) （2cos45°﹣sin60°）+ ；

(2)（﹣2）⁰﹣3tan30°+| ﹣2|．

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．

【专题】解答题

【分析】(1)原式利用特殊角的三角函数值化简，合并同类二次根式化简得到结果；

(2)原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值化简，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．

【解答】解：(1)原式= ×（2× ﹣ ）+ =2﹣ + =2；

(2)原式=1﹣3× +2﹣ =3﹣2 ．

【点评】此题考查了实数的运算，涉及的知识有：零指数、负指数幂，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

　

20．在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树（如图）的高度，设计的方案及测量数据如下：

(1)在大树前的平地上选择一点A，测得由点A看大树顶端C的仰角为35°；

(2)在点A和大树之间选择一点B（A，B，D在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°；

(3)量出A，B两点间的距离为4.5米．

请你根据以上数据求出大树CD的高度．（精确到0.1米）（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】解答题

【分析】首先分析图形：本题涉及到两个直角三角形△DBC、△ADC，应利用其公共边CD构造等量关系，借助AB=AD﹣DB=4.5构造方程关系式，进而可求出答案．

【解答】解：设CD=x米；

∵∠DBC=45°，

∴DB=CD=x，AD=x+4.5；

在Rt△ACD中，tan∠A= ，

∴tan35°= ；

解得：x=10.5；

所以大树的高为10.5米．

解法2：在Rt△ACD中，tan∠A= ，∴AD= ；

在Rt△BCD中，tan∠CBD= ，∴BD= ；

而AD﹣BD=4.5，

即 ﹣ =4.5，

解得：CD=10.5；

所以大树的高为10.5米．

【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．

　

21．每年的5月15日是”世界助残日”，我区时代超市门前的台阶共高出地面1.2米，为帮助残疾人，便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，轮椅行走斜坡的坡角不得超过9°，已知此商场门前的人行道距门前垂直距离为8米（斜坡不能修在人行道上），问此商场能否把台阶换成斜坡？（参考数据：sin9°=0.1564，cos9°=0.9877，tan9°=0.1584）

【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．

【专题】解答题

【分析】先求得拆除台阶换成斜坡后的坡角，与9°比较，再判断是否能把楼梯换成斜坡．

【解答】解：由于台阶共高出地面1.2米，商场门前的人行道距门前垂直距离为8米，

则拆除台阶换成斜坡后的坡角的正切值为tanα= =0.15＜tan9°，

因此，此商场能把台阶换成斜坡．

【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．

　

22．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取 =1.732，结果精确到1m）

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】解答题

【分析】根据CE=xm，则由题意可知BE=xm，AE=（x+100）m，再利用解直角得出x的值，即可得出CD的长．

【解答】解：设CE=xm，则由题意可知BE=xm，AE=（x+100）m．

在Rt△AEC中，tan∠CAE= ，

即tan30°= ，

∴ ，

3x= （x+100），

解得x=50+50 =136.6，

∴CD=CE+ED=136.6+1.5=138.1≈138（m）．

答：该建筑物的高度约为138m．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据tan∠CAE= 得出x的值是解决问题的关键．

　

23．已知：如图，在山脚的A处测得山顶D的仰角为45°，沿着坡度为30°的斜角前进400米处到B处（即∠BAC=30°，AB=400米），测得D的仰角为60°，求山的高度CD．

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】解答题

【分析】在Rt△AFB中，根据AB=400米，∠BAF=30°，求出BF、AF的长度，然后证明四边形BFCE是矩形，设BE=x米，在Rt△BDE中，用x表示出DE的长度，然后根据AC=DC，代入求出x的值，继而可求得山高．

【解答】解：过B作BF⊥AC于F，

在Rt△AFB中，

∵AB=400米，∠BAF=30°，

∴BF= AB= ×400=200（米），

AF=AB•cos30°=200 （米），

∵BF⊥AC，BE⊥DC，

∴四边形BFCE是矩形，

∴EC=BF=200米，

设BE=x米，则FC=x米，

在Rt△DBE中，

∵∠DBE=60°，

∴DE=tan60°•BE= x（米），

∵∠DAC=45°，∠C=90°，

∴∠ADC=45°，

∴AC=DC，

∵AC=AF+FC=（200 +x）米，

DC=DE+EC=（ x+200）米，

解得：x=200，

∴DC=DE+EC=200 +200（米）．

答：山的高度BC约为（200 +200）米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识解直角三角形，难度一般．

　

24．一段路基的横断面是直角梯形，如图1，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如右下图2的技术要求．试求出改造后坡面的坡度是多少？

【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．

【专题】解答题

【分析】由已知可求EC=40m．在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小，则梯形ABCD面积=梯形A₁B₁C₁D面积，可再求出EC₁=80（m），即可求出改建后的坡度i=B₁E：EC₁=20：80=1：4．

【解答】解：由图可知：BE⊥DC，BE=30m，sinα=0.6，

在Rt△BEC中，

∵sinα= ，

∴BC= =50（m），

在RT△BEC中EC²=BC²﹣BE²，BE=30m，

由勾股定理得，EC=40m．

在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小，

则梯形ABCD面积=梯形A₁B₁C₁D面积，

∴ ×（20+60）×30= ×20（20+20+EC₁）

解得EC₁=80（m），

∴改建后的坡度i=B₁E：EC₁=20：80=1：4．

【点评】此题主要是运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题．分析梯形ABCD面积=梯形A₁B₁C₁D面积，是解题的关键；还要熟悉坡度公式．

　

25．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．

(1)求sinB的值；

(2)如果CD= ，求BE的值．

【考点】T7：解直角三角形；KP：直角三角形斜边上的中线．

【专题】解答题

【分析】(1)根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1： ，即可得出sinB的值；

(2)根据sinB的值，可得出AC：AB=1： ，再由AB=2 ，得AC=2，则CE=1，从而得出BE．

【解答】解：(1)∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，

∴CD=BD，

∴∠B=∠BCD，

∵AE⊥CD，

∴∠CAH+∠ACH=90°，

又∠ACB=90°

∴∠BCD+∠ACH=90°

∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，

∵AH=2CH，

∴由勾股定理得AC= CH，

∴CH：AC=1： ，

∴sinB= ；

(2)∵sinB= ，

∴AC：AB=1： ，

∴AC=2．

∵∠CAH=∠B，

∴sin∠CAH=sinB= = ，

设CE=x（x＞0），则AE= x，则x²+2²=（ x）²，

∴CE=x=1，AC=2，

在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，

∵AB=2CD=2 ，

∴BC=4，

∴BE=BC﹣CE=3．

【点评】本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大．

　

26．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船c的求救信号．已知A、B两船相距100（ +3）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．

(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．

(2)已知距观测点D处200海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）

【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．

【专题】解答题

【分析】(1)作CE⊥AB于点E，则∠ABC=45°，∠BAC=60°，设AE=x海里，在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°，在Rt△BCE中，BE=CE= x，由AE+BE=x+ x=100（3+ ）求出x的值，再根据AC=2x得出AC的值，在△ACD中，由∠DAC=60°，∠ADC=75°得出∠ACD=45°．过点D作DF⊥AC于点F，设AF=y，则DF=CF= y，根据AC=y+ y=200 求出y的值，故可得出AD的长，进而得出结论；

(2)根据(1)中的结论得出DF的长，再与200相比较即可．

【解答】解：(1)作CE⊥AB于点E，则∠ABC=45°，∠BAC=60°，设AE=x海里，

∵在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°= x，

在Rt△BCE中，BE=CE= x，

∴AE+BE=x+ x=100（3+ ），解得x=100 ，

∴AC=2x=200 ．

在△ACD中，

∵∠DAC=60°，∠ADC=75°，

∴∠ACD=45°．

过点D作DF⊥AC于点F，设AF=y，则DF=CF= y，

∴AC=y+ y=200 ，解得y=100（3﹣ ），

∴AD=2y=200（3﹣ ）．

答：A与C之间的距离AC为200 海里，A与D之间的距离AD为200（3﹣ ）海里；

(2)∵由(1)可知，DF= AF= ×100（3﹣ ）≈219．

∵219＞200，

∴巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中无触暗礁危险．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．