【331722】第5章 二次函数测试卷（3）

　二次函数测试卷（3）

一、选择题

1．二次函数y=x²+4x﹣5的图象的对称轴为（　　）

A．x=4 B．x=﹣4 C．x=2 D．x=﹣2

　

2．将抛物线y=x²﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（　　）

A．y=（x﹣1）²+4 B．y=（x﹣4）²+4 C．y=（x+2）²+6 D．y=（x﹣4）²+6

　

3．二次函数y=﹣x²+2x+4的最大值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

4．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x²+a的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

　

5．已知抛物线y=x²﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（　　）

A．4 B．8 C．﹣4 D．16

　

6．对于函数y=﹣x²﹣2x﹣2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是（　　）

A．x≥﹣1 B．x≥0 C．x≤0 D．x≤﹣1

　

7．二次函数y=ax²+bx+c的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OA=OC，则（　　）

A．ac+1=b B．ab+1=c C．bc+1=a D．以上都不是

　

8．下列关于二次函数y=ax²﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（　　）

A．没有交点B．只有一个交点，且它位于y轴右侧C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧

　

9．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣ （x﹣80）²+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（　　）

A．16 米 B． 米 C．16 米 D． 米

　

10．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=﹣ ．下列结论中，正确的是（　　）

A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b

　

二、填空题

11．已知点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在二次函数y=（x﹣1）²+1的图象上，若x₁＞x₂＞1，则y₁　 　y₂（填“＞”、“＜”或“=”）.

　

12．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=　 　.

　

13．把二次函数y=2x²的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为　 　.

　

14．设抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为　 .

　

15．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x²，该型号飞机着陆后滑行 　m才能停下来.

　

16．设A、B、C三点依次分别是抛物线y=x²﹣2x﹣5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是　 　.

　

17．已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为　 　.

　

18．有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：

甲：对称轴为直线x=4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数.

请你写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式 　.

　

三、解答题

19．把抛物线y=ax²+bx+c向左平移2个单位长度，同时向下平移1个单位长度后，恰好与抛物线y=2x²+4x+1重合.请求出a、b、c的值，并画出函数的示意图.

　

20．炮弹的运行轨道若不计空气阻力是一条抛物线．现测得我军炮位A与射击目标B的水平距离为600cm，炮弹运行的最大高度为1200m.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若在A、B之间距离A点500m处有一高350cm的障碍物，计算炮弹能否越过障碍物.

　

21．某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润.

　

22．已知二次函数y=（t+1）x²+2（t+2）x+ 在x=0和x=2时的函数值相等

(1)求二次函数的解析式，并作图象；

(2)若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的象都经过点A（﹣3，m），求m和k的值.

　

23．小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x（单位：cm）的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积S（单位：cm²）随x（单位：cm）的变化而变化.

(1)请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；

(2)当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？

　

24．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=﹣ （t﹣19）²+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？

　

25．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm.

(1)若花园的面积为192m²，求x的值；

(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.

　

26．已知二次函数y=x²﹣2mx+m²+3（m是常数）.

(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；

(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？

　　答案

1．二次函数y=x²+4x﹣5的图象的对称轴为（　　）

A．x=4 B．x=﹣4 C．x=2 D．x=﹣2

【考点】H3：二次函数的性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】直接利用抛物线的对称轴公式代入求出即可．

【解答】解：二次函数y=x²+4x﹣5的图象的对称轴为：x=﹣ =﹣ =﹣2．

故选D．

【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆抛物线对称轴公式是解题关键．

　

2．将抛物线y=x²﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（　　）

A．y=（x﹣1）²+4 B．y=（x﹣4）²+4 C．y=（x+2）²+6 D．y=（x﹣4）²+6

【考点】H6：二次函数图象与几何变换．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式．

【解答】解：将y=x²﹣2x+3化为顶点式，得y=（x﹣1）²+2．

将抛物线y=x²﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y=（x﹣4）²+4，

故选B．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减．

　

3．二次函数y=﹣x²+2x+4的最大值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【考点】H7：二次函数的最值．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】先利用配方法得到y=﹣（x﹣1）²+5，然后根据二次函数的最值问题求解．

【解答】解：y=﹣（x﹣1）²+5，

∵a=﹣1＜0，

∴当x=1时，y有最大值，最大值为5．

故选C．

【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=﹣ 时，y= ；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=﹣ 时，y= ；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．

　

4．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x²+a的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

【考点】H2：二次函数的图象；F3：一次函数的图象．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．

【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；

当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．

故选C．

【点评】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．

　

5．已知抛物线y=x²﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（　　）

A．4 B．8 C．﹣4 D．16

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．据此作答．

【解答】解：根据题意，得 =0，

解得c=16．

故选D．

【点评】本题考查求抛物线顶点纵坐标的公式，比较简单．

　

6．对于函数y=﹣x²﹣2x﹣2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是（　　）

A．x≥﹣1 B．x≥0 C．x≤0 D．x≤﹣1

【考点】H3：二次函数的性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】先运用配方法将抛物线写成顶点式y=﹣（x+1）²﹣1，由于a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，根据抛物线的性质可知当x≤1时，y随x的增大而增大，即可求出．

【解答】解：∵y=﹣x²﹣2x﹣2=﹣（x+1）²﹣1，

a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣1，

∴当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，

故选D．

【点评】本题考查了二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的性质，确定抛物线的对称轴是解答本题的关键，a＞0，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小；a＜0，抛物线开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大．

　

7．二次函数y=ax²+bx+c的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OA=OC，则（　　）

A．ac+1=b B．ab+1=c C．bc+1=a D．以上都不是

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据图象易得C（0，c）且c＞0，再利用OA=OC可得A（﹣c，0），然后把A（﹣c，0）代入y=ax²+bx+c即可得到a、b、c的关系式．

【解答】解：当x=0时，y=ax²+bx+c=c，则C（0，c）（c＞0），

∵OA=OC，

∴A（﹣c，0），

∴a•（﹣c）²+b•（﹣c）+c=0，

∴ac﹣b+1=0，

即ac+1=b．

故选A．

【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

　

8．下列关于二次函数y=ax²﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（　　）

A．没有交点B．只有一个交点，且它位于y轴右侧C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧

【考点】HA：抛物线与x轴的交点．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据函数值为零，可得相应的方程，根据根的判别式，公式法求方程的根，可得答案．

【解答】解：当y=0时，ax²﹣2ax+1=0，

∵a＞1

∴△=（﹣2a）²﹣4a=4a（a﹣1）＞0，

ax²﹣2ax+1=0有两个根，函数与有两个交点，

x= ＞0，

故选D．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了函数与方程的关系，方程的求根公式．

　

9．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣ （x﹣80）²+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（　　）

A．16 米 B． 米 C．16 米 D． 米

【考点】HE：二次函数的应用．

【专题】选择题

【难度】中

【分析】先确定C点的横坐标，然后根据抛物线上点的坐标特征求出C点的纵坐标，从而可得到AC的长．

【解答】解：∵AC⊥x轴，OA=10米，

∴点C的横坐标为﹣10，

当x=﹣10时，y=﹣ （x﹣80）²+16=﹣ （﹣10﹣80）²+16=﹣ ，

∴C（﹣10，﹣ ），

∴桥面离水面的高度AC为 m．

故选B．

【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．

　

10．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=﹣ ．下列结论中，正确的是（　　）

A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．

【专题】选择题

【难度】中

【分析】由二次函数的性质，即可确定a，b，c的符号，即可判定A是错误的；又由对称轴为x=﹣ ，即可求得a=b；由当x=1时，a+b+c＜0，即可判定C错误；然后由抛物线与x轴交点坐标的特点，判定D正确．

【解答】解：A、∵开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线与y轴交于负半轴，

∴c＜0，

∵对称轴在y轴左侧，

∴﹣ ＜0，

∴b＞0，

∴abc＜0，

故A选项错误；

B、∵对称轴：x=﹣ =﹣ ，

∴a=b，

故B选项错误；

C、当x=1时，a+b+c=2b+c＜0，

故C选项错误；

D、∵对称轴为x=﹣ ，与x轴的一个交点的取值范围为x₁＞1，

∴与x轴的另一个交点的取值范围为x₂＜﹣2，

∴当x=﹣2时，4a﹣2b+c＜0，

即4a+c＜2b，

故D选项正确．

故选D．

【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系．此题难度适中，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．

　

11．已知点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在二次函数y=（x﹣1）²+1的图象上，若x₁＞x₂＞1，则y₁　 　y₂（填“＞”、“＜”或“=”）.

【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】先根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴，再判断出两点的位置及函数的增减性，进而可得出结论．

【解答】解：∵a=1＞0，

∴二次函数的图象开口向上，

由二次函数y=（x﹣1）²+1可知，其对称轴为x=1，

∵x₁＞x₂＞1，

∴两点均在对称轴的右侧，

∵此函数图象开口向上，

∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，

∵x₁＞x₂＞1，

∴y₁＞y₂．

故答案为：＞．

【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出A、B两点的位置是解答此题的关键．

　

12．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=　 　.

【考点】HD：根据实际问题列二次函数关系式．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．

【解答】解：∵一月份新产品的研发资金为a元，

2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，

∴2月份研发资金为a×（1+x），

∴三月份的研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）²．

故填空答案：a（1+x）²．

【点评】此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）²=b来解题．

　

13．把二次函数y=2x²的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为　 　.

【考点】H6：二次函数图象与几何变换．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．

【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x²的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）²，即y=2（x+1）²；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）²向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）²﹣2，即y=2（x+1）²﹣2．

故答案为：y=2（x+1）²﹣2．

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

　

14．设抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为　 .

【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征；H8：待定系数法求二次函数解析式．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】根据点C的位置分情况确定出对称轴解析式，然后设出抛物线解析式，再把点A、B的坐标代入求解即可．

【解答】解：∵点C在直线x=2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，

∴抛物线的对称轴为直线x=1或x=3，

当对称轴为直线x=1时，设抛物线解析式为y=a（x﹣1）²+k，

将A（0，2），B（4，3）代入解析式，

则 ，

解得 ，

所以，y= （x﹣1）²+ = x²﹣ x+2；

当对称轴为直线x=3时，设抛物线解析式为y=a（x﹣3）²+k，

将A（0，2），B（4，3）代入解析式，

则 ，

解得 ，

所以，y=﹣ （x﹣3）²+ =﹣ x²+ x+2，

综上所述，抛物线的函数解析式为y= x²﹣ x+2或y=﹣ x²+ x+2．

故答案为：y= x²﹣ x+2或y=﹣ x²+ x+2．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，难点在于分情况确定出对称轴解析式并讨论求解．

　

15．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x²，该型号飞机着陆后滑行 　m才能停下来.

【考点】HE：二次函数的应用．

【难度】中

【专题】填空题

【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值．

【解答】解：∵a=﹣1.5＜0，

∴函数有最大值．

∴y_最大值= = =600，

即飞机着陆后滑行600米才能停止．

故答案为：600．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键．

　

16．设A、B、C三点依次分别是抛物线y=x²﹣2x﹣5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是　 　.

【考点】HA：抛物线与x轴的交点．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】令x=0求得点A的坐标；令y=0，根据一元二次方程根与系数的关系求得点B和点C的横坐标之和、横坐标之积，进而得到BC的长，根据三角形的面积公式即可求解．

【解答】解：令x=0，则y=﹣5，即A（0，﹣5）；

设B（b，0），C（c，0）．

令y=0，则x²﹣2x﹣5=0，

则b+c=2，bc=﹣5，

则|b﹣c|= = =2 ，

则△ABC的面积是 ×5× =5 ．

故答案为5 ．

【点评】此题考查了抛物线与坐标轴的交点所组成的三角形的面积的求法．

　

17．已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为　 　.

【考点】HA：抛物线与x轴的交点．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】由抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=2，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣2，0），根据二次函数的对称性，求得B点的坐标，再求出AB的长度．

【解答】解：∵对称轴为直线x=2的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，

∴A、B两点关于直线x=2对称，

∵点A的坐标为（﹣2，0），

∴点B的坐标为（6，0），

AB=6﹣（﹣2）=8．

故答案为：8．

【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点．此题难度不大，解题的关键是求出B点的坐标．

　

18．有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：

甲：对称轴为直线x=4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数.

请你写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式 　.

【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】利用函数图象对称轴设出抛物线与x轴的交点间的距离为2的交点式解析式（只要与x轴两交点的距离为4即可），再根据与y轴的交点坐标取值，然后代入求解即可．

【解答】解：根据题意，设y=a（x﹣3）（x﹣5），

∵与坐标轴三个交点为顶点的三角形的面积为3，

∴抛物线与坐标轴的交点坐标可以为（0，3），

∴a（0﹣3）（0﹣5）=3，

解得a= ，

所以，y= （x﹣3）（x﹣5），

即y= x²﹣ x+3．

故答案为：y= x²﹣ x+3（本题答案不唯一，只要符合题意即可）．

【点评】本题考查了二次函数的性质，利用交点式解析式设出抛物线解析式更加简便．

　

19．把抛物线y=ax²+bx+c向左平移2个单位长度，同时向下平移1个单位长度后，恰好与抛物线y=2x²+4x+1重合.请求出a、b、c的值，并画出函数的示意图.

【考点】H6：二次函数图象与几何变换．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】根据目标函数图象向相反的方向平移，可得原函数图象，根据图象右移减，上移加，可得答案．

【解答】解：将y=2x²+4x+1整理，得y=2（x+1）²﹣1．

∵抛物线y=ax²+bx+c向左平移2个单位长度，

再向下平移1个单位长度，得y=2x²+4x+1=2（x+1）²﹣1，

∴将y=2x²+4x+1=2（x+1）²﹣1向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y=ax²+bx+c，故y=ax²+bx+c=2（x+1﹣2）²﹣1+1=2（x﹣1）²=2x²﹣4x+2，

∴a=2．b=﹣4，c=2．

示意图如图所示．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，图象右移减、左移加，上移加、下移减．

　

20．炮弹的运行轨道若不计空气阻力是一条抛物线．现测得我军炮位A与射击目标B的水平距离为600cm，炮弹运行的最大高度为1200m.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若在A、B之间距离A点500m处有一高350cm的障碍物，计算炮弹能否越过障碍物.

【考点】HE：二次函数的应用．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)以A为原点，则B点的坐标为（600，0），顶点坐标为（300，1200），设抛物线的解析式为y=a（x﹣300）²+1200，由待定系数法求出其值即可；

(2)把x=500代入（1）的解析式求出y的值与350比较久可以得出结论．

【解答】解：(1)以A为原点，则B（600，0），顶点坐标为（300，1200），

设抛物线的解析式为y=a（x﹣300）²+1200，由题意，得

0=a（600﹣300）²+1200，

解得：a=﹣ ．

∴抛物线的解析式为：y=﹣ （x﹣300）²+1200；

(2)当x=500时，

y=﹣ （500﹣300）²+1200，

y= ．

∵ ＞350，

∴炮弹能越过障碍物．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，由二次函数的解析式求函数值的运用，解答时求出抛物线的解析式是关键．

　

21．某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润.

【考点】HE：二次函数的应用．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】确定每件利润、销售量，根据利润=每件利润×销售量，得出销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系，利用配方法确定函数的最值．

【解答】解：设销售价每件定为x元，则每件利润为（x﹣8）元，销售量为[100﹣10（x﹣10）]，

根据利润=每件利润×销售量，

可得销售利润y=（x﹣8）•[100﹣10（x﹣10）]=﹣10x²+280x﹣1600=﹣10（x﹣14）²+360，

∴当x=14时，y的最大值为360元，

∴应把销售价格定为每件14元，可使每天销售该商品所赚利润最大，最大利润为360元．

【点评】此题考查二次函数的性质及其应用，将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题，比较简单．

　

22．已知二次函数y=（t+1）x²+2（t+2）x+ 在x=0和x=2时的函数值相等

(1)求二次函数的解析式，并作图象；

(2)若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的象都经过点A（﹣3，m），求m和k的值.

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H2：二次函数的图象；H5：二次函数图象上点的坐标特征．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)根据已知条件知，该函数的对称轴方程为x=1，则﹣ =1，据此易求t的值，把t的值代入函数解析式即可；根据图象与坐标轴的交点坐标，顶点坐标画出图象；

(2)把点A的坐标代入二次函数解析式，利用方程可以求得m的值；然后把点A的坐标代入一次函数解析式，也是利用方程来求k的值．

【解答】解：(1)∵二次函数 在x=0和x=2时的函数值相等，

∴对称轴x=﹣ = =1，即﹣ =1，

解得，t=﹣ ，

则二次函数的解析式为：y=（﹣ +1）x²+2（﹣ +2）x+ ，即y=﹣ （x+1）（x﹣3）或y=﹣ （x﹣1）²+2，

∴该函数图象的开口方向向下，且经过点（﹣1，0），（3，0），（0， ），顶点坐标是（1，2）．其图象如图所示：

；

(2)∵二次函数的象经过点A（﹣3，m），

∴m=﹣ （﹣3+1）（﹣3﹣3）=﹣6．

又∵一次函数y=kx+6的图象经过点A（﹣3，m），

∴m=﹣3k+6，即﹣6=﹣3k+6，

解得，k=4．

综上所述，m和k的值分别是﹣6、4．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象以及二次函数图象上点的坐标特征．求得二次函数的解析式时，利用了二次函数图象的对称性质．

　

23．小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x（单位：cm）的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积S（单位：cm²）随x（单位：cm）的变化而变化.

(1)请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；

(2)当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？

【考点】HE：二次函数的应用．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)S= x×这边上的高，把相关数值代入化简即可；

(2)结合(1)得到的关系式，利用公式法求得二次函数的最值即可．

【解答】解：(1)S=﹣ x²+20x

(2)∵﹣ ＜0，

∴S有最大值，

∴当x=﹣ =﹣ =20时，

S有最大值为 = =200cm²．

∴当x为20cm时，三角形最大面积是200cm²．

【点评】考查二次函数的应用；掌握二次函数的顶点为（﹣ ， ），是解决本题的关键．

　

24．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=﹣ （t﹣19）²+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？

【考点】HE：二次函数的应用．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解；

(2)水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，把6代入所给二次函数关系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．

【解答】解：(1)∵点C到ED的距离是11米，

∴OC=11，

设抛物线的解析式为y=ax²+11，由题意得B（8，8），

∴64a+11=8，

解得a=﹣ ，

∴y=﹣ x²+11；

(2)水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为11﹣5=6（米），

∴6=﹣ （t﹣19）²+8，

∴（t﹣19）²=256，

∴t﹣19=±16，

解得t₁=35，t₂=3，

∴35﹣3=32（小时）．

答：需32小时禁止船只通行．

【点评】考查二次函数的应用；判断出所求二次函数的形式是解决本题的关键；注意结合(1)得到h的最大高度．

　

25．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm.

(1)若花园的面积为192m²，求x的值；

(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.

【考点】HE：二次函数的应用；AD：一元二次方程的应用．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)根据题意得出长×宽=192，进而得出答案；

(2)由题意可得出：S=x（28﹣x）=﹣x²+28x=﹣（x﹣14）²+196，再利用二次函数增减性求得最值．

【解答】解：(1)∵AB=x，则BC=（28﹣x），

∴x（28﹣x）=192，

解得：x₁=12，x₂=16，

答：x的值为12或16；

(2)∵AB=xm，

∴BC=28﹣x，

∴S=x（28﹣x）=﹣x²+28x=﹣（x﹣14）²+196，

∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，

∵28﹣15=13，

∴6≤x≤13，

∴当x=13时，S取到最大值为：S=﹣（13﹣14）²+196=195，

答：花园面积S的最大值为195平方米．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．

　

26．已知二次函数y=x²﹣2mx+m²+3（m是常数）.

(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；

(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？

【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)求出根的判别式，即可得出答案；

(2)先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．

【解答】(1)证明：∵△=（﹣2m）²﹣4×1×（m²+3）=4m²﹣4m²﹣12=﹣12＜0，

∴方程x²﹣2mx+m²+3=0没有实数解，

即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；

(2)解：y=x²﹣2mx+m²+3=（x﹣m）²+3，

把函数y=（x﹣m）²+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x﹣m）²的图象，它的顶点坐标是（m，0），

因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，

所以，把函数y=x²﹣2mx+m²+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．

【点评】本题考查了二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度．