【331721】第5章 二次函数测试卷（2）

二次函数测试卷（2）

一、选择题

1．二次函数y=x²﹣4x+5的最小值是（　　）

A．﹣1 B．1 C．3 D．5

　

2．二次函数y=ax²+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：

x	﹣3	﹣2	﹣1	0	1	2	3	4	5
y	12	5	0	﹣3	﹣4	﹣3	0	5	12

给出了结论：

(1)二次函数y=ax²+bx+c有最小值，最小值为﹣3；

(2)当 时，y＜0；

(3)二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（　　）

A．3 B．2 C．1 D．0

　

3．将二次函数y=x²﹣2x+3化为y=（x﹣h）²+k的形式，结果为（　　）

A．y=（x+1）²+4 B．y=（x+1）²+2 C．y=（x﹣1）²+4 D．y=（x﹣1）²+2

　

4．已知0≤x≤ ，那么函数y=﹣2x²+8x﹣6的最大值是（　　）

A．﹣10.5 B．2 C．﹣2.5 D．﹣6

　

5．如图，二次函数y=x²+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣ 的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（　　）

A．y=x²﹣x﹣2 B．y=x²﹣x+2 C．y=x²+x﹣2 D．y=x²+x+2

　

6．在二次函数y=x²﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（　　）

A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，0

　

7．已知m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，则代数式2k²﹣8k+6的最小值为（　　）

A．﹣2 B．0 C．2 D．2.5

　

8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）²+m²+1有最大值4，则实数m的值为（　　）

A．﹣ B． 或 C．2或 D．2或 或

　

9．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x²+1，﹣x}的最大值是（　　）

A． B． C．1 D．0

　

10．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（0，﹣2），与x轴交点的横坐标分别为x₁，x₂，且﹣1＜x₁＜0，1＜x₂＜2，下列结论正确的是（　　）

A．a＜0 B．a﹣b+c＜0 C．﹣ D．4ac﹣b²＜﹣8a

　

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y=﹣2（x﹣h）²+k，则下列结论正确的是（　　）

A．h＞0，k＞0 B．h＜0，k＞0 C．h＜0，k＜0 D．h＞0，k＜0

　

12．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）.下列结论：①ab＜0，②b²＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

13．用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是　 　cm².

　

二、填空题

14．把二次函数y=x²﹣12x化为形如y=a（x﹣h）²+k的形式　 .

　

15．抛物线y=x²+1的最小值是　 　.

　

16．函数y=（x﹣1）²+3的最小值为　 　.

　

17．已知二次函数y=x²+bx+c经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是　 　.

　

三、解答题

18．已知二次函数y=x²+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线.

(1)求m、n的值；

(2)如图，一次函数y=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式.

　

19．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣ x²+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD.

(1)求此抛物线的解析式.

(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积.

　

20．已知抛物线y=﹣x²+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求抛物线的顶点坐标.

　

21．（如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E.

(1)求此抛物线的解析式.

(2)若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积.

　

22．如图，抛物线y=x²+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是x=﹣3，请解答下列问题：

(1)求抛物线的解析式.

(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，求△BCD的面积.

注：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣ .

　

23．如图，已知二次函数y=x²+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）

(1)求此二次函数的解析式.

(2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标.

答案

1．二次函数y=x²﹣4x+5的最小值是（　　）

A．﹣1 B．1 C．3 D．5

【考点】H7：二次函数的最值．

【专题】选择题

【分析】先利用配方法将二次函数的一般式y=x²﹣4x+5变形为顶点式，再根据二次函数的性质即可求出其最小值．

【解答】解：配方得：y=x²﹣4x+5=x²﹣4x+2²+1=（x﹣2）²+1，

当x=2时，二次函数y=x²﹣4x+5取得最小值为1．

故选B．

【点评】本题考查了二次函数最值的求法，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．

　

2．二次函数y=ax²+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：

x	﹣3	﹣2	﹣1	0	1	2	3	4	5
y	12	5	0	﹣3	﹣4	﹣3	0	5	12

给出了结论：

(1)二次函数y=ax²+bx+c有最小值，最小值为﹣3；

(2)当 时，y＜0；

(3)二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（　　）

A．3 B．2 C．1 D．0

【考点】H7：二次函数的最值；HA：抛物线与x轴的交点．

【专题】选择题

【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．

【解答】解；由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x=1，

所以，当x=1时，二次函数y=ax²+bx+c有最小值，最小值为﹣4；故（1）小题错误；

根据表格数据，当﹣1＜x＜3时，y＜0，

所以，﹣ ＜x＜2时，y＜0正确，故（2）小题正确；

二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为（﹣1，0）（3，0），它们分别在y轴两侧，故（3）小题正确；

综上所述，结论正确的是（2）（3）共2个．

故选B．

【点评】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

　

3．将二次函数y=x²﹣2x+3化为y=（x﹣h）²+k的形式，结果为（　　）

A．y=（x+1）²+4 B．y=（x+1）²+2 C．y=（x﹣1）²+4 D．y=（x﹣1）²+2

【考点】H9：二次函数的三种形式．

【专题】选择题

【分析】根据配方法进行整理即可得解．

【解答】解：y=x²﹣2x+3，

=（x²﹣2x+1）+2，

=（x﹣1）²+2．

故选D．

【点评】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟记配方法的操作是解题的关键．

　

4．已知0≤x≤ ，那么函数y=﹣2x²+8x﹣6的最大值是（　　）

A．﹣10.5 B．2 C．﹣2.5 D．﹣6

【考点】H7：二次函数的最值．

【专题】选择题

【分析】把二次函数的解析式整理成顶点式形式，然后确定出最大值．

【解答】解：∵y=﹣2x²+8x﹣6=﹣2（x﹣2）²+2．

∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．

又∵0≤x≤ ，

∴当x= 时，y取最大值，y_最大=﹣2（ ﹣2）²+2=﹣2.5．

故选C．

【点评】本题考查了二次函数的最值．确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．

　

5．如图，二次函数y=x²+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣ 的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（　　）

A．y=x²﹣x﹣2 B．y=x²﹣x+2 C．y=x²+x﹣2 D．y=x²+x+2

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．

【专题】选择题

【分析】将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出A的坐标，将A与B坐标代入二次函数解析式求出b与c的值，即可确定出二次函数解析式．

【解答】解：将A（m，4）代入反比例解析式得：4=﹣ ，即m=﹣2，

∴A（﹣2，4），

将A（﹣2，4），B（0，﹣2）代入二次函数解析式

得： ，

解得：b=﹣1，c=﹣2，

则二次函数解析式为y=x²﹣x﹣2．

故选A．

【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

　

6．在二次函数y=x²﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（　　）

A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，0

【考点】H7：二次函数的最值．

【专题】选择题

【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值．

【解答】解：抛物线的对称轴是x=1，

则当x=1时，y=1﹣2﹣3=﹣4，是最小值；

当x=3时，y=9﹣6﹣3=0是最大值．

故选A．

【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键．

　

7．已知m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，则代数式2k²﹣8k+6的最小值为（　　）

A．﹣2 B．0 C．2 D．2.5

【考点】H7：二次函数的最值．

【专题】选择题

【分析】首先求出k的取值范围，进而利用二次函数增减性得出k= 时，代数式2k²﹣8k+6的最小值求出即可．

【解答】解：∵m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，

∴m，n，k最小为0，当n=0时，k最大为： ，

∴0≤k ，

∵2k²﹣8k+6=2（k﹣2）²﹣2，

∴a=2＞0，∴k≤2时，代数式2k²﹣8k+6的值随k的增大而减小，

∴k= 时，代数式2k²﹣8k+6的最小值为：2×（ ）²﹣8× +6=2.5．

故选D．

【点评】此题主要考查了二次函数的最值求法以及二次函数增减性等知识，根据二次函数增减性得出k= 时，代数式2k²﹣8k+6的最小值是解题关键．

　

8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）²+m²+1有最大值4，则实数m的值为（　　）

A．﹣ B． 或 C．2或 D．2或 或

【考点】H7：二次函数的最值．

【专题】选择题

【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．

【解答】解：二次函数的对称轴为直线x=m，

①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值，

此时﹣（﹣2﹣m）²+m²+1=4，

解得m=﹣ ，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；

②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，

此时，m²+1=4，

解得m=﹣ ，m= （舍去）；

③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值，

此时，﹣（1﹣m）²+m²+1=4，

解得m=2，

综上所述，m的值为2或﹣ ．

故选C．

【点评】本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论．

　

9．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x²+1，﹣x}的最大值是（　　）

A． B． C．1 D．0

【考点】H7：二次函数的最值；F6：正比例函数的性质．

【专题】选择题

【分析】理解min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．

【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出函数二次函数y=﹣x²+1与正比例函数y=﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．

令﹣x²+1=﹣x，即x²﹣x﹣1=0，解得：x= 或 ，

∴A（ ， ），B（ ， ）．

观察图象可知：

①当x≤ 时，min{﹣x²+1，﹣x}=﹣x²+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为 ；

②当 ＜x＜ 时，min{﹣x²+1，﹣x}=﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值为 ；

③当x≥ 时，min{﹣x²+1，﹣x}=﹣x²+1，函数值随x的增大而减小，最大值为 ．

综上所示，min{﹣x²+1，﹣x}的最大值是 ．

故选A．

【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的性质是解题的关键．

　

10．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（0，﹣2），与x轴交点的横坐标分别为x₁，x₂，且﹣1＜x₁＜0，1＜x₂＜2，下列结论正确的是（　　）

A．a＜0 B．a﹣b+c＜0 C．﹣ D．4ac﹣b²＜﹣8a

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．

【专题】选择题

【分析】由开口方向，可确定a＞0；由当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，可确定B错误；由对称轴在y轴右侧且在直线x=1左侧，可确定x=﹣ ＜1；由二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（0，﹣2），对称轴在y轴右侧，a＞0，可得最小值： ＜﹣2，即可确定D正确．

【解答】解：A、∵开口向上，∴a＞0，故本选项错误；

B、∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，故本选项错误；

C、∵对称轴在y轴右侧且在直线x=1左侧，∴x=﹣ ＜1，故本选项错误；

D、∵二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（0，﹣2），对称轴在y轴右侧，a＞0，

∴最小值： ＜﹣2，

∴4ac﹣b²＜﹣8a．

故本选项正确．

故选D．

【点评】此题考查了图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

　

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y=﹣2（x﹣h）²+k，则下列结论正确的是（　　）

A．h＞0，k＞0 B．h＜0，k＞0 C．h＜0，k＜0 D．h＞0，k＜0

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．

【专题】选择题

【分析】根据抛物线所的顶点坐标在x轴的上方即可得出结论．

【解答】解：∵抛物线y=﹣2（x﹣h）²+k的顶点坐标为（h，k），由图可知，抛物线的顶点坐标在第一象限，

∴h＞0，k＞0．

故选A．

【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．

　

12．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）.下列结论：①ab＜0，②b²＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．

【专题】选择题

【分析】由抛物线的对称轴在y轴右侧，可以判定a、b异号，由此确定①正确；

由抛物线与x轴有两个交点得到b²﹣4ac＞0，又抛物线过点（0，1），得出c=1，由此判定②正确；

由抛物线过点（﹣1，0），得出a﹣b+c=0，即a=b﹣1，由a＜0得出b＜1；由a＜0，及ab＜0，得出b＞0，由此判定④正确；

由a﹣b+c=0，及b＞0得出a+b+c=2b＞0；由b＜1，c=1，a＜0，得出a+b+c＜a+1+1＜2，由此判定③正确；

由图象可知，当自变量x的取值范围在一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根之间时，函数值y＞0，由此判定⑤错误．

【解答】解：∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）过点（0，1）和（﹣1，0），

∴c=1，a﹣b+c=0．

①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴x=﹣ ＞0，

∴a与b异号，∴ab＜0，正确；

②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b²﹣4ac＞0，

∵c=1，∴b²﹣4a＞0，b²＞4a，正确；

④∵抛物线开口向下，∴a＜0，

∵ab＜0，∴b＞0．

∵a﹣b+c=0，c=1，∴a=b﹣1，

∵a＜0，∴b﹣1＜0，b＜1，

∴0＜b＜1，正确；

③∵a﹣b+c=0，∴a+c=b，

∴a+b+c=2b＞0．

∵b＜1，c=1，a＜0，

∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2，

∴0＜a+b+c＜2，正确；

⑤抛物线y=ax²+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），设另一个交点为（x₀，0），则x₀＞0，

由图可知，当x₀＞x＞﹣1时，y＞0，错误；

综上所述，正确的结论有①②③④．

故选B．

【点评】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，不等式的性质，难度适中．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b²﹣4ac的符号，此外还要注意二次函数与方程之间的转换．

13．用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是　 　cm².

【考点】H7：二次函数的最值．

【专题】填空题

【分析】设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是（16﹣x）cm，则矩形的面积S即可表示成x的函数，根据函数的性质即可求解．

【解答】解：设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是（16﹣x）cm．

则矩形的面积S=x（16﹣x），即S=﹣x²+16x，

当x=﹣ =﹣ =8时，S有最大值是：64．

故答案是：64．

【点评】本题考查了二次函数的性质，求最值得问题常用的思路是转化为函数问题，利用函数的性质求解．

　

14．把二次函数y=x²﹣12x化为形如y=a（x﹣h）²+k的形式　 .

【考点】H9：二次函数的三种形式．

【专题】填空题

【分析】由于二次项系数为1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．

【解答】解：y=x²﹣12x=（x²﹣12x+36）﹣36=（x﹣6）²﹣36，即y=（x﹣6）²﹣36．

故答案为y=（x﹣6）²﹣36．

【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式：

(1)一般式：y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；

(2)顶点式：y=a（x﹣h）²+k；

(3)交点式（与x轴）：y=a（x﹣x₁）（x﹣x₂）．

　

15．抛物线y=x²+1的最小值是　 　.

【考点】H7：二次函数的最值．

【专题】填空题

【分析】根据二次函数的最值问题解答即可．

【解答】解：抛物线y=x²+1的最小值是1．

故答案为：1．

【点评】本题考查了二次函数的最值问题，是基础题，熟练掌握利用顶点式解析式求最大（或最小）值是解题的关键．

　

16．函数y=（x﹣1）²+3的最小值为　 　.

【考点】H7：二次函数的最值．

【专题】填空题

【分析】根据顶点式得到它的顶点坐标是（1，3），再根据其a＞0，即抛物线的开口向上，则它的最小值是3．

【解答】解：根据非负数的性质，（x﹣1）²≥0，

于是当x=1时，

函数y=（x﹣1）²+3的最小值y等于3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了二次函数的最值的求法．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．

　

17．已知二次函数y=x²+bx+c经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是　 　.

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．

【专题】填空题

【分析】由于已知了二次函数与x轴的两交点坐标，则可设交点式易得其解析式．

【解答】解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣4），

而a=1，

所以二次函数的解析式为y=（x﹣3）（x﹣4）=x²﹣7x+12．

故答案为y=x²﹣7x+12．

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

　

18．已知二次函数y=x²+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线.

(1)求m、n的值；

(2)如图，一次函数y=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式.

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；FA：待定系数法求一次函数解析式．

【专题】解答题

【分析】(1)利用对称轴公式求得m，把P（﹣3，1）代入二次函数y=x²+mx+n得出n=3m﹣8，进而就可求得n；

(2)根据(1)得出二次函数的解析式，根据已知条件，利用平行线分线段成比例定理求得B的纵坐标，代入二次函数的解析式中求得B的坐标，然后利用待定系数法就可求得一次函数的表达式．

【解答】解：(1)∵对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线，

∴﹣ =﹣1，

∴m=2，

∵二次函数y=x²+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），

∴9﹣3m+n=1，得出n=3m﹣8．

∴n=3m﹣8=﹣2；

(2)∵m=2，n=﹣2，

∴二次函数为y=x²+2x﹣2，

作PC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则PC∥BD，

∴ = ，

∵P（﹣3，1），

∴PC=1，

∵PA：PB=1：5，

∴ = ，

∴BD=6，

∴B的纵坐标为6，

代入二次函数为y=x²+2x﹣2得，6=x²+2x﹣2，

解得x₁=2，x₂=﹣4（舍去），

∴B（2，6），

∴ ，解得 ，

∴一次函数的表达式为y=x+4．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式，根据已知条件求得B的坐标是解题的关键．

　

19．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣ x²+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD.

(1)求此抛物线的解析式.

(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积.

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H5：二次函数图象上点的坐标特征．

【专题】解答题

【分析】(1)根据题意确定出B与C的坐标，代入抛物线解析式求出b与c的值，即可确定出解析式；

(2)把抛物线解析式化为顶点形式，找出顶点坐标，四边形ABDC面积=三角形ABC面积+三角形BCD面积，求出即可．

【解答】解：(1)由已知得：C（0，4），B（4，4），

把B与C坐标代入y=﹣ x²+bx+c得： ，

解得：b=2，c=4，

则解析式为y=﹣ x²+2x+4；

(2)∵y=﹣ x²+2x+4=﹣ （x﹣2）²+6，

∴抛物线顶点坐标为（2，6），

则S_四边形ABDC=S_△ABC+S_△BCD= ×4×4+ ×4×2=8+4=12．

【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

　

20．已知抛物线y=﹣x²+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求抛物线的顶点坐标.

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H3：二次函数的性质．

【专题】解答题

【分析】(1)根据抛物线y=﹣x²+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0），直接得出抛物线的解析式为；y=﹣（x﹣3）（x+1），再整理即可，

(2)根据抛物线的解析式为y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，即可得出答案．

【解答】解：(1)∵抛物线y=﹣x²+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．

∴抛物线的解析式为；y=﹣（x﹣3）（x+1），

即y=﹣x²+2x+3，

(2)∵抛物线的解析式为y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，

∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．

【点评】此题考查了用待定系数法求函数的解析式，用到的知识点是二次函数的解析式的形式，关键是根据题意选择合适的解析式．

　

21．（如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E.

(1)求此抛物线的解析式.

(2)若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积.

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H3：二次函数的性质．

【专题】解答题

【分析】(1)利用待定系数法求二次函数解析式即可；

(2)首先求出直线与二次函数的交点坐标进而得出E，F点坐标，即可得出△DEF的面积．

【解答】解：(1)∵抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，

∴ ，

解得： ，

故抛物线解析式为：y=x²﹣2x﹣3；

(2)根据题意得：

，

解得： ， ，∴D（4，5），

对于直线y=x+1，当x=0时，y=1，∴F（0，1），

对于y=x²﹣2x﹣3，当x=0时，y=﹣3，∴E（0，﹣3），

∴EF=4，

过点D作DM⊥y轴于点M．

∴S_△DEF= EF•DM=8．

【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及三角形面积求法等知识，利用数形结合得出D，E，F点坐标是解题关键．

　

22．如图，抛物线y=x²+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是x=﹣3，请解答下列问题：

(1)求抛物线的解析式.

(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，求△BCD的面积.

注：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣ .

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H3：二次函数的性质．

【专题】解答题

【分析】(1)把点A（﹣4，﹣3）代入y=x²+bx+c得16﹣4b+c=﹣3，根据对称轴是x=﹣3，求出b=6，即可得出答案，

(2)根据CD∥x轴，得出点C与点D关于x=﹣3对称，根据点C在对称轴左侧，且CD=8，求出点C的横坐标和纵坐标，再根据点B的坐标为（0，5），求出△BCD中CD边上的高，即可求出△BCD的面积．

【解答】解：(1)把点A（﹣4，﹣3）代入y=x²+bx+c得：

16﹣4b+c=﹣3，

c﹣4b=﹣19，

∵对称轴是x=﹣3，

∴﹣ =﹣3，

∴b=6，

∴c=5，

∴抛物线的解析式是y=x²+6x+5；

(2)∵CD∥x轴，

∴点C与点D关于x=﹣3对称，

∵点C在对称轴左侧，且CD=8，

∴点C的横坐标为﹣7，

∴点C的纵坐标为（﹣7）²+6×（﹣7）+5=12，

∵点B的坐标为（0，5），

∴△BCD中CD边上的高为12﹣5=7，

∴△BCD的面积= ×8×7=28．

【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，用到的知识点是二次函数的图象和性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

　

23．如图，已知二次函数y=x²+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）

(1)求此二次函数的解析式.

(2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标.

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H3：二次函数的性质．

【专题】解答题

【分析】(1)利用待定系数法把A（1，0），C（0，﹣3）代入二次函数y=x²+bx+c中，即可算出b、c的值，进而得到函数解析式是y=x²+2x﹣3；

(2)首先求出A、B两点坐标，再算出AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标．

【解答】解：(1)∵二次函数y=x²+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3），

∴ ，

解得 ，

∴二次函数的解析式为y=x²+2x﹣3；

(2)∵当y=0时，x²+2x﹣3=0，

解得：x₁=﹣3，x₂=1；

∴A（1，0），B（﹣3，0），

∴AB=4，

设P（m，n），

∵△ABP的面积为10，

∴ AB•|n|=10，

解得：n=±5，

当n=5时，m²+2m﹣3=5，

解得：m=﹣4或2，

∴P（﹣4，5）（2，5）；

当n=﹣5时，m²+2m﹣3=﹣5，

方程无解，

故P（﹣4，5）（2，5）；

【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．