【331719】第5章 对函数的再探索

第5章对函数的再探索

一、选择题

1.若y=mx²+nx﹣p（其中m，n，p是常数）为二次函数，则（　　）

A. m，n，p均不为0                   B. m≠0，且n≠0               C. m≠0                 D. m≠0，或p≠0

2.下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）

A. y=                            B. y=x²+x﹣2                           C. y=2x+1                           D. y²=x²+3x

3.将抛物线y=3x²向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为(  )．

A. y=3(x+2)²-1                  B. y=3(x－2)²+1                  C. y=3(x－2)²-1                  D. y=3(x+2)²+l

4.已知点（ ）、（ ）、（ ）在双曲线 上，当 时， 、 、 的大小关系是(   )

A.                      B.                        C.                      D. 

5.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论： ①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有（   ）

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个

6.抛物线y=（x+2）²﹣3可以由抛物线y=x²平移得到，则下列平移过程正确的是（   ）

A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位          B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位         D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位

7.下列函数中，不是二次函数的是（　　）

A. y=1﹣ x²             B. y=2x²+4             C. y= （x﹣1）（x+4）      D. y=（x﹣2）²﹣x²

8.已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根分别是x₁=1.3和x₂=（　　）

A. ﹣1.3                                   B. ﹣2.3                                  C. ﹣0.3                                    D. ﹣3.3

9.二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a<0   ②b<0 ③c>0   ④4a+2b+c=0, ⑤b+2a=0 ⑥ b²-4ac>0其中正确的个数是(     ）

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个

10.若抛物线y=x²﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（   ）

A.抛物线开口向上
B.抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）
C.当x=1时，y的最大值为﹣4
D.抛物线的对称轴是直线x=1

11.下列图形中阴影部分面积相等的是（　　）

A. ①②                                     B. ②③                                     C. ①④                                     D. ③④

12.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax²+bx+c=0的近似解为（　　）

A. x₁≈﹣2.1，x₂≈0.1        B. x₁≈﹣2.5，x₂≈0.5       C. x₁≈﹣2.9，x₂≈0.9         D. x₁≈﹣3，x₂≈1

二、填空题

13.已知y与 成反比例，当y=1时，x=4，则当x=2时，y=________．

14.一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣ x²+ x+ ， 那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为________ 米．

15.二次函数y=4x²+3的顶点坐标为________ ．

16.把二次函数的表达式y=x²－4x+6化为y=a（x－h）²+k的形式，那么h+k=________．

17.如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）²+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为________ ．

18.若函数y=4x与y= 的图象有一个交点是（ ， 2），则另一个交点坐标是________ 

19.反比例函数y=﹣ ，当y的值小于﹣3时，x的取值范围是________．

20.如图，一次函数与反比例的图象相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是________．

21.二次函数的图象如图，对称轴为x=1．若关于x的一元二次方程x²+bx﹣t=0（为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是________．

三、解答题

22.y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：

（1）写出这个反比例函数的表达式；
（2）根据函数表达式完成上表．

23.如图，二次函数y=(x-2)²+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y=kx+b的图象上的点A（1,0）及B.

（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b （x-2）²+m的x的取值范围.

24.如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）判断△ABM的形状，并说明理由；

（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点

25.如图，抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A（﹣4，0），B（1，0），交y轴于C点，且OC=2OB．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线BC上找点D，使△ABD为以AB为腰的等腰三角形，求D点的坐标．

（3）在抛物线上是否存在异于B的点P，过P点作PQ⊥AC于Q，使△APQ与△ABC相似？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题

C B A B B B D D D C D B

二、填空题

13.

14. 3

15. （0，3）

16. 4

17. 8

18.

19. 0＜x＜1

20. x＜﹣1或0＜x＜2

21. ﹣1≤t＜8

三、解答题

22. 解：（1）设反比例函数的表达式为y= ，把x=﹣1，y=2代入得k=﹣2，y=﹣ ．
（2）将y= 代入得：x=﹣3；
将x=﹣2代入得：y=1；
将x=﹣ 代入得：y=4；
将x= 代入得：y=﹣4，
将x=1代入得：y=﹣2；
将y=﹣1代入得：x=2，
将x=3代入得：y=﹣ ．
故答案为：﹣3；1；4；﹣4；﹣2；2；- ．

23. 解;（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m得（1-2）²+m=0，解得m=-1，
所以二次函数解析式为y=（x-2）²-1；
当x=0时，y=4-1=3，
所以C点坐标为（0，3），
由于C和B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x=2，
所以B点坐标为（4，3），
将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得
，解得 ，
所以一次函数解析式为y=x-1；
（2）观察图像可得x的取值范围：x≤1或x≥4.

24. （1）解：∵A点为直线y=x+1与x轴的交点，
∴A（﹣1，0），
又B点横坐标为2，代入y=x+1可求得y=3，
∴B（2，3），
∵抛物线顶点在y轴上，
∴可设抛物线解析式为y=ax²+c，
把A、B两点坐标代入可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=x²﹣1；
（2）解：△ABM为直角三角形．理由如：
由（1）抛物线解析式为y=x²﹣1可知M点坐标为（0，﹣1），
∴AM= ，AB= = =3 ，BM= =2 ，
∴AM²+AB²=2+18=20=BM² ，
∴△ABM为直角三角形
（3）解：当抛物线y=x²﹣1平移后顶点坐标为（m，2m）时，其解析式为y=（x﹣m）²+2m，即y=x²﹣2mx+m²+2m，
联立y=x，可得 ，消去y整理可得x²﹣（2m+1）x+m²+2m=0，
∵平移后的抛物线总有不动点，
∴方程x²﹣（2m+1）x+m²+2m=0总有实数根，
∴△≥0，即（2m+1）²﹣4（m²+2m）≥0，
解得m≤ ，
即当m≤ 时，平移后的抛物线总有不动点

25. （1）解：∵B（1，0），OC=2OB，
∴C（0，﹣2），
设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣1），
把C（0，﹣2）代入得a•4•（﹣1）=﹣2，解得a= ，
∴抛物线的解析式为y= （x+4）（x﹣1），即y= x²+ x﹣2
（2）解：AB=1﹣（﹣4）=5，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B（1，0），C（0，﹣2）代入得 ，解得 ，
∴直线BC的解析式为y=2x﹣2，
设D（m，2m﹣2），
∵△ABD为以AB为腰的等腰三角形，
∴BD=BA=5或AD=AB=5，
当BD=BA时，即（m﹣1）²+（2m﹣2）²=5² ， 解得m₁=1+ ，m₂=1﹣ ，此时D点坐标为（1+ ，2 ），（1﹣ ，﹣2 ），
当AD=AB时，即（m+4）²+（2m﹣2）²=5² ， 解得m₁=1（舍去），m₂=﹣1，此时D点坐标为（﹣1，﹣4），
综上所述，满足条件的D点坐标为（1+ ，2 ），（1﹣ ，﹣2 ），（﹣1，﹣4）
（3）解：AB²=25，BC²=1²+2²=5，AC²=4²+2²=20，
∵AB²=BC²+AC² ，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
∵∠BAC=∠CAO，
∴△ACO∽△ABC，
∵△APQ与△ABC相似，
∴∠CAP=∠OAC，
∴AC平分∠BAP，
设直线AP交y轴于E，作CF⊥AE于F，

则CF=CO=2，
∵∠CEF=∠AEO，
∴△ECF∽△EAO，
∴ = = = ，
在Rt△AOE中，∵OE²+OA²=AE² ，
∴（2+CE）²+4²=（2CE）² ， 解得CE=﹣2（舍去）或CE= ，
∴E（0，﹣ ），
设直线AE的解析式为y=mx+n，
把A（﹣4，0），E（0，﹣ ）得 ，解得 ，
∴直线AE的解析式为y=﹣ x﹣ ，
解方程组 ，解得 或 ，
∴P（﹣ ，﹣ ）．