【324501】2024春七年级数学下册 专题06 多项式乘多项式压轴题四种模型全攻略（含解析）（新版

专题06多项式乘多项式压轴题四种模型全攻略

【类型一字母参数问题】

例1．（重庆·八年级期末）若 的结果中不含 的一次项，则 的值为______．

【答案】2

【解析】

【分析】

将原式化简后，将含有 的项进行合并，然后令其系数为 即可求出答案．

【详解】

解：原式

令 ，

，

故答案为： ．

【点睛】

本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘以多项式的乘法法则，本题属于基础题型．

【变式训练1】（吉林长春·八年级期末）若关于x的多项式（x+m）（2x﹣3）展开后不含x项，则m的值为 _____．

【答案】 ##1.5

【解析】

【分析】

根据多项式乘多项式可进行把含x的多项式进行展开，然后再根据题意可求解．

【详解】

解： ，

∵展开后不含x项，

∴ ，

解得： ；

故答案为 ．

【点睛】

本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键．

【变式训练2】（河南·嵩县教育局基础教育教学研究室八年级期末）（x²﹣mx+6）（4x﹣2）的积中不含x的二次项，则m的值是 ___．

【答案】 ##

【解析】

【分析】

先根据多项式乘以多项式的法则将已知代数式化简，再令二次项系数为0，即可求得 的值．

【详解】

（x²﹣mx+6）（4x﹣2）

不含x的二次项，

解得

故答案为：

【点睛】

本题考查了多项式乘以多项式，多项式的项的定义，正确的计算是解题的关键．

【变式训练3】（辽宁大连·八年级期末）若（x－1）（x²＋ax＋2）的展开式中不含x²项，则a的值是_______

【答案】1

【解析】

【分析】

根据多项式乘多项式法则展开并合并同类项，然后根据展开式中不含x²项，可得x²项的系数等于0，即可求出a的值．

【详解】

解：（x－1）（x²＋ax＋2）

=x³+ax²+2x-x²-ax-2

=x³+（a-1）x²+（2-a）x-2，

∵展开式中不含x²项，

∴a-1=0，

∴a=1．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了整式的乘法—多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解题关键，不含哪一项就合并同类项后令该项的系数等于0．

【类型二多项式乘多项式化简及求值问题】

例2．（江苏·七年级专题练习）先化简，再求值： ，其中 ，

【答案】 ， 1

【解析】

【分析】

先利用整式乘法计算括号内的运算，然后合并同类项，得到最简整式，再把 ， 代入计算，即可得到答案．

【详解】

解：

；

当 ，

原式 ．

【点睛】

本题考查了整式的混合运算，整式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．

【变式训练1】（全国·八年级课时练习）计算：

（1） ；（2） ；（3） ．

【答案】（1） ；（2） ；（3）

【解析】

【分析】

利用多项式乘以多项式法则计算即可得到；

【详解】

解：（1）

；

（2）

；

（3）

．

【点睛】

此题考查整式的乘法法则，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．

【变式训练2】（江苏南京·七年级期中）先化简，再求值： ，其中 ．

【答案】 ；

【解析】

【分析】

多项式乘以多项式，单项式乘以多项式展开，合并同类项对整式进行化简，然后再代值求解即可．

【详解】

解：

，

，

，

当 时，原式 ．

【点睛】

本题主要考查整式的乘法运算，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式展开，合并同类项代入求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键．

【变式训练3】（河南·八年级阶段练习）已知将 展开的结果不含 和 项，（m、n为常数）

（1）求m、n的值；

（2）在（1）的条件下，求 的值．（先化简，再求值）

【答案】（1） ；（2） ，-1792

【解析】

【分析】

（1）先按照多项式乘以多项式的计算法则展开，根据题意不含 和 项，则展开项的 和 项的系数为0，据此列出方程组，解方程组即可求得 的值；

（2）先将代数式化简，再根据（1）中的结论，将 的值代入代数式求解即可．

【详解】

解：（1） ，

，

由题意得： ，

解得： ；

（2）

，

当 ， 时，

原式

【点睛】

本题考查了整式的乘法运算，整式的化简求值，正确的计算是解题的关键．

【类型三多项式乘多项式与图形面积问题】

例2．（江西南昌·八年级期末）阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．图1给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长为c、b的长方形纸片．请解答下列问题：

（1）图2是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到（a+b）（a+2b）＝；

（2）请写出图3中所表示的数学等式：；

（3）请按要求利用所给的纸片在图4的方框中拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为（2a+b）（a+b），进而可以得到等式：（2a+b）（a+b）＝．

（4）利用（3）中得到的结论，解决下面的问题：若4a²+6ab+2b²＝5，a+b＝ ，求2a+b的值．

【答案】（1）a²+3ab+2b²；（2）（3a+b）（a+b）=3a²+4ab+b²；（3）画图见详解，2a²+3ab+b²；（4）5

【解析】

【分析】

（1）根据长方形面积的两种算法，即可得到答案；

（2）根据长方形面积的两种算法，即可得到答案；

（3）先画出长方形，再根据长方形面积的两种算法，即可得到答案；

（4）根据（2a+b）（a+b）=2a²+3ab+b²，代入求值即可．

【详解】

解：（1）∵长方形的面积=a²+3ab+2b²，长方形的面积=（a+b）（a+2b），

∴（a+b）（a+2b）＝a²+3ab+2b²，

故答案是：a²+3ab+2b²；

（2）∵长方形的面积=3a²+4ab+b²，长方形的面积=（3a+b）（a+b），

∴（3a+b）（a+b）=3a²+4ab+b²，

故答案是：（3a+b）（a+b）=3a²+4ab+b²；

（3）如图所示：

∴（2a+b）（a+b）=2a²+3ab+b²，

故答案是：2a²+3ab+b²；

（4）∵4a²+6ab+2b²＝5，

∴2a²+3ab+b²= ，

∵a+b＝ ，（2a+b）（a+b）=2a²+3ab+b²，

∴2a+b= ÷ =5．

【点睛】

本题是一个阅读理解问题，考查了多项式乘多项式的几何背景问题及因式分解的应用，与几何图形相结合，通过面积法直观理解、几何图形之间的数量关系对多项式乘法做出几何解释是解题的关键．

【变式训练1】（湖南长沙·八年级期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到 ，请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式．

（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若 ，求 的值．

（3）小明同学用图 中 张边长为 的正方形， 张边长为 的正方形 张边长分别为 的长方形纸片拼出一个面积为 长方形，求 的值．

【答案】（1） ；（2）14；（3）121

【解析】

【分析】

（1）根据图形，利用面积的不同计算方法可以写出相应的等式；

（2）根据（1）中的结果和 ，可以求得所求式子的值；

（3）将 展开，即可得到x、y、z的值，本题得以解决．

【详解】

解：（1）由图可得，图2中所表示的数学等式是： ，

故答案为： ；

（2）∵ ，

∴ ，

∴ ；

（3）由题可知，所拼图形的面积为： ，

∵ ＝ ，

∴ ，

∴ ．

【点睛】

本题考查的是乘法公式的几何意义，整式的乘法运算，公式的应用能力，掌握以上知识是解题的关键．

【变式训练2】（河南南阳·八年级阶段练习）老师出了一道题，让学生计算（a＋b）（p＋q）的值．

（1）填空：小聪发现这是道“多×多”的问题，直接利用多项式的乘法法则计算即可，（a＋b）（p＋q）＝　　；

小明观察这个式子后，发现可以把这个式了看成长为（a＋b），宽为（p＋q）的长方形，式子的结果就是长方形的面积；如图，通过分别大长方形为四个小长方形，就可以用四个小长方形的面积表达这个大长方形的面积_______．

比较大长方形和四个小长方形的面积我们可以得到等式：_______．

（2）请你类比上面的做法，通过画出符合题意得图形，利用分割面积的方法计算（a＋b）（a＋2b）．

【答案】（1） ， ， ；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据多项式乘以多项式的法则直接计算即可；

（2）画一个长为 ，宽为 的长方形即可．

【详解】

解：（1） ，

大长方形的面积为： ，

可以得到等式为： ，

故答案为： ， ， ；

（2）如图所示： ．

【点睛】

本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是利用数形结合的思想来求解．

【类型四多项式乘多项式与规律探究问题】

例4．（福建·石狮市中英文实验学校八年级阶段练习）探究应用：

（1）计算：（x﹣1）（x²+x+1）＝；（2x﹣y）（4x²+2xy+y²）＝．

（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为：．

（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是．

A．（m+2）（m²+2m+4）

B．（m﹣2n）（m²+2mn+2n²）

C．（3﹣n）（9+3n+n²）

D．（m﹣n）（m²+2mn+n²）

（4）设A＝10⁹﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除．

【答案】（1）x³﹣1，8x³﹣y³；（2）a³﹣b³；（3）C；（4）见解析

【解析】

【分析】

（1）用多项式乘以多项式的法则计算即可；

（2）观察第（1）问的计算，找出规律，用字母表示即可；

（3）判断各选项是否符合公式的特点；

（4）公式的逆用，求得A中有37的因数即可．

【详解】

解：（1）（x-1）（x²+x+1）

=x³+x²+x-x²-x-1

=x³-1；

（2x-y）（4x²+2xy+y²）

=8x³+4x²y+2xy²-4x²y-2xy²-y³

=8x³-y³；

故答案为：x³-1；8x³-y³；

（2）从第（1）问发现的规律是：（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³，

故答案为：（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³；

（3）A．第一个多项式不是减法，不符合题意；

B．最后一项应该是4n²，不符合题意；

C．符合题意；

D．第二个多项式的第二项应该为mn，不符合题意．

故选：C．

（4）A=10⁹-1

=（10³）³-1

=（10³-1）（10⁶+10³+1²）

=999×1001001

=3×3×3×37×1001001，

∴A能被37整除．

【点晴】

本题考查了多项式乘以多项式的法则，考查学生的计算能力，能对公式进行逆用是解题的关键．

【变式训练1】（江苏·七年级专题练习）观察下列各式：

……

（1）根据以上规律， ______；

（2）你能否由此归纳出一般规律： ______；

（3）根据以上规律求 的结果．

【答案】（1） ；（2） ；（3） ．

【解析】

【分析】

（1）根据已知等式的规律即可求出结论；

（2）根据已知等式的规律即可求出结论；

（3）将x=2，n=2018代入（2）的公式中即可求出结论．

【详解】

解：（1）根据已知等式的规律可得：

故答案为： ；

（2）

故答案为： ；

（3）令x=2，n=2018

由（2）可得 ．

【点睛】

此题考查的是探索运算规律题，找出运算规律并归纳公式是解决此题的关键．

【变式训练2】（上海市川沙中学南校七年级期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出右表，此表揭示了 （ 为非负数）展开式的各项系数的规律，通常称它为“杨辉三角”，杨辉三角的发现要比欧洲早四百多年，它与勾股定理、圆周率的计算等其他中国古代数学成就一起，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧与才能．

例如：规定：

那么， ，它只有一项，系数为1；

，它有两项，系数分别为1，1；

，它有三项，系数分别1，2，1；

，它有四项，系数分别为1，3，3，1；

根据以上规律， 展开式共有________项，系数分别为________……

根据以上规律，写出 的展开式： =________

【答案】五；1，4，6，4，1；

【解析】

【分析】

由图可知，从第三行开始，除去首项和最后一项，其余项应该等于上一行与其列数相同的数+上一行前一列的数．那么第五行的五个数就应该是1，4，6，4，1．即可得到答案．

【详解】

解：（a+b）⁰=1，它只有一项，系数为1；

（a+b）¹=a+b，它有两项，系数分别为1，1；

（a+b）²=a²+2ab+b²，它有三项，系数分别为1，2，1；

（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³，它有四项，系数分别为1，3，3，1；

所以（a+b）⁴的展开式有五项，系数分别为：1，4，6，4，1．

故答案为：五；1，4，6，4，1．

∴ ；

故答案为： ．

【点睛】

本题考查完全平方公式的推广，读懂题目信息，准确找出规律是解题的关键，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

【变式训练3】（山西省灵石县教育局教学研究室八年级期中）（1）探究发现：

小明计算下面几个题目

① ；② ；③ ；④

后发现，形如 的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律：

（2）面积说明：

上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算 ，发现这个规律是正确的．小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右面图形说明他发现的规律，请你帮助小明补全图中括号的代数式．

（3）逆用规律：

学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式： .

【答案】（1）x， ，pq；（2）如图见解析；（3）

【解析】

【分析】

（1）利用多项式乘以多项式的法则相乘即可得到结论

（2）通过总结（1）的计算结果： 在结合图形的面积，即可已得到答案．

（3）观察运算结果发现，一次项系数是两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积，即可得到答案．

【详解】

（1） ，

，

，

，

总结规律为：

（2）根据（1）中总结的规律：

结合图形的面积可知： 为长方形的面积，

则 为长方形的宽， 为长方形的长，

所以答案如图：

（3）按照小明发现的规律：

【点睛】

本题主要考查了多项式乘法中最基本的两个一次系数为1的一次二项式的乘法，通过运算能总结出规律是解题关键．

【课后训练】

1．（四川·江油实验学校八年级阶段练习）多项式 展开后不含x的一次项，则 ________．

【答案】2

【解析】

【分析】

先将多项式展开，再合并同类项，然后根据题意即可解答．

【详解】

解：∵

∵展开后不含x项，

即

故答案为：2

【点睛】

此题考查了多项式乘多项式的知识，注意观察哪些项相乘所得的结果含一次项是解题的关键．

2．（四川宜宾·八年级期中）若 的乘积展开式中不含 和 项，则 的值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

直接根据多项式乘多项式法则进行计算，由不含某一项就是说这一项的系数为0，得出m，n的值，即可得出答案

【详解】

解：∵

=x³+（2m-3）x²+（-n-6m）x+3n，

∵乘积展开式中不含x²和x项，

∴2m-3=0，-n-6m=0，

解得m= ，n=-9，

∴m+n= -9=- ．

故答案为：- ．

【点睛】

本题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握运算法则是解题关键．

3．（上海闵行·七年级期中）已知 ， ，则 _____．

【答案】1

【解析】

【分析】

根据多项式乘以多项式的法则将原式展开，然后条件即可求出原式的值．

【详解】

解：当m+n=2，mn=-2，

(3−m)(3−n)=9+mn-3（m+n）

=9-2-6

=1．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．

4．（上海浦东新·七年级期中）若a+b＝﹣3，ab＝1，则（a+1）（b+1）（a﹣1）（b﹣1）＝_____．

【答案】-5

【解析】

【分析】

根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．

【详解】

解：∵a+b=-3，ab=1，

∴（a+1）（b+1）（a-1）（b-1）

=[（a+1）（b+1）][（a-1）（b-1）]

=（ab+a+b+1）（ab-a-b+1）

=（1-3+1）×（1+3+1）

=-1×5

=-5．

故答案为：-5．

【点睛】

本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．

5．（广东汕尾·八年级期末）关于 的多项式 与 的乘积，一次项系数是25，则 的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

先求出两个多项式的积，再根据一次项系数为25，得到关于m的一次方程，求解即可．

【详解】

解：（2x−m）（3x＋5）

＝6x²−3mx＋10x−5m

＝6x²＋（10−3m）x−5m．

∵积的一次项系数为25，

∴10−3m＝25．

解得m＝−5．

故答案为：-5．

【点睛】

本题考查了多项式乘以多项式和解一元一次方程，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．

6．（福建·厦门市第九中学八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为 ，连接AF、CF、AC．若 ， 的面积为S，则 ______．

【答案】50

【解析】

【分析】

根据题意得：AB=BC=CD=AD=10，FG=BG=b，则CG=b+10，可得 ，即可求解．

【详解】

解：根据题意得：AB=BC=CD=AD=10，FG=BG=b，则CG=b+10，

∴

．

故答案为：50

【点睛】

本题主要考查了整式混合运算的应用，根据题意得到 是解题的关键．

7．（甘肃·金昌市龙门学校八年级期末）对a，b，c，d定义一种新运算： ，如 ，计算 _________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据新定义规则把行列式化为常规乘法，利用多项式乘法法则展开，合并同类项即可．

【详解】

解： ．

故答案为： ．

【点睛】

本题考查新定义，整式的乘法混合运算，掌握新定义规则，整式的乘法混合运算法则是解题关键．

二、解答题

8．（湖南·衡阳市华新实验中学八年级期中）计算：

（1）

（2）

【答案】（1） ；（2）

【解析】

【分析】

按照多项式乘多项式的法则乘出来，再合并同类项即可．

【详解】

（1）

（2）

【点睛】

本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘法法则是关键，但注意的是，不要出现漏乘．

9．（全国·八年级课时练习）计算：

（1） ；                                 （2） ；

（3） ；                                   （4） ．

【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．

【解析】

【分析】

（1）先提出一个负号，然后利用多项式乘以多项式的计算方法求解即可；

（2）利用多项式乘以多项式的计算方法求解即可；

（3）先用 ，再利用多项式乘以多项式的计算方法求解即可；

（4）先计算多项式乘以多项式，然后利合并同类项求解即可．

【详解】

解：（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

．

【点睛】

本题主要考查了多项式乘以多项式，合并同类项，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

10．（四川· 淮安市淮阴区开明中学八年级开学考试）已知关于x的代数式 与 的乘积中，不含有x的一次项，求m的值．

【答案】

【解析】

【分析】

先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据乘积中不含x的一次项得出答案即可．

【详解】

解： ，

∵乘积中不含x的一次项，

∴ ，

∴ ，

即当 时，乘积中不含x的一次项．

【点睛】

本题考查了多项式乘以多项式中不含某一项的求解问题，能正确根据多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．

11．（全国·七年级期中）先化简，再求值：（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2），其中x＝﹣2．

【答案】5x+19，9

【解析】

【分析】

先计算多形式的乘法，再去括号合并同类项，然后把x＝﹣2代入计算．

【详解】

解：原式=2x²+x-2x-1-2(x²+2x-5x-10)

=2x²+x-2x-1-2x²-4x+10x+20

=5x+19，

当x＝﹣2时，

原式=-10+19=9

【点睛】

本题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握运算顺序是解答本题的关键．四则混合运算的顺序是先算乘除，再算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．

12．（四川省绵阳南山中学双语学校八年级期中）化简求值： ，其中 ， ．

【答案】 ，8．

【解析】

【分析】

先根据整式的四则混合运算法则化简，然后将x、y的值代入计算即可．

【详解】

解：

=

=

当 、 时， ．

【点睛】

本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的四则混合运算法则成为解答本题的关键．

13．（山东·东平县实验中学阶段练习）先化简，再求值．

   其中 ．

【答案】 ，20．

【解析】

【分析】

根据多项式乘法的计算法则化简原式后再把x的值代入计算即可．

【详解】

解：

∴当 时，原式= ．

【点睛】

本题考查了整式的化简求值，根据多项式乘法的计算法则对原式进行化简是解题关键．

14．（四川·达州市第一中学校七年级期末）（1）先化简，再求值： ，其中x＝-1，y＝2．

（2）已知A＝2x²+3ax﹣2x﹣1，B＝x²﹣ax+1，且A﹣2B的值与x的取值无关，求5a﹣1的值．

【答案】（1）﹣2x²y﹣xy²，0；（2）1

【解析】

【分析】

（1）运用整式的四则混合运算法则，先化简再代入求值即可．

（2）与x取值无关，即与x相乘的代数值为0即可．

【详解】

解：（1）原式＝5x²y﹣3xy²﹣7x²y+2xy²

＝﹣2x²y﹣xy²，

当x＝﹣1，y＝2时，原式＝﹣2×（-1）²×2﹣（-1）×2²＝﹣4+4＝0；

（2）∵A＝2x²+3ax﹣2x﹣1，B＝x²﹣ax+1，

∴A﹣2B＝（2x²+3ax﹣2x﹣1）﹣2（x²﹣ax+1）

＝2x²+3ax﹣2x﹣1﹣2x²+2ax﹣2

＝5ax﹣2x﹣3

＝（5a﹣2）x﹣3，

∵A﹣2B的值与x的取值无关，

∴5a﹣2＝0，

解得：a＝ ，

当a＝ 时，5a﹣1＝2﹣1＝1．

【点睛】

本题考查了多项式乘多项式的化简，运算顺序：先乘方；再乘除，后加减，有括号时、先算括号里的：去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．与x的取值无关是指合并同类项以后，所有含x的项的系数为0，那么无论x取什么值，都不会影响函数式的值．

15．（海南·海口市第七中学八年级期中）如图是某单位办公用房的平面结构示意图（长度单位：米），图形中的四边形均是长方形或正方形．

(1)用含x、y的式子分别表示会客室和会议厅的占地面积．

(2)如果 ， 求会议厅比会客室大多少平方米？

【答案】(1)会客室占地面积为 平方米，会议厅的占地面积为 平方米；

(2)会议厅比会客室大37平方米．

【解析】

【分析】

（1）结合图形分别表示出会客厅与会议厅的长宽，然后利用面积公式计算即可得；

（2）由（1）中结论代入化简可得 ，将已知式子的值化简，然后代入计算即可得．

(1)

解：结合图形可得：会客室的长为 ，宽为 ，

∴会客室面积为： ，

会议厅的长为 ，宽为 ，

∴会议厅的面积为 ；

∴会客室面积为 平方米，会议厅的面积为 平方米；

(2)

解：

，

由 ，得 ，

∴ ，

∵ ，

∴ （平方米）

答：会议厅比会客室大37平方米．

【点睛】

题目主要考查整式混合运算的应用及已知式子的值，求代数式的值，理解题意，找出图形中的边长关系列出代数式是解题关键．

16．（黑龙江省八五五农场学校八年级期末）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化面积是多少平方米？并求出当 ， 时的绿化面积．

【答案】绿化面积是 平方米；当 ， 时，绿化面积是63平方米

【解析】

【分析】

根据绿化面积=长方形地块-雕像面积进行求解即可．

【详解】

解：由题意得：

平方米；

当 ， 时， 平方米，

答：绿化面积是 平方米；当 ， 时，绿化面积是63平方米．

【点睛】

本题主要考查了多项式乘多项式与图形面积，解题的关键在于能够根据题意表示出绿化面积．

17．（上海浦东新·七年级期中）某中学有一块长30m，宽20m的长方形空地，计划在这块空地上划分出部分区域种花，小明同学设计方案如图，设花带的宽度为x米．

(1)请用含x的式子表示空白部分长方形的面积；（要化简）

(2)当花带宽2米时，空白部分长方形面积能超过400m²吗？请说明理由．

【答案】(1)

(2)超过，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）空白部分长方形的两条边长分别是（30-2x）m，（20-x）m．得空白部分长方形的面积；

（2）通过有理数的混合运算得结果与400进行比较．

(1)

空白部分长方形的两条边长分别是（30-2x）m，（20-x）m．

空白部分长方形的面积：（30-2x）（20-x）=(2x²-70x+600) m²．

(2)

超过．

∵2×2²-70×2+600=468（m²），

∵468＞400，

∴空白部分长方形面积能超过400m²．

【点睛】

本题考查有代数式表示实际问题，掌握用代数式表示长方形的边长，读懂题意列出代数式是解决此题关键．

18．（重庆市育才中学八年级期末）如图1所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到完全平方公式： ．

请你结合以上知识，解答下列问题：

(1)写出图2所示的长方形所表示的数学等式_________．

(2)根据图3得到的结论，解决下面的问题：若 ， ，求代数式 的值．

(3)小华同学用图4中 张边长为 的正方形纸片， 张边长为 的正方形纸片， 张边长分别为 ， 的长方形纸片拼出一面积为 的长方形，求代数式 的值．

【答案】(1)

(2)24

(3)55

【解析】

【分析】

（1）图2中的等量关系为：大长方形面积=各小长方形面积的和，只需用两种方式表示出大长方形面积即可；

（2）通过面积相等的原理找出， ， ， ，三个算式之间的关系，代入求解即可；

（3）将代数式 化简后，找的a，b与x，y，z，之间的关系，代入可得： ．

(1)

解： ．

(2)

由题可知： ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ．

(3)

（3）∵ ，

∴ ， ， ，

∴ ．

【点睛】

本题考查多项式乘多项式的计算，整体代入思想，数形结合思想，能够通过几何图形找到代数之间的等量关系是解决此类题型的关键．

19．（北京·101中学八年级期中）【知识回顾】

我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式 的值与x的取值无关，求a的值．

通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项。因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．

具体解题过程是：原式 ，

代数式的值与x的取值无关， ，解得 ．

【理解应用】

（1）若关于x的多项式 的值与x的取值无关，求m值；

（2）已知 ， ，且 的值与x的取值无关，求m的值；

【能力提升】

（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为S₁，左下角的面积为S₂，当AB的长变化时， 的值始终保持不变，求a与b的等量关系．

【答案】（1） ；（2） ；（3）

【解析】

【分析】

（1）把x看作字母，m看作系数，合并同类项。因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0；

（2）先根据多项式的加减计算 ，再按照（1）的方法求得 的值；

（3）设 ，分别用含 的代数式求得 ，进而根据题意结果与 无关，根据（1）的方法求得 的关系．

【详解】

（1）

代数式的值与x的取值无关，

解得

（2） ，

，

代数式的值与x的取值无关，

解得 ；

（3）设 ，则

，

当AB的长变化时， 的值始终保持不变，

．

即 ．

【点睛】

本题考查了整式的混合运算，理解题意是解题的关键．

20．（江西抚州·八年级期中）张老师组织学校数学兴趣小组展开探究发现：

……

(1)启航小组提出的问题是：试求 的值，请你合理推算；

(2)展翅小组提出的问题是：判断 的值的末位数是几，请你写出推断过程；

(3)创新小组提出的问题是：计算 ，请你认真思考并写出解题过程．

【答案】(1)63

(2) 的末位数字是3，推断过程见解析

(3) ，解题过程见解析

【解析】

【分析】

（1）由题意可知 ，然后计算求解即可；

（2）由题意知，原式 ，从2的1次幂开始，末位数依次是2、4、8、6、2、4、8、6、2、4、8、6……，可推导一般性规律为：末位数以4为周期进行循环， ，可知 的末位数字是4，进而可知 的末位数字；

（3） 可写成 的形式，然后进行计算即可．

(1)

解：

(2)

解：由题意知：原式

从2的1次幂开始，末位数依次是2、4、8、6、2、4、8、6、2、4、8、6……

可推导一般性规律为：末位数以4为周期进行循环

∵

∴ 的末位数字是4

∴ 的末位数字是3．

(3)

解：

【点睛】

本题考查了多项式乘法规律的探究．解题的关键与难点在于理解运算过程并推导出一般性规律．

21．（江西宜春·八年级期末）观察下列各式：

；

；

；

……

根据这一规律计算：

(1) ______； ______；

(2) ．

【答案】(1) ，

(2)

【解析】

【分析】

（1）观察已知等式，归纳总结确定出所求即可；

（2）将原式变形为 ，根据所得规律计算即可.

(1)

解：归纳总结得： ；

；

故答案为： ；

(2)

解：原式= = .

【点睛】

本题考查了多项式乘以多项式，观察等式发现规律是解题关键．

22．（陕西·西安市中铁中学七年级阶段练习）（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x²﹣1；

（x﹣1）（x²+x+1）＝x³﹣1；

（x﹣1）（x³+x²+x+1）＝　　；

（2）猜想：（x﹣1）（xn+xn^﹣1+……+x+1）＝　　（n为大于3的正整数），并证明你的结论；

（3）运用（2）的结论计算（3²⁰¹⁹+3²⁰¹⁸+3²⁰¹⁷+……+3²+3+1）﹣（3¹⁰⁵⁰×2）²÷（8×3⁸⁰）；

（4）3²⁰¹⁹﹣3²⁰¹⁸+3²⁰¹⁷﹣3²⁰¹⁶+……+3⁵﹣3⁴+3³﹣3²+3＝　　．

【答案】（1）x⁴−1；（2）xn^＋1−1，理由见详解；（3） ；（4）

【解析】

【分析】

（1）根据多项式乘多项式法则计算即可求解；

（2）利用发现的规律填写，再利用多项式乘多项式法则证明即可；

（3）利用得出的规律计算得到结果；

（4）两个数一组分别提取公因数，再把底数化为9，利用得出的规律计算，即可求解．

【详解】

解：（1）解：根据多项式乘多项式法则可得：（x﹣1）（x³+x²+x+1）＝x⁴−1，

故答案是：x⁴−1；       

（2）∵（x﹣1）（x+1）＝x²﹣1，（x﹣1）（x²+x+1）＝x³﹣1，（x﹣1）（x³+x²+x+1）＝x⁴−1，

∴（x﹣1）（xn+xn^﹣1+……+x+1）= xn^＋1−1，

理由如下：（x﹣1）（xn+xn^﹣1+……+x+1）= xn^＋1+ xn+xn^﹣1+……+x-（xn+xn^﹣1+……+x+1）

= xn^＋1−1，

故答案是：xn^＋1−1；

（3）（3²⁰¹⁹+3²⁰¹⁸+3²⁰¹⁷+……+3²+3+1）﹣（3¹⁰⁵⁰×2）²÷（8×3⁸⁰）

= ﹣3²¹⁰⁰×4÷8÷3⁸⁰

= -

= ；

（4）3²⁰¹⁹﹣3²⁰¹⁸+3²⁰¹⁷﹣3²⁰¹⁶+……+3⁵﹣3⁴+3³﹣3²+3

=2×3²⁰¹⁸+2×3²⁰¹⁶+2×3²⁰¹⁴+……+2×3²+3

=2×（3²⁰¹⁸+3²⁰¹⁶+3²⁰¹⁴+……+3²）+3

=2×（9¹⁰⁰⁹+9¹⁰⁰⁸+9¹⁰⁰⁷+……+9+1-1）+3

=2× +3

=2×

= ，

故答案是： ．

【点睛】

本题考查了整式的混合运算，掌握多项式乘多项式法则，归纳出公式（x﹣1）（xn+xn^﹣1+……+x+1）= xn^＋1−1，是解题的关键．

23．（江苏·七年级专题练习）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．

例如：（a+b）⁰＝1，它只有一项，系数为1；

（a+b）¹＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；

（a+b）²＝a²+2ab+b²，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；

根据以上规律，解答下列问题：

（1）（a+b）⁵展开式的系数和是　　；（a+b）n展开式的系数和是　　．

（2）当a＝2时，（a+b）⁵展开式的系数和是　　；（a+b）n展开式的系数和是　　．

【答案】（1）2⁵；2n；（2）3⁵；3ⁿ．

【解析】

【分析】

（1）经过求和计算和变形，观察发现展开式的各项系数之和为当a=1,b=1时的代数式的值，按此规律便可求解

（2）利用知识迁移，用a=2，b=1求和（a+b）⁵展开式的系数和（2+1）⁵计算即可，同样方法求（a+b）n展开式的系数和（2+1）ⁿ即可

【详解】

解：（1）1=1⁰=（1+1）⁰，

1，1，1+1=2=2¹=（1+1）¹，

1，2，1，1+2+1=2²=（1+1）²，

1，3，3，1，1+3+3+1=8=2³=（1+1）³

1，4，6，4，1，1+4+6+4+1=16=2⁴=（1+1）⁴

……

当a=1,b=1时，(a+b)ⁿ展开式的系数和（1+1）ⁿ

展开式的系数和是2⁵，

∴（a+b）⁵展开式的系数和是当a=1,b=1时（1+1）⁵=2⁵；

∴（a+b）⁵展开式的系数和是2⁵；

当a=1,b=1时，（a+b）ⁿ=（1+1）n=2n，

（a+b）n展开式的系数和是2n，

故答案为：2⁵；2n；

（2）当a＝2时，b=1,（a+b）⁵=（2+1）⁵=3⁵

当a＝2时，（a+b）⁵展开式的系数和是3⁵；

当a＝2时，b=1, （a+b）n=（2+1）ⁿ=3ⁿ

（a+b）n展开式的系数和是3ⁿ．

故答案为：3⁵；3ⁿ．

【点睛】

本题考查两数和的n次方公式与展开式各项系数和，本题主要是根据已知与图形，让学生探究，观察规律是求a与b为特定值是的代数式的值，属于一种开放性题目．

24．（湖北·公安县教学研究中心八年级期末）若整式A只含有字母x，且A的次数不超过3次，令 ，其中a，b，c，d为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：M 为整式A的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有关联点．例如，若整式 ，则a＝0，b＝2，c＝-5，d＝4，故A的关联点为（-5，-11）．

(1)若 ，试求出A的关联点坐标；

(2)若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与 的乘积，若整式C的关联点为（6，15），求整式B的表达式．

(3)若整式D＝x-2，整式E是只含有字母x的一次多项式，整式F是整式D与整式E的平方的乘积，若整式F的关联点为（-32，0），请直接写出整式E的表达式．

【答案】(1)

(2)

(3) 或

【解析】

【分析】

（1）根据整式 得出 ， ， ， ，根据关联点的定义得出 ， ，即可得出 的关联点坐标；

（2）根据题意得出 中 的次数为 次，设    ，计算出 ，进而表达出 ， ， ， 的值，再根据 的关联点为 ，列出关于 ， 的等式，解出 、 的值即可；

（3）设 ，根据题意求出 ，进而表达出 ， ， ， 的值，再根据 的关联点为 ，列出关于 ， 的等式，解出 、 的值即可．

(1)

解：（1） ，

， ， ， ，

， ，

的关联点坐标为： ，

故笞案为： ；

(2)

整式 是只含有字母 的整式，整式 是 与 的乘积，

是二次多项式，且 的次数不能超过 次，

中 的次数为 次，

设 ，

，

， ， ， ，

整式 的关联点为 ，

， ，

解得： ， ，

；

(3)

根据题意：设 ，

，

， ， ， ，

整式 的关联点为 ，

， ，

， ，

，

把 代入 得： ，

解得： ，

或 ，

或 ．

【点睛】

本题主要考查整式的乘法，掌握整式的乘法是解决问题的关键．