【324499】2024春七年级数学下册 专题05 乘法公式（含解析）（新版）浙教版

专题05 乘法公式

评卷人 得分

一、选择题(每题2分，共20分)

1．(本题2分)（全国·七年级专题练习）下列从左到右的变形正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【思路点拨】根据平方差公式、多项式乘多项式、完全平方公式分别对各选项进行逐一分析即可．

【规范解答】解：A． ，原变形错误，故此选项不符合题意；

B． ，原变形错误，故此选项不符合题意；

C． ，原变形正确，故此选项符合题意；

D． ，原变形错误，故此选项不符合题意；

故选：C．

【考点评析】本题考查平方差公式和完全平方式，准确运用乘法公式是解决问题的关键．

2．(本题2分)（福建三明·七年级统考期末）若 ， ， ，……， 是2022个由1和 组成的数，且满足 ，则 的值为（    ）

A．2122 B．2422 C．3844 D．4244

【答案】C

【思路点拨】根据完全平方公式展开，整理汇总即可解得．

【规范解答】解：

故选：C．

【考点评析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是熟悉完全平方公式．

3．(本题2分)（七年级课时练习）下列各式计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【思路点拨】根据乘法公式、多项式乘多项式法则逐项判断即可得．

【规范解答】解：A． ，则此项错误，不符合题意；

B． ，则此项错误，不符合题意；

C． ，则此项错误，不符合题意；

D． ，则此项正确，符合题意；

故选：D．

【考点评析】本题考查了乘法公式、多项式乘多项式，熟练掌握乘法公式和多项式的乘法法则是解题关键．

4．(本题2分)（七年级课时练习）如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正图乙的边长为（    ）

A．7 B．8 C．5.6 D．10

【答案】B

【思路点拨】设正方形Ａ的边长是 ，正方形 的边长是 ，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 和 ，列出等式求得图乙的面积，最后求得图乙的边长．

【规范解答】解：设正方形Ａ的边长是 ，正方形 的边长是 ，

由题可得图甲中阴影部分的面积是 ，

图乙中阴影部分的面积是 ，

图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 和 ，

， ，

图乙面积为：

，

．

故选：B．

【考点评析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 和 列出等式是解题的关键．

5．(本题2分)（北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知有理数a，b，c满足 ， ，则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【思路点拨】由 得 ，再求得 得 ，进一步求出 ， ， 即可求解．

【规范解答】解：∵ ， ，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

整理，得 ，

∴ ，

∵ ， ， ，

∴ ， ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ， ，

把 ， ， 代入 得：

原式 ，

故选：C．

【考点评析】本题考查了利用乘法公式变形求值，解题的关键是利用乘法公式得到 ．

6．(本题2分)（湖南益阳·七年级统考期末）已知 ，则 等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【思路点拨】根据方程 可变形为 ，利用完全平方式将 化成 ，从而整体代入计算即可．

【规范解答】解：由 方程两边同时除以 得 ，变形为 ，

则 ，

故选：B．

【考点评析】本题考查了代数式化简求值，利用完全平方公式变形并采用整体思想是解题关键．

7．(本题2分)（陕西西安·七年级高新一中校考期中） 的个位数字为（    ）

A．5 B．1 C．2 D．4

【答案】B

【思路点拨】将 变形为 ，利用平方差公式求解．

【规范解答】解：

，

∵ ， ， ， ， ……

可知个位数变化规律为：3，9，7，1，4次一个循环，

∴ 的个位数为1，

∴ 的个位数为0，

∴ 的个位数可能是0或5，

∴ 的个位数可能是1或6，

观察选项可知，只有B选项为1，

故选B．

【考点评析】本题考查平方差公式的应用，能够运用平方差公式对原式进行变形是解题的关键．

8．(本题2分)（江苏·七年级专题练习）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 和 ，则正方形A，B的面积之和为（    ）

A．4 B．4.5 C．5 D．5．5

【答案】B

【思路点拨】设A、B正方形的面积分别为a、b，则边长分别为 、 ,再根据题意列式求得 、 ，然后根据a+b= 计算即可．

【规范解答】解：设A、B正方形的面积分别为a、b，则边长分别为 、

由图甲可得：

由图乙可得： ，即：   

a+b= ．

故选B．

【考点评析】本题主要考查了完全平方公式在图形面积中的应用，根据图形列出等量关系是解答本题的关键．

9．(本题2分)七年级课时练习）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为 的正方形，需要 类卡片的张数为（  ）

A．6 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【思路点拨】根据大正方形的边长，可求出大正方形的面积为 ，根据完全平方公式，分解为3部分，刚好就是A、B、C这3类图形面积部分.其中，分解的ab部分的系数即为B类卡片的张数．

【规范解答】大正方形的面积为：

其中 为A类卡片的面积，∴需要A类卡片一张；

同理，需要B类卡片4张，C类卡片4张．

故选D．

【考点评析】本题考查了完全平方公式在几何图中的应用，遇到这类题目，需要想办法先将题干转化为我们学习过的数学知识，然后再求解．

10．(本题2分)（福建三明·七年级统考期中）化简 的结果是(　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【思路点拨】将3转换成 的形式，再利用平方差公式求解即可．

【规范解答】

故答案为：A．

【考点评析】本题考查了实数的化简运算问题，掌握平方差公式是解题的关键．

评卷人 得分

二、填空题(共20分)

11．(本题2分)（七年级课时练习）若 ，且 ，则 ______ ．

【答案】4

【思路点拨】利用平方差公式将 分别，然后代入 的值即可得出答案．

【规范解答】解：由题意得， ，

，

．

故答案为： ．

【考点评析】此题考查了平方差公式，属于基础题，掌握平方差公式的形式是解答本题的关键．

12．(本题2分)（山东济南·七年级校考期中）若 是一个完全平方式，则 的值为_________．

【答案】

【思路点拨】这里首末两项是 和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去 和4积的2倍．

【规范解答】解：∵ 是一个完全平方式，

∴ ，

则 ．

故答案为： ．

【考点评析】此题主要考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

13．(本题2分)（七年级课时练习）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为3；图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为21；若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积是 _____．

【答案】45

【思路点拨】由图1可知，阴影部分面积 ，图2可知，阴影部分面积 ，进而得到 ，由图3可知，阴影部分面积 ，进而即可求解．

【规范解答】解：设A卡片的边长为a，B卡片的边长为b，则A卡片的面积为 ，B卡片的面积为 ，

图1中阴影部分的面积可以表示为 ，由题意可知， ，

图2阴影部分的面积可以表示为 ，由题意可知， ，

图3阴影部分的面积可以表示为

＝3+42

，

故答案为：45．

【考点评析】此题考查完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解图形的构成，正确掌握完全平方公式是解题的关键．

14．(本题2分)（上海·七年级校考期中）如果二次三项式 是完全平方式，那么常数 ___________；

【答案】

【思路点拨】根据完全平方公式的构成即可求得结果；

【规范解答】∵ ，

∴ ，

∴ ；

故答案是： ．

【考点评析】本题主要考查了完全平方公式的应用，准确分析判断是解题的关键．

15．(本题2分)（七年级课时练习）如图，两个正方形的边长分别为 ， ，如果 ， ，则阴影部分的面积为___________．

【答案】

【思路点拨】根据阴影部分面积等于两个正方形面积之和减去两个直角三角形面积，得出阴影部分面积为 ，然后整理，得出 ，然后把 ， 整体代入计算即可．

【规范解答】解：∵ ， ，

∴

，

∴阴影部分的面积为 ．

故答案为：

【考点评析】本题考查了整式混合运算的应用、代数式求值、完全平方公式、求阴影部分的面积，解本题的关键在根据图形，得出阴影部分的面积．

16．(本题2分)（北京海淀·七年级清华附中校考期末）设x，y满足 ， ，则 ______．

【答案】

【思路点拨】将 ， 两式相加，再利用立方和公式，求解即可．

【规范解答】解：将 ， 两式相加，可得

，

即 ，

即 ，

∵ 恒成立，

∴ ，即 ，

，

故答案为： ．

【考点评析】本题主要考查了立方和公式的应用．解答该题时需要熟记立方和公式 ．

17．(本题2分)（湖南怀化·七年级统考期末）已知 ，则 的值等于________．

【答案】

【思路点拨】利用完全平方公式求出（a−b），（b−c），（a−c）的平方和，然后代入数据计算即可求解．

【规范解答】解：∵ ，

∴

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

故答案为：

【考点评析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是分别把 ， ，相加凑出， 三个式子两边平方后相加，化简求解．

18．(本题2分)（七年级单元测试）实践操作：现有两个正方形A，B．如图所示进行两种方式摆放：

方式1：将B放在A的内部，得甲图；

方式2：将A，B并列放置，构造新正方形得乙图．

问题解决：对于上述操作，若甲图和乙图阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为________．

【答案】13

【思路点拨】设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），得图甲中阴影部分的面积为 ，可解得 ，图乙中阴影部分的面积为 ，可得 ,可得a+b＝5，进而求得a与b的值即可求解.

【规范解答】解：设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），

得图甲中阴影部分的面积为

解得 或 （舍去），

图乙中阴影部分的面积为 ，

可得 ，

解得a+b＝5或a+b＝﹣5（舍去），

联立得 ，解得 ，

∴ ，

∴正方形A，B的面积之和为13.

故答案为：13．

【考点评析】此题考查了灵活利用乘法公式求图形面积问题的能力，关键是能根据图形列出对应的算式．

19．(本题2分)（七年级单元测试）已知 ，求 ________．

【答案】

【思路点拨】设 ，则 ；根据题意，得 ；再将 代入到代数式中计算，即可得到答案．

【规范解答】∵

∴

设 ，则

∴ ，即

∴

故答案为： ．

【考点评析】本题考查了整式运算和代数式的知识；解题的关键是熟练掌握整式乘法、完全平方公式的性质，从而完成求解．

20．(本题2分)（山东枣庄·七年级校考期中）计算：（2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2³²+1）+1＝_____．

【答案】2⁶⁴

【思路点拨】在原式前面乘以（2﹣1）构造能用平方差公式的结构，连续使用平方差公式即可．

【规范解答】原式＝ ，

＝ ，

＝ ，

＝2⁶⁴﹣1+1，

＝2⁶⁴；

故本题答案为2⁶⁴．

【考点评析】此题主要考查平方差公式的应用，解题的关键是将原式变形为平方差的形式．

评卷人 得分

三、解答题(共60分)

21．(本题6分)（七年级课时练习）（1）证明：相邻两个奇数的平方的差是8的倍数．（注释：两个奇数的平方的差：两个奇数各自平方，然后相减）

（2）证明：任意两个奇数的平方的差是4的倍数．

（3）已知 ，求 的值．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2

【思路点拨】（1）表示出相邻两个奇数为： ， ，列出他们平方的差进行计算即可；

（2）表示相互两个奇数为： ， ，列出他们平方的差进行计算即可；

（3）将 ， 转化为底数为3的形式，再利用幂的乘方和同底数幂的乘方运算即可．

【规范解答】（1）证明：相邻两个奇数的平方的差是8的倍数．（注释：两个奇数的平方的差：两个奇数各自平方，然后相减）

设：这两个奇数为： ， （注：设为2n-1，2n+1也可以）

则： 是8的倍数，

∴相邻两个奇数的平方的差是8的倍数．

（2）证明：任意两个奇数的平方的差是4的倍数．

设：这两个奇数为： ，

则： 是4的倍数，

∴任意两个奇数的平方的差是4的倍数．

（3）已知 ，求 的值．

．

【考点评析】本题考查完全平方公式的运算及同底数幂的乘法和幂的乘方的运算，熟练运用公式及法则是解决问题的关键．

22．(本题6分)（河北石家庄·七年级统考期末）如图，图1是长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线（对称轴）剪开，用得到的四个全等的小长方形，拼成如图2所示的大正方形（无重叠无缝隙），设图2中小正方形（阴影部分）面积为 ．

(1)用两种不同方法求 ；（用含 、 的式子表示）

(2)请直接写出 、 、 这三个代数式之间的数量关系；

(3)利用（2）中结论，完成下列计算：

①若 ， ，求 的值；

②已知 ， ，求 的值．

【答案】(1)方法①： ；方法②： ；

(2) ；

(3)① ；② ．

【思路点拨】(1)根据长方形正方形面积的公式即可求出结果；

(2)根据完全平方和、完全平方差公式记得结论；

(3)根据完全平方和、完全平方差公式之间的关系即可求出结果．

【规范解答】（1）解：①∵大正方形的边长为 ，

∴大正方形的面积为： ，

∵组成大正方形的四个长方形的长宽是 ，

∴四个长方形的面积： ；

∴阴影部分的面积为： ，

②∵阴影部分的边长为： ，

∴阴影部分的面积为： ．

（2）解：∵ ， ，

∴ ，

∴ ．

（3）解：①∵ ， ，

∴ ，

∴ ．

②∵ ， ，

∴ ．

【考点评析】本题考查了完全平方公式的几何意义和代数意义，理解完全平方公式是解题的关键．

23．(本题8分)（湖南永州·七年级统考期末）阅读：数学学习中，“算两次”是建立相等关系的一种重要思想，例如：

一条直线上有 个点，它们可以确定多少条线段呢？

方法一：从左至右，不重不漏的数．以 为端点的线段

共 条；以 为端点的线段 共 条；以 为端点的线段 共 条；……以 为端点的线段 是1条．以上累加起来即可．

方法二：每个点都能和除它以外的个 点形成线段，共可形成 条线段，但所有线段都数了两遍．

(1)根据上述两种方法计算线段的总条数N，各写出一个用n表示N的表达式．

方法一：

方法二：

(2)运用：

①试猜想 之间的关系．

②计算：

(3)拓展：七年级一班有8名班干部，现要随机选派3人参加某志愿者活动，共有种不同的选派方案．（填数字）

【答案】(1) ，

(2)① ；②

(3)56

【思路点拨】（1）由不同的计算方法求解即可；

（2）①利用整式的乘法求解即可；

②首选根据平方差公式展开，然后利用（1）总结的规律求解即可；

（3）由方法一求解即可．

【规范解答】（1）解：把不同端点的线段相加可得总条数 ；

由点和线段的规律可得线段的总条数 ；

故答案为： ， ．

（2）①∵

∴ 之间的关系是 ；

②

；

（3）由题意可得，共有 ．

【考点评析】本题考查了列代数式，平方差公式等知识，灵活运用这些性质是解题的关键．

24．(本题8分)（辽宁沈阳·七年级校考期中）若x满足 ，求 的值．

解：设 ， ，则 ，

，

．

解决问题：

(1)若x满足 ，则 ______．

(2)若x满足 ，求 的值，写出解题过程．

(3)如图，在长方形 中， ， ，点E、F是 、 上的点，且 ，分别以 、 为边在长方形 外侧作正方形 和 ，若长方形 的面积为200平方单位，则图中阴影部分的面积和为______平方单位．

【答案】(1)12

(2)

(3)544

【思路点拨】（1）设 ，参照题目中给出的解题方法进行求解即可；

（2）设 ，逆用题目中给出的解题方法进行求解即可；

（3）根据长方形 的面积为200平方单位，得到： ，利用题目中给定的方法求出 ，即可得解．

【规范解答】（1）解：设： ，

则： ， ，

∴ ；

故答案为： ；

（2）解：设 ，

则： ，

，

∵ ，

即： ，

∴ ，

∴ ；

（3）解：∵在长方形 中， ， ，

∴ ，

∴ ，

∵长方形 的面积为200平方单位，

∴ ，

设 ，

则： ，即： ，

，

∴ ；

即：图中阴影部分的面积和为 平方单位．

故答案为： ．

【考点评析】本题考查完全平方公式的变形运算．理解并掌握给出的运算方法，是解题的关键．

25．(本题8分)（江苏无锡·七年级校考期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到 请解答下列问题：

(1)写出图2中所表示的数学等式．

(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面问题：已知 ， ，求 的值．

(3)小明同学又用 张边长为 的正方形， 张边长为b的正方形， 张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为 长方形，那么 _________．

【答案】(1)

(2)45

(3)156

【思路点拨】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积 各矩形的面积之和求解即可；

（2）将 ， ，代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；

（3）将 张边长为 的正方形， 张边长为 的正方形， 张边长分别为 、 的长方形的面积的和等于 即可得到答案．

【规范解答】（1）解： ；

（2）

（3）由题意可知：

，

，

， ， ，

．

故答案为：156．

【考点评析】本题考查的是多项式乘多项式、完全平方公式的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．

26．(本题8分)（河南鹤壁·七年级校考阶段练习）观察下列各式：

① ；② ；③ ；…

(1)探索以上式子的规律，写出第n个等式：______（用含n的代数式表示）；

(2)若式子 满足以上规律，求a与b的值；

(3)计算： ．

【答案】(1)

(2) ，

(3)216

【思路点拨】（1）根据观察得出规律，进而解答即可；

（2）通过观察可知，得出含n的方程，解出即可；

（3）解题的关键在于，根据（1）（2）所给算式归结总结出一般规律，结合其规律将原式变形为4×5+46+4×7+．．．+4×25．

【规范解答】（1）∵ ；② ；③ ；…

∴第n个等式： ．

故答案为： ；

（2）∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ， ；

（3）

．

【考点评析】此题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，找出数字之间的联系，得出运算规律解决问题．

27．(本题8分)（七年级课时练习）【阅读理解】

“若x满足 ，求 的值”

解：设 ， ，则 ， ，所以

【解决问题】

(1)若x满足 ，求 的值．

(2)若x满足 ，求 的值．

(3)如图，正方形ABCD的边长为x， ， ，长方形EFGD的面积是240，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．

【答案】(1)109

(2)

(3)阴影部分的面积为964

【思路点拨】（1）仿照举例进行解答即可；

（2）设 ， ，则 ， ， ，最后根据 即可解答；

（3）正方形ABCD的边长为x， ， 结合题意可得 ，设 ， ，从而得到 的值，再根据举例求出 ，最后求出 即可解答．

【规范解答】（1）解：设 ， ，则 ， ，

∴ ；

（2）解：设 ， ，则 ， ， ， ，

∴ ．

（3）解：∵正方形ABCD的边长为x， ， ，

∴ ， ，

∴ ，

设 ， ，

∴ ， ，

∴ ，

∴阴影部分的面积为： ．

【考点评析】本题主要考查了完全平分公式的应用、阅读理解能力等知识点，熟记完全平分公式 并灵活转化是解决本题的关键．

28．(本题8分)（浙江杭州·七年级校考期中）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到

(1)写出由图2所表示的数学等式：________________________．

(2)根据上面的等式，如果将 看成 ，直接写出 的展开式（结果化简）；若 ，求 的值．

(3)已知实数 、 、 ，满足以下两个条件： 且 ，求 的值．

【答案】(1)

(2) ； 的值为1或9．

(3)2或6．

【思路点拨】（1）把大正方形面积和小矩形面积之和表示出来，根据大正方形面积也等于各个小矩形面积之和写出相应关系式；

（2）根据提示可得 ，仿照（1）中的公式即可写出展开式，将 展开为 ，根据题意及平方根的计算即可求解；

（3）运用换元法，简化计算，有助于快速解出题目．

（1）

大正方形面积＝ ，大正方形面积也等于各个小矩形面积之和即： ，

∴ ．

故答案为： ．

（2）

根据（1）中公式，

即

由题意得： ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 或3

∴ 或9．

（3）

∵ ，

∴ ，

令A＝a＋1，B＝b−2，C＝c＋3，可得 ，

∴a＝A−1，b＝B＋2，c＝C−3，

∴a＋b−c＝A−1＋B＋2−（C−3）＝A＋B−C＋4，

（a＋1）（c＋3）＋（b−2）（c＋3）＝（a＋1）（b−2）变形得，

．

∴ ，

∴A＋B−C＝−2或2，

∴a＋b−c＝A＋B−C＋4＝2或6．

【考点评析】本题考查了灵活运用完全平方式，以及运算能力，转换变形是本题得关键．