【324489】2024春七年级数学下册 专题3.1 同底数幂乘法（知识解读）（含解析）（新版）浙教版

专题3.1 同底数幂乘法（知识解读）

【学习目标】

1. 掌握同底数幂的乘法运算性质，能用文字和符号语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算．

2. 运用同底数幂的乘法法则解决一下实际问题．

3.经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义.

4.了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.

【知识点梳理】

知识点1：幂的乘法运算

口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

a^m×aⁿ=a^（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)

知识点2：幂的乘方运算

口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

(m,n都为正整数)

知识点3：积的乘方运算

口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

（m,n为正整数）

【典例分析】

【考点1 幂的乘法运算】

【典例1】计算x³•x²的结果是（　　）

A．﹣x⁵ B．x⁵ C．﹣x⁶ D．x⁶

【答案】B

【解答】解：原式＝x³⁺²

＝x⁵．

故选：B．

【变式1-1】计算x•x²结果正确的是（　　）

A．x B．x² C．x³ D．x⁴

【答案】C

【解答】解：原式＝x¹⁺²＝x³．

故选：C．

【变式1-2】计算﹣x²•x的结果是（　　）

A．x² B．﹣x² C．x³ D．﹣x³

【答案】D

【解答】解：﹣x²•x＝﹣x²⁺¹＝﹣x³．

故选：D．

【变式1-3】计算x³•（﹣x²）的结果是（　　）

A．﹣x⁶ B．﹣x⁵ C．x⁶ D．x⁵

【答案】B

【解答】解：x³•（﹣x²）＝﹣x⁵，

故选：B．

【典例2】计算：

（1）﹣b²×（﹣b）²×（﹣b³） （2）（2﹣y）³×（y﹣2）²×（y﹣2）⁵

【解答】解：（1）﹣b²×（﹣b）²×（﹣b³）

＝b²×b²×b³

＝b⁷；

（2）（2﹣y）³×（y﹣2）²×（y﹣2）⁵

＝﹣（y﹣2）³（y﹣2）⁷

＝﹣（y﹣2）¹⁰．

【变式2-1】计算：y³•（﹣y）•（﹣y）⁵•（﹣y）²．

【解答】解：原式＝y³•（﹣y）•（﹣y）⁵•y²

＝y³•（﹣y）•（﹣y⁵）•y²

＝y³•y•y⁵•y²

＝y^3+1+5+2

＝y¹¹．

【变式2-2】计算：（m﹣n）²×（n﹣m）³×（m﹣n）⁶

【解答】解：原式＝（n﹣m）²×（n﹣m）³×（n﹣m）⁶＝（n﹣m）²⁺³⁺⁶＝（n﹣m）¹¹．

【变式2-3】（x﹣y）³•（x﹣y）⁴•（x﹣y）²．

【解答】解：原式＝（x﹣y）³⁺⁴⁺²＝（x﹣y）⁹．

【典例3】（2022秋•东方校级月考）已知2^x＝3，2^y＝5，求2^x+y+3的值．

【解答】解：∵2^x＝3，2^y＝5，

∴2^x+y+3＝2^x•2^y•2³＝3×5×8＝120．

【变式3-1】（2022秋•鄱阳县月考）已知4^m＝5，4ⁿ＝9，则4^m+n的值为 　 　．

【答案】45

【解答】解：∵4^m＝5，4ⁿ＝9，

∴4^m+n＝4^m×4ⁿ＝5×9＝45，

故答案为：45．

【变式3-2】（2022秋•南岗区校级月考）已知a^x＝3，a^y＝4，则a^x+y＝　 　．

【答案】12

【解答】解：a^x+y＝a^x•a^y＝3×4＝12，

故答案为：12．

【变式3-3】（2021春•滨海县期中）（1）已知：a^m＝﹣2，aⁿ＝5，求a^m+n的值．

（2）已知：x+2y+1＝3，求3^x•9^y×3的值．

【解答】解：（1）∵a^m＝﹣2，aⁿ＝5，

∴a^m+n

＝a^m•aⁿ

＝（﹣2）×5

＝﹣10；

（2）∵x+2y+1＝3，

∴x+2y＝2，

∴3^x•9^y×3

＝3^x•（3²）^y×3

＝3^x•3^2y×3

＝3^x+2y×3

＝3²×3

＝9×3

＝27．

【考点2：幂的乘方运算】

【典例4】计算：

1. （2）

【解答】解：（1）（10²）³

＝10²×³

＝10⁶．

（2） =

【变式4-1】计算：

（1） （2）

（3） （4）

【解答】解：（1） =

（2）

（3）

（4）

【变式4-2】计算（a²）³的结果正确的是（　　）

A．a⁵ B．a⁶ C．2a³ D．3a²

【答案】B

【解答】解：（a²）³

＝a²×³

＝a⁶．

故选：B．

【典例5】（2022秋•东莞市校级期中）已知10^a＝2，10^b＝3，求值：

（1）10^2a+10^3b；

（2）10^2a+3b．

【解答】解：（1）∵10^a＝2，10^b＝3，

∴原式＝（10^a）²+（10^b）³

＝2²+3³

＝4+27

＝31；

（2）∵10^a＝2，10^b＝3，

∴原式＝10^2a×10^3b

＝（10^a）²×（10^b）³

＝2²×3³

＝4×27

＝108．

【变式5-1】（2022春•会宁县期末）根据已知求值：

（1）已知a^m＝2，aⁿ＝5，求a^3m+2n的值；

（2）已知3×9^m×27^m＝3²¹，求m的值．

【解答】解：（1）a^3m+2n＝（a^m）³•（aⁿ）²＝2³×5²＝200；

（2）∵3×9^m×27^m＝3²¹，

∴3×3^2m×3^3m＝3²¹，

3^1+5m＝3²¹，

∴1+5m＝21，

m＝4．

【变式5-2】已知3^m＝a，3ⁿ＝b，分别求值：（用a、b表示）

（1）3^m+n；

（2）3^2m+3n．

【解答】解：（1）∵3^m＝a，3ⁿ＝b，

∴3^m+n

＝3^m×3ⁿ

＝ab；

（2））∵3^m＝a，3ⁿ＝b，

∴3^2m+3n

＝3^2m×3³ⁿ

＝（3^m）²×（3ⁿ）³

＝a²b³．

【考点3：积的乘方运算】

【典例6】（2021秋•峨边县期末）计算，（﹣2a）³结果正确的是（　　）

A．﹣2a³ B．﹣6a³ C．﹣8a³ D．8a³

【答案】C

【解答】解：（﹣2a）³＝﹣8a³．

故选：C．

【变式6-1】计算（ab）²的结果是（　　）

A．a²b B．ab² C．2ab D．a²b²

【答案】D

【解答】解：（ab）²＝a²b²．

故选：D．

【变式6-2】（2022秋•沙坪坝区校级月考）计算﹣（3x³）²的结果是（　　）

A．9x⁵ B．9x⁶ C．﹣9x⁵ D．﹣9x⁶

【答案】D

【解答】解：﹣（3x³）²＝﹣9x⁶．

故选：D．

【变式6-3】（2022秋•南岸区校级期中）计算（﹣3a²）⁴的结果是（　　）

A．12a⁶ B．81a⁸ C．81a⁶ D．12a⁸

【答案】B

【解答】解：原式＝（﹣3）⁴a⁸

＝81a⁸，

故选：B．

【典例7】（2022秋•阳春市校级期末）计算 的结果是（　　）

A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2

【答案】D

【解答】解：（﹣2）¹⁰¹×（ ）¹⁰⁰

＝（﹣2）×（﹣2）¹⁰⁰×（ ）¹⁰⁰

＝（﹣2）×[（﹣2）× ]¹⁰⁰

＝（﹣2）×（﹣1）¹⁰⁰

＝（﹣2）×1

＝﹣2．

故选：D．

【变式7-1】（2022秋•景谷县期中）计算（ ）²⁰²²×（ ）²⁰²³的结果为（　　）

A．﹣ B． C． D．﹣

【答案】C

【解答】解：（ ）²⁰²²×（ ）²⁰²³

＝（ ）²⁰²²×（ ）²⁰²²×

＝（ × ）²⁰²²×

＝1²⁰²²×

＝1×

＝ ．

故选：C．

【变式7-2】（2022春•南海区校级月考）计算（ ）²⁰²⁰×（﹣ ）²⁰²¹的结果是（　　）

A． B． C．﹣ D．﹣

【答案】C

【解答】解：（ ）²⁰²⁰×（﹣ ）²⁰²¹

＝（ ）²⁰²⁰×（﹣ ）²⁰²⁰×（﹣ ）

＝（﹣ ）×（ × ）²⁰²⁰

＝﹣ ×1

＝﹣ ，

故选：C．

【典例8】（2022春•宝应县校级月考）计算：

（1）（﹣3x³）²﹣x²•x⁴﹣（x²）³；

（2）a³•a•a⁴+（﹣2a⁴）²+（a²）⁴．

【解答】解：（1）（﹣3x³）²﹣x²•x⁴﹣（x²）³

＝9x⁶﹣x⁶﹣x⁶

＝7x⁶；

（2）a³•a•a⁴+（﹣2a⁴）²+（a²）⁴

＝a⁸+4a⁸+a⁸

＝6a⁸．

【变式8-1】（2022秋•博罗县期中）计算：a³•a⁵+（a²）⁴+（﹣3a⁴）²．

【解答】解：a³•a⁵+（a²）⁴+（﹣3a⁴）²

＝a⁸+a⁸+9a⁸

＝11a⁸．

【变式8-2】（2022春•扶绥县期末）计算：a³•a⁴•a+（a²）⁴﹣（﹣2a⁴）²．

【解答】解：原式＝a⁸+a⁸﹣4a⁸＝﹣2a⁸．

【变式5-3】（2021秋•长乐区期中）计算：a³•a⁵+（a²）⁴+（﹣2a⁴）²．

【解答】解：a³•a⁵+（a²）⁴+（﹣2a⁴）²

＝a⁸+a⁸+4a⁸

＝6a⁸．