【324487】2024春七年级数学下册 专题03 二元一次方程(组)中含参数问题压轴题三种模型全攻略

专题03二元一次方程(组)中含参数问题压轴题三种模型全攻略

【类型一二元一次方程的定义含参数问题】

例1．（北京市平谷区峪口中学七年级阶段练习）若方程x^|a|﹣2＋（a﹣3）y＝5是关于x，y的二元一次方程，则a的值为_____．

【答案】-3

【解析】

【分析】

根据二元一次方程的定义得 ，再解即可．

【详解】

解：根据题意得：

，

解得a＝﹣3．

故答案为：﹣3．

【点睛】

本题考查二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程叫二元一次方程．

【变式训练1】（重庆巴蜀中学七年级期末）若关于x，y的方程 是二元一次方程，则 的值是__________．

【答案】0

【解析】

【分析】

根据二元一次方程的定义含有两个未知数并且含未知数的项的次数为1的方程是二元一次方程，建立方程组计算即可．

【详解】

解：∵关于 ， 的方程 是二元一次方程，

∴ ，

解得 ，

∴mn=0，

故答案为：0．

【点睛】

本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程组的解法，代数式的值，根据方程的定义构造方程组是解题的关键．

【变式训练2】（上海浦东新·期末）已知5x^m﹣²﹣ y²ⁿ⁺⁵＝0是关于x、y的二元一次方程，则m﹣n＝___．

【答案】5

【解析】

【分析】

根据二元一次方程的定义（如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项的次数都为1次，那么这个整式方程就叫做二元一次方程）列出方程求解可得 ，n ﹣2，然后代入代数式求值即可得．

【详解】

解：由题意得： ， ，

解得： ， ，

，

故答案为：5．

【点睛】

题目主要考查二元一次方程的定义及求代数式的值，深刻理解二元一次方程的定义是解题关键．

【变式训练3】（全国·八年级专题练习）若关于x、y的方程 是二元一次方程，则m＝_______．

【答案】1

【解析】

【分析】

根据二元一次方程定义可得：|m|=1，且m-1≠0，进而可得答案．

【详解】

∵关于x、y的方程 是二元一次方程，

∴|m|=1，且m-1≠0，

解得：m=1，

故答案为：1

【点睛】

本题考查了二元一次方程，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．

【类型二已知二元一次方程的解求字母参数问题】

例2．（上海松江·期末）已知 是方程2x+ay＝7的一个解，那么a＝_____．

【答案】-1

【解析】

【分析】

根据方程的解的概念将方程的解代入原方程，然后计算求解．

【详解】

解：由题意可得：2×3﹣a＝7，

解得：a＝﹣1，

故答案为：﹣1．

【点睛】

本题考查二元一次方程的解和解一元一次方程，理解方程的解的概念是解题关键．

【变式训练1】（上海奉贤·期末）若 是方程kx﹣3y＝1的一个解，则k＝_____．

【答案】﹣5

【解析】

【分析】

根据方程的解的定义，将 代入方程kx−3y＝1，可得−2k−9＝1，故k＝−5．

【详解】

解：由题意得：﹣2k﹣3×3＝1．

∴k＝﹣5．

故答案为：﹣5．

【点睛】

本题属于简单题，主要考查方程的解的定义，即使得方程成立的未知数的值．

【变式训练2】（广东·深圳市高级中学八年级期末）若 是方程x+ay＝3的一个解，则a的值为 ______．

【答案】

【解析】

【分析】

将 代入方程可得一个关于 的一元一次方程，解方程即可得．

【详解】

解：由题意，将 代入 得： ，

解得 ，

故答案为： ．

【点睛】

本题考查了二元一次方程的解、一元一次方程，掌握理解二元一次方程的解的定义（一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解）是解题关键．

【变式训练3】（吉林延边·七年级期中）已知 是方程 的一组解，则 =______．

【答案】1

【解析】

【分析】

把 代入方程 得出 ，再变形，最后代入求出即可．

【详解】

解： 是关于 、 的方程 的一组解，

代入得： ，

，

故答案是：1．

【点睛】

本题考查了二元一次方程的解和求代数式的值，解题的关键是能够整体代入求值．

【类型三已知二元一次方程组的解求字母参数问题】

例3．（广东佛山·八年级期末）若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+y=1，则m的值为__________．

【答案】﹣1

【解析】

【分析】

由①+②，得： ，从而得到 ，再由x+y=1，可得到 ，即可求解．

【详解】

解： ，

由①+②，得： ，

∴ ，

∵x+y=1，

∴ ，解得： ．

故答案为：-1

【点睛】

本题主要考查了解二元一次方程和二元一次方程的解，由①+②得到 是解题的关键．

【变式训练1】（重庆一中八年级阶段练习）已知 是关于 、 的二元一次方程组 的解，则 的值为__________．

【答案】7

【解析】

【分析】

把 代入 ，求出m和n的值，然后可求m+2n的值．

【详解】

解：∵ 是关于x、y的二元一次方程组 的解，

∴ ，

解得： ，

∴m+2n=-4+11=7．

故答案为：7．

【点睛】

本题考查了对二元一次方程组的解的理解与应用，理解与掌握二元一次方程组的解的概念以及能熟练解二元一次方程组是解决此题的关键．

【变式训练2】（湖南·邵阳县教育科学研究室七年级期末）关于 、 的方程组 的解也是方程 的解，则 的值为______．

【答案】3

【解析】

【分析】

将m看做已知数，求出方程组的解得到x与y的值，将求出x与y的值代入方程 中，得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

【详解】

解：解方程组 ，得 ，

把 代入 得： ，

解得： ，

故答案为：3．

【点睛】

此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

【变式训练3】（湖南·会同县教学研究室七年级期末）已知满足方程 的一对未知数 、 的值互为相反数，则 =_____．

【答案】5

【解析】

【分析】

由题意得到x＋y＝0，即y＝−x，代入方程组求出p的值即可．

【详解】

解：由题意得：x＋y＝0，即y＝−x，

代入方程组得： ，

解得： ．

故答案为：5．

【点睛】

此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．

【课后训练】

一、选择题

1．（山东济南·八年级期末）若 是关于x、y的二元一次方程ax－2y＝1的解，则a的值为（       ）

A．3 B．5 C．－3 D．－5

【答案】B

【解析】

【分析】

把 代入ax-2y=1计算即可．

【详解】

解：把 代入ax-2y=1得，

a-4=1，

解得a=5，

故选：B．

【点睛】

本题考查了解二元一次方程组的解，掌握把方程组的解代入二元一次方程是解题关键．

2．（重庆·西南大学附中七年级期末）若关于x，y的方程 是二元一次方程，则m的值为（       ）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二元一次方程的定义得出 且 ，再求出答案即可．

【详解】

解：∵关于x，y的方程 是二元一次方程，

∴ 且 ，

解得：m=1，

故选C．

【点睛】

本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键．

3．（天津一中七年级期中）若 是关于 ， 的二元一次方程，则（     ）

A． ， B． ， C． ， D． ，

【答案】D

【解析】

【分析】

二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．

【详解】

解： 是关于 ， 的二元一次方程，

， ，

解得： ， ．

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．

4．（贵州毕节·八年级期末）若关于x、y的二元一次方程 的解，也是方程 的解，则m的值为（       ）

A．-3 B．-2 C．2 D．无法计算

【答案】C

【解析】

【分析】

将m看作已知数值，利用加减消元法求出方程组的解，然后代入 求解即可得．

【详解】

解： ，

得： ，

解得： ，

将 代入①可得： ，

解得： ，

∴方程组的解为： ，

∵方程组的解也是方程 的解，

代入可得 ，

解得 ，

故选：C．

【点睛】

题目主要考查解二元一次方程组求参数，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．

5．（天津·九年级专题练习）关于 的二元一次方程组的解 满足 ，则k的值是（       ）

A．2 B． C． D．3

【答案】B

【解析】

【分析】

解方程组，用含 的式子表示，然后将方程组的解代入 即可．

【详解】

解： ，

①－②得： ，

∵ ，

∴ ，

解得： ，

故选：B．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组解，和二元一次方程组的解的应用，运用整体法得出 ，可以是本题变得简便．

二、填空题

6．（广东深圳·八年级期末）若 是二元一次方程 的解，则 ______．

【答案】-1

【解析】

【分析】

把 代入 即可求出a的值．

【详解】

把 代入方程得： ，

解得： ，

故答案为：

【点睛】

本题考查了求二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．

7．（山东东营·七年级期末）已知(a-1)x+2y^|a^|=3是二元一次方程，则a的值为_______．

【答案】-1

【解析】

【分析】

根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面确定a的取值．

【详解】

解：∵（a-1）x+2y^|a^|=3是二元一次方程，

∴a-1 0，|a|=1，

解得a=-1．

故答案为：-1．

【点睛】

本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．

8．（江苏南京·七年级期末）已知关于x、y的二元一次方程2x－ay＝10的一个解是 ，则a＝______．

【答案】2

【解析】

【分析】

将 代入二元一次方程可得一个关于 的方程，解方程即可得．

【详解】

解：由题意，将 代入方程 得： ，

解得 ，

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了二元一次方程的解、解一元一次方程，掌握理解二元一次方程的解的概念（一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解）是解题关键．

9．（全国·七年级课时练习）若 是方程组 的解，则 __________．

【答案】

【解析】

【分析】

是方程组 的解，直接把 带入方程中变成关于m、n的方程组，再解方程组即可得到答案．

【详解】

解：∵ 是方程组 的解，

，

① ，

③-②得 ，

，

把n代入①得 ，

．

故答案为 ．

【点睛】

此题重点考察已知二元一次方程组的解再求其他值的应用能力，熟练二元一次方程组的解法是解题的关键．

10．（陕西渭南·七年级期末）已知关于x、y的方程组 的解满足x+y＝2，则m＝________________．

【答案】

【解析】

【分析】

方程组中的两个方程相加，即可求出3（x+y）＝6m﹣3，根据题意得出2m﹣1＝2，解关于m的方程即可．

【详解】

解：两式相加，得3（x+y）＝6m﹣3，

∴x+y＝2m﹣1，

∵x+y＝2，

∴2m﹣1＝2，

解得：m＝ ，

故答案为： ．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解法，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．

11．（上海民办建平远翔学校七年级期末）若方程 是关于x、y的二元一次方程，则 ______．

【答案】

【解析】

【分析】

二元一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1，从这两个方面考虑得出a、b的值，代入计算可得．

【详解】

解：∵ 是关于x、y的二元一次方程，

∴ ， ，

解得： ， ，

∴ ．

故答案为： ．

【点睛】

本题主要考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．

三、解答题

12．（陕西榆林·八年级期末）已知方程组 的解也是关于 、 的二元一次方程 的一组解，求 的值．

【答案】 ．

【解析】

【分析】

利用加减消元法求出方程组的解得到x与y的值，代入方程计算即可求出a的值．

【详解】

解：方程组 ，

②+①得： ，

解得： ，代入①中，

解得： ，

把 ， 代入方程 得， ，

解得： ．

【点睛】

此题考查了加减消元法解二元一次方程组，以及二元一次方程的解，解一元一次方程，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．

13．（河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）若关于 、 的二元一次方程组 的解满足 ，求 的值；

【答案】

【解析】

【分析】

根据加减消元法解二元一次方程组，进而根据 即可求得 的值；

【详解】

②×2－①得， ，

将 代入②得，

解得

解得

【点睛】

本题考查了解二元一次方程组，掌握解方程（组）的步骤与方法是解题的关键．

14．（全国·七年级）已知方程（k+2）x+（k-6）y=k+8是关于x，y的方程．

(1)k为何值时，方程为一元一次方程？

(2)k为何值时，方程为二元一次方程？

【答案】(1)k=-2或k=6；

(2)k≠-2且k≠6时

【解析】

【分析】

（1）根据一元次方程的定义，含有一个未知数，并且含未知数的项的次数为1的整式方程可得 或 ，解方程组得；

（2）根据方程是二元一次方程方程的定义含有两个未知数，含未知数的项的次数为1的整式方程可得 ，解不等式组即可．

【小题1】

解：∵方程是一元一次方程，

∴ 或

∴解得k=-2或k=6．

∴当k=-2或k=6时，该方程是一元一次方程．

【小题2】

解：∵方程是二元一次方程，

∴

∴解得k≠-2且k≠6．

∴当k≠-2且k≠6时，该方程是二元一次方程．

【点睛】

本题考查一元一次方程的定义，二元一次方程方程的定义，掌握一元一次方程的定义，二元一次方程方程的定义是解题关键．

15．（浙江·杭州第十四中学附属学校七年级期中）已知关于x、y的方程组 ．

(1)请写出方程x＋2y＝6的所有正整数解．

(2)若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值．

(3)当m每取一个值时，2x﹣2y＋mx＝8就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗？

(4)如果方程组有整数解，求整数m的解．

【答案】(1) ，

(2)m

(3)

(4)﹣2或﹣4或﹣10或4

【解析】

【分析】

（1）确定出方程的正整数解即可；

（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值；

（3）方程变形后，确定出公共解即可；

（4）根据方程组有整数解，确定出整数m的值即可．

(1)

解：方程x+2y＝6的正整数解有：

， ．

(2)

解：

由②，得x＝﹣y．

将x＝﹣y代入①，得﹣y+2y＝6．

解得y＝6．

∴x＝﹣6．

∴2×（﹣6）﹣2×6+mx＝8．

解得，m ．

(3)

解：2x﹣2y+mx＝8变形得：（2+m）x﹣2y＝8，

令x＝0，得y＝﹣4，

∴无论m取何值， 都是方程2x﹣2y+mx＝8的解，

∴公共解为 ；

(4)

解： ，

①+②得，3x+mx＝14，

∴x ，

∵方程组有整数解，且m是整数，

∴3+m＝±1，3+m＝±2，3+m＝±7，3+m＝±14，

∴m＝﹣2或﹣4；m＝﹣1或﹣5；m＝4或﹣10；m＝11或﹣17．

此时m＝﹣1，﹣2，﹣4，﹣5，﹣17，4，11．

当m＝﹣1时，x＝7，y ，不符合题意；

当m＝﹣2时，x＝14，y＝﹣4，符合题意；

当m＝﹣4时，x＝﹣14，y＝10，符合题意；

当m＝﹣5时，x＝﹣7，y ，不符合题意，

当m＝﹣10时，x＝﹣2，y＝4，符合题意，

当m＝﹣17时，x＝﹣1，y ，不符合题意；

当m＝4时，x＝2，y＝2，符合题意，

当m＝11时，x＝1，y ，不符合题意，

综上，整数m的值为﹣2或﹣4或﹣10或4．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法．