【349989】-学年湖南省娄底市新化县七年级（下）期末数学试卷含答案

2017-2018学年湖南省娄底市新化县七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．（3分）计算（2a²）³的结果是（　　）

A．2a⁶ B．6a⁶ C．8a⁶ D．8a⁵

2．（3分）下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．（3分）为了从甲、乙、丙、丁四位同学中选派两位选手参加数学竞赛，老师对他们的五次数学测验成绩进行统计，得出他们的平均分均为85分，且S_甲²＝100、S_乙²＝110、S_丙²＝120、S_丁²＝90．根据统计结果，派去参加竞赛的两位同学是（　　）

A．甲、乙 B．甲、丙 C．甲、丁 D．乙、丙

4．（3分）若（y+3）（y﹣2）＝y²+my+n，则m、n的值分别为（　　）

A．m＝5，n＝6 B．m＝1，n＝﹣6 C．m＝1，n＝6 D．m＝5，n＝﹣6

5．（3分）用代入法解方程组 有以下过程，其中错误的一步是（　　）

（1）由①得x＝ ③；

（2）把③代入②得3× ﹣5y＝5；

（3）去分母得24﹣9y﹣10y＝5；

（4）解之得y＝1，再由③得x＝2.5．

A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）

6．（3分）∠α与∠β的两边分别平行，∠α的度数是70°，则∠β的度数是（　　）

A．70° B．80° C．110° D．70°或110°

7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE＝35°，则∠A的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°

8．（3分）小萌在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，得到正确结果 ，不小心把最后一项染黑了，你认为这一项是（　　）

A．5y² B．10y² C．100y² D．25y²

9．（3分）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）

A．（x﹣1）（x﹣1）＝x²﹣2x+1

B．4x²﹣9y²＝（2x﹣3y）（2x+3y）

C．x²+4x+4＝x（x﹣4）+4

D．x²+y²＝（x+y）（x﹣y）

10．（3分）计算（﹣2）¹⁰⁰+（﹣2）⁹⁹的结果是（　　）

A．2 B．﹣2 C．﹣2⁹⁹ D．2⁹⁹

11．（3分）如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF，MN相交于中心点O，对三角形ABC分别作下列变换：

①以点O为中心逆时针方向旋转180°；

②先以A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格，向上平移4格；

③先以直线MN为对称轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°．

其中，能将三角形ABC变换成三角形PQR的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

12．（3分）为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有（　　）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

二、填空题（每题3分，共18分）

13．（3分）若2^m•2³＝2⁶，则m＝　 　．

14．（3分）已知x+y＝6，xy＝4，则x²y+xy²的值为　 　．

15．（3分）有5个从小到大排列的正整数，其中位数是3，唯一的众数是7，则这5个数的平均数是　 　．

16．（3分）如图，直线AB．CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD＝38°，则∠AOC＝　 　 度．

17．（3分）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有　 　种．

18．（3分）对于x、y定义一种新运算“◎”：x◎y＝ax+by，其中a、b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3◎2＝7，4◎（﹣1）＝13，那么2◎3＝　 　．

三、解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分）

19．（8分）先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x﹣2）²﹣3x（x﹣1），其中x＝2．

20．（8分）在三个整式x²+2xy，y²+2xy，x²中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．

四、解答题（本题共2小题，每题9分，满分18分）

21．（9分）如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝80°．求∠C的度数．

22．（9分）在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）图①中a的值为　 　；

（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均、众数和中位数；

（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.60m的运动员能否进入复赛．

五、解答题（本大题共2小题，每题10分，满分20分）

23．（10分）如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，DA平分∠BDF．

（1）AE与FC会平行吗？说明理由；

（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？

（3）BC平分∠DBE吗？为什么．

24．（10分）阅读下列材料：

《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”

译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？结合你学过的知识，解决下列问题：

（1）若设公鸡有x只，母鸡有y只，

①则小鸡有　 　只，买小鸡一共花费　 　文钱；（用含x，y的式子表示）

②根据题意列出一个含有x，y的方程：　 　；

（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？

六、综合与探究（本大题满分12分）

25．（12分）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．

（1）按要求填空：

①你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于　 　；

②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：

方法1：　 　

方法2：　 　

③观察图②，请写出代数式（m+n）²，（m﹣n）²，mn这三个代数式之间的等量关系：　 　；

（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：若|m+n﹣6|+|mn﹣4|＝0，求（m﹣n）²的值．

（3）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示了　 　．

2017-2018学年湖南省娄底市新化县七年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．（3分）计算（2a²）³的结果是（　　）

A．2a⁶ B．6a⁶ C．8a⁶ D．8a⁵

【考点】47：幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有

【分析】利用幂的乘方与积的乘方的性质求解即可求得答案．

【解答】解：（2a²）³＝8a⁶．

故选：C．

【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方的性质．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．

2．（3分）下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】P3：轴对称图形．菁优网版权所有

【分析】根据轴对称图形的概念结合4个汽车标志图案的形状求解．

【解答】解：由轴对称图形的概念可知第1个，第2个，第3个都是轴对称图形．

第4个不是轴对称图形，是中心对称图形．

故是轴对称图形的有3个．

故选：C．

【点评】本题考查了轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．

3．（3分）为了从甲、乙、丙、丁四位同学中选派两位选手参加数学竞赛，老师对他们的五次数学测验成绩进行统计，得出他们的平均分均为85分，且S_甲²＝100、S_乙²＝110、S_丙²＝120、S_丁²＝90．根据统计结果，派去参加竞赛的两位同学是（　　）

A．甲、乙 B．甲、丙 C．甲、丁 D．乙、丙

【考点】W7：方差．菁优网版权所有

【分析】方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，波动越小．选派方差较小的两位．

【解答】解：从四个方差看，甲，丁的方差在四个同学中是较小的，方差小成绩发挥稳定，所以应选他们两人去参加比赛．

故选：C．

【点评】考查了方差的意义．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，波动越小．

4．（3分）若（y+3）（y﹣2）＝y²+my+n，则m、n的值分别为（　　）

A．m＝5，n＝6 B．m＝1，n＝﹣6 C．m＝1，n＝6 D．m＝5，n＝﹣6

【考点】4B：多项式乘多项式．菁优网版权所有

【分析】先根据多项式乘以多项式的法则计算（y+3）（y﹣2），再根据多项式相等的条件即可求出m、n的值．

【解答】解：∵（y+3）（y﹣2）＝y²﹣2y+3y﹣6＝y²+y﹣6，

∵（y+3）（y﹣2）＝y²+my+n，

∴y²+my+n＝y²+y﹣6，

∴m＝1，n＝﹣6．

故选：B．

【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则：（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．

5．（3分）用代入法解方程组 有以下过程，其中错误的一步是（　　）

（1）由①得x＝ ③；

（2）把③代入②得3× ﹣5y＝5；

（3）去分母得24﹣9y﹣10y＝5；

（4）解之得y＝1，再由③得x＝2.5．

A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）

【考点】98：解二元一次方程组．菁优网版权所有

【分析】出错一步为（3），理由去分母时两边都乘以2，写出正确的解法即可．

【解答】解：其中错误的一步为（3），

正确解法为：去分母得：24﹣9y﹣10y＝10，

移项合并得：﹣19y＝﹣14，

解得：y＝ ．

故选：C．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

6．（3分）∠α与∠β的两边分别平行，∠α的度数是70°，则∠β的度数是（　　）

A．70° B．80° C．110° D．70°或110°

【考点】JA：平行线的性质．菁优网版权所有

【分析】由定理“如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”，即可得出结论．

【解答】解：分两种情况：

①如图1所示：

∵AD∥BC，AB∥CD，

∴∠α+∠ABC＝180°，∠β+∠ABC＝180°，

∴∠β＝∠α＝70°，；

②如图所示：

∵AB∥CD，

∴∠α+∠ADC＝180°，

∵∠β＝∠ADC，

∴∠α+∠β＝180°，

∴∠β＝180°﹣70°＝110°；

综上所述：∠β的度数是70°或110°；

故选：D．

【点评】本题考查了平行线的性质、角的关系定理；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE＝35°，则∠A的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°

【考点】JA：平行线的性质；K7：三角形内角和定理．菁优网版权所有

【分析】题中有三个条件，图形为常见图形，可先由AB∥DE，∠BCE＝35°，根据两直线平行，内错角相等求出∠B，然后根据三角形内角和为180°求出∠A．

【解答】解：∵AB∥DE，∠BCE＝35°，

∴∠B＝∠BCE＝35°（两直线平行，内错角相等），

又∵∠ACB＝90°，

∴∠A＝90°﹣35°＝55°（在直角三角形中，两个锐角互余）．

故选：C．

【点评】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．

8．（3分）小萌在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，得到正确结果 ，不小心把最后一项染黑了，你认为这一项是（　　）

A．5y² B．10y² C．100y² D．25y²

【考点】4E：完全平方式．菁优网版权所有

【分析】根据乘积二倍项先找出两个数为2x和5y，再根据完全平方公式：（a±b）²＝a²±2ab+b²，把另一个数5y平方即可．

【解答】解：∵20xy＝2×2x×5y，

∴染黑的部分是（5y）²＝25y²．

故选：D．

【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用乘积项来确定这两个数．

9．（3分）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）

A．（x﹣1）（x﹣1）＝x²﹣2x+1

B．4x²﹣9y²＝（2x﹣3y）（2x+3y）

C．x²+4x+4＝x（x﹣4）+4

D．x²+y²＝（x+y）（x﹣y）

【考点】51：因式分解的意义．菁优网版权所有

【分析】直接利用因式分解的定义进而判断得出即可．

【解答】解：A、（x﹣1）（x﹣1）＝x²﹣2x+1，是多项式乘法，故此选项错误；

B、4x²﹣9y²＝（2x﹣3y）（2x+3y），是因式分解，故此选项正确；

C、x²+4x+4＝x（x﹣4）+4，不是因式分解，故此选项错误；

D、x²+y²无法计算，不是因式分解，故此选项错误；

故选：B．

【点评】此题主要考查了因式分解的定义，正确把握因式分解的意义是解题关键．

10．（3分）计算（﹣2）¹⁰⁰+（﹣2）⁹⁹的结果是（　　）

A．2 B．﹣2 C．﹣2⁹⁹ D．2⁹⁹

【考点】53：因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有

【分析】根据提公因式法，可得负数的奇数次幂，根据负数的奇数次幂是负数，可得答案．

【解答】解：原式＝（﹣2）⁹⁹[（﹣2）+1]＝﹣（﹣2）⁹⁹＝2⁹⁹，

故选：D．

【点评】本题考查了因式分解，提公因式法是解题关键，注意负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．

11．（3分）如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF，MN相交于中心点O，对三角形ABC分别作下列变换：

①以点O为中心逆时针方向旋转180°；

②先以A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格，向上平移4格；

③先以直线MN为对称轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°．

其中，能将三角形ABC变换成三角形PQR的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【考点】P7：作图﹣轴对称变换；Q4：作图﹣平移变换；RA：几何变换的类型．菁优网版权所有

【分析】根据图形的平移、旋转和轴对称变化的性质与运用得出．

【解答】解：根据题意分析可得：②③都可以使△ABC变换成△PQR．

故选：C．

【点评】本题考查图形的变化，要求学生熟练掌握平移、旋转和轴对称变化的性质与运用．

12．（3分）为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有（　　）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

【考点】95：二元一次方程的应用．菁优网版权所有

【分析】设毽子能买x个，跳绳能买y根，依据“某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元”列出方程，并解答．

【解答】解：设毽子能买x个，跳绳能买y根，根据题意可得：

3x+5y＝35，

y＝7﹣ x，

∵x、y都是正整数，

∴x＝5时，y＝4；

x＝10时，y＝1；

∴购买方案有2种．

故选：B．

【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．

二、填空题（每题3分，共18分）

13．（3分）若2^m•2³＝2⁶，则m＝　3　．

【考点】46：同底数幂的乘法．菁优网版权所有

【分析】根据同底数幂的乘法法则计算．

【解答】解：∵2^m•2³＝2⁶，

∴2^m+3＝2⁶，

∴m+3＝6，

∴m＝3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，知道底数不变，指数相加是解题的关键．

14．（3分）已知x+y＝6，xy＝4，则x²y+xy²的值为　24　．

【考点】59：因式分解的应用．菁优网版权所有

【分析】先提取公因式xy，整理后把已知条件直接代入计算即可．

【解答】解：∵x+y＝6，xy＝4，

∴x²y+xy²＝xy（x+y）＝4×6＝24．

故答案为：24．

【点评】本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解本题的关键．

15．（3分）有5个从小到大排列的正整数，其中位数是3，唯一的众数是7，则这5个数的平均数是　4　．

【考点】W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．菁优网版权所有

【分析】利用中位数、众数的定义确定这5个数，然后根据平均数的计算公式进行计算即可．

【解答】解：根据题意可知，这5个数是7，7，3，2，1．

所以和为7+7+3+2+1＝20．

所以平均数为4，

故答案为：4．

【点评】考查了算术平均数、中位数及众数的知识，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．

16．（3分）如图，直线AB．CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD＝38°，则∠AOC＝　52　 度．

【考点】J2：对顶角、邻补角；J3：垂线．菁优网版权所有

【分析】根据垂线的定义，可得∠AOE＝90°，根据角的和差，可得∠AOD的度数，根据邻补角的定义，可得答案．

【解答】解：∵OE⊥AB，

∴∠AOE＝90°，

∴∠AOD＝∠AOE+∠EOD＝90°+38°＝128°，

∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣128°＝52°，

故答案为：52．

【点评】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，邻补角的和等于180°，要注意领会由垂直得直角这一要点．

17．（3分）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有　3　种．

【考点】P8：利用轴对称设计图案．菁优网版权所有

【分析】根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合及正方形的对称轴是两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线，得出结果．

【解答】解：在1，2，3处分别涂黑都可得一个轴对称图形，

故涂法有3种，

故答案为：3．

【点评】考查了利用轴对称设计图案，此题要首先找到大正方形的对称轴，然后根据对称轴，进一步确定可以涂黑的正方形．

18．（3分）对于x、y定义一种新运算“◎”：x◎y＝ax+by，其中a、b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3◎2＝7，4◎（﹣1）＝13，那么2◎3＝　3　．

【考点】98：解二元一次方程组．菁优网版权所有

【分析】先根据题意列出关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值，代入代数式进行计算即可．

【解答】解：∵x◎y＝ax+by，3◎2＝7，4◎（﹣1）＝13，

∴ ，①+②×2得，11a＝33，解得a＝3；把a＝3代入①得，9+2b＝7，解得b＝﹣1，

∴2◎3＝3×2﹣1×3＝3．

故答案为：3．

【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．

三、解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分）

19．（8分）先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x﹣2）²﹣3x（x﹣1），其中x＝2．

【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有

【分析】利用平方差及完全平方公式化简，再把x＝2代入求解即可．

【解答】解：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x﹣2）²﹣3x（x﹣1）

＝4x²﹣9﹣x²+4x﹣4﹣3x²+3x

＝7x﹣13，

当x＝2时，原式＝7×2﹣13＝1．

【点评】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是正确的化简．

20．（8分）在三个整式x²+2xy，y²+2xy，x²中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．

【考点】44：整式的加减；59：因式分解的应用．菁优网版权所有

【分析】本题考查整式的加法运算，要先去括号，然后合并同类项，最后进行因式分解．本题答案不唯一．

【解答】解：方法一：（x²+2xy）+x²＝2x²+2xy＝2x（x+y）；

方法二：（y²+2xy）+x²＝（x+y）²；

方法三：（x²+2xy）﹣（y²+2xy）＝x²﹣y²＝（x+y）（x﹣y）；

方法四：（y²+2xy）﹣（x²+2xy）＝y²﹣x²＝（y+x）（y﹣x）．

【点评】本题考查了整式的加减，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，因式分解时先考虑提取公因式，没有公因式的再考虑运用完全平方公式或平方差公式进行因式分解．

四、解答题（本题共2小题，每题9分，满分18分）

21．（9分）如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝80°．求∠C的度数．

【考点】JA：平行线的性质．菁优网版权所有

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAF，再根据角平分线的定义求出∠CAF，然后根据两直线平行，内错角相等解答．

【解答】解：∵EF∥BC，

∴∠BAF＝180°﹣∠B＝100°，

∵AC平分∠BAF，

∴∠CAF＝ ∠BAF＝50°，

∵EF∥BC，

∴∠C＝∠CAF＝50°．

【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．

22．（9分）在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）图①中a的值为　25　；

（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均、众数和中位数；

（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.60m的运动员能否进入复赛．

【考点】VC：条形统计图；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．菁优网版权所有

【分析】（Ⅰ）根据各项百分比之和为1可得a的值；

（Ⅱ）根据平均数、众数及中位数的定义求解可得；

（Ⅲ）由条形图知1.70m的有3人，1.65m的有6人，共9人，据此可判断．

【解答】解：（Ⅰ）a＝100﹣（20+10+15+30）＝25；

（Ⅱ）平均数为 ＝1.61（m），

众数为1.65m，中位数为 ＝1.60m；

（Ⅲ）由条形图知，分数从高到低1.70m的有3人，1.65m的有6人，共9人，

∴初赛成绩为1.60m的运动员不能进入复赛．

【点评】本题考查了众数、平均数和中位数的定义及扇形统计图、条形统计图，根据扇形图和条形图得出解题所需数据及众数、平均数和中位数的定义是解题的关键．

五、解答题（本大题共2小题，每题10分，满分20分）

23．（10分）如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，DA平分∠BDF．

（1）AE与FC会平行吗？说明理由；

（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？

（3）BC平分∠DBE吗？为什么．

【考点】J9：平行线的判定．菁优网版权所有

【分析】（1）证明∠1＝∠CDB，利用同位角相等，两直线平行即可证得；

（2）平行，根据平行线的性质可以证得∠A＝∠CBE，然后利用平行线的判定方法即可证得；

（3）∠EBC＝∠CBD，根据平行线的性质即可证得．

【解答】解：（1）平行．理由如下：

∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠CDB＝180°（邻补角定义），

∴∠1＝∠CDB，

∴AE∥FC（ 同位角相等两直线平行）；

（2）平行．理由如下：

∵AE∥CF，

∴∠C＝∠CBE（两直线平行，内错角相等），

又∵∠A＝∠C，

∴∠A＝∠CBE，

∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）；

（3）平分．理由如下：

∵DA平分∠BDF，

∴∠FDA＝∠ADB，

∵AE∥CF，AD∥BC，

∴∠FDA＝∠A＝∠CBE，∠ADB＝∠CBD，

∴∠EBC＝∠CBD，

∴BC平分∠DBE．

【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．

24．（10分）阅读下列材料：

《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”

译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？结合你学过的知识，解决下列问题：

（1）若设公鸡有x只，母鸡有y只，

①则小鸡有　100﹣x﹣y　只，买小鸡一共花费　 （100﹣x﹣y）　文钱；（用含x，y的式子表示）

②根据题意列出一个含有x，y的方程：　5x+3y+ （100﹣x﹣y）＝100　；

（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？

【考点】9A：二元一次方程组的应用．菁优网版权所有

【分析】（1）①根据小鸡数量＝100﹣公鸡数量+母鸡数量、小鸡每三只值一文钱可得；②根据“公鸡数量+母鸡数量+小鸡数量＝100”可得答案；

（2）根据“公鸡数量+母鸡数量+小鸡数量＝100、公鸡数量＝母鸡数量×3”列方程组求解可得．

【解答】解：（1）若设公鸡有x只，母鸡有y只，

①则小鸡有（100﹣x﹣y）只，买小鸡一共花费 （100﹣x﹣y）文钱；

②根据题意列出一个含有x，y的方程：5x+3y+ （100﹣x﹣y）＝100；

故答案为：①100﹣x﹣y、 （100﹣x﹣y）；

②5x+3y+ （100﹣x﹣y）＝100；

（2）设公鸡有x只，母鸡有y只．

根据题意，得： ，

解得 ，

100﹣x﹣y＝100﹣12﹣4＝84（只）．

答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只．

【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意确定题目蕴含的相等关系，并据此列出方程和方程组．

六、综合与探究（本大题满分12分）

25．（12分）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．

（1）按要求填空：

①你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于　m﹣n　；

②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：

方法1：　（m﹣n）²　

方法2：　（m+n）²﹣4mn　

③观察图②，请写出代数式（m+n）²，（m﹣n）²，mn这三个代数式之间的等量关系：　（m﹣n）²＝（m+n）²﹣4mn　；

（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：若|m+n﹣6|+|mn﹣4|＝0，求（m﹣n）²的值．

（3）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示了　（2m+n）（m+n）＝2m²+3mn+n²　．

【考点】4D：完全平方公式的几何背景．菁优网版权所有

【分析】（1）①观察可得阴影部分的正方形边长是m﹣n；

②方法1：阴影部分的面积就等于边长为m﹣n的小正方形的面积；方法2：边长为m+n的大正方形的面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积；

③根据以上相同图形的面积相等可得；

（2）根据|m+n﹣6|+|mn﹣4|＝0可得m+n＝6、mn＝4，利用（1）中结论（m﹣n）²＝（m+n）²﹣4mn计算可得；

（3）根据：大长方形面积等于长乘以宽或两个边长分别为m、n的正方形加上3个长为m、宽为n的小长方形面积和列式可得．

【解答】解：（1）①阴影部分的正方形边长是m﹣n．

②方法1：阴影部分的面积就等于边长为m﹣n的小正方形的面积，即（m﹣n）²，

方法2：边长为m+n的大正方形的面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积，即（m+n）²﹣4mn；

③（m﹣n）²＝（m+n）²﹣4mn．

（2））∵|m+n﹣6|+|mn﹣4|＝0，

∴m+n﹣6＝0，mn﹣4＝0，

∴m+n＝6，mn＝4

∵由（1）可得（m﹣n）²＝（m+n）²﹣4mn

∴（m﹣n）²＝（m+n）²﹣4mn＝6²﹣4×4＝20，

∴（m﹣n）²＝20；

（3）根据大长方形面积等于长乘以宽有：（2m+n）（m+n），

或两个边长分别为m、n的正方形加上3个长为m、宽为n的小长方形面积和有：2m²+3mn+n²，

故可得：（2m+n）（m+n）＝2m²+3mn+n²．

故答案为：（1）m﹣n；（2）①（m﹣n）²，②（m+n）²﹣4mn，③（m﹣n）²＝（m+n）²﹣4mn；（3）（2m+n）（m+n）＝2m²+3mn+n²．

【点评】本题考查了完全平方公式的几何意义，认真观察图形以及掌握正方形、长方形的面积公式计算是关键．

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