【333132】5.3简单的轴对称图形

5.3简单的轴对称图形

1. 单选题

1.已知一个等腰三角形的两边长是3cm和7cm，则它的周长为（　　）

A. 13cm                                B. 17cm                                C. 13或17cm                                D. 10cm

2.如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB=8，则BF的长为（   ）

A.3
B.4
C.5
D.6

3.如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE＝3，则点P到AB的距离是    (    )
​

A. 3                                            B. 4                                            C. 5                                            D. 6

4.如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，EP∥OA，交OB于点E，且EP=6．若点F是OP的中点，则CF的长是（　　）

A. 6                                       B. 3                                        C. 2                                        D. 3

5.在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，则AB边的取值范围是（　　）

A. 1cm＜AB＜4cm            B. 3cm＜AB＜6cm            C. 4cm＜AB＜8cm            D. 5cm＜AB＜10cm

6.如图，在一个正方体的两个面上画两条对角线AB，AC，那么这两条对角线的夹角等于（　　）

A. 60°                                       B. 75°                                       C. 90°                                       D. 135°

7.如图，在△ABC中，∠A=90°，BE平分∠ABC， DE⊥BC，   垂足为D，若DE=3cm，则AE=（      ）cm。

A. 3                                           B. 3.5                                           C. 4                                           D. 6

8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（   ）

A. 70°                                       B. 80°                                       C. 40°                                       D. 30°

9.如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正六边形ABCDEF，点P沿直线AB从右向左移动，当出现点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有              （    ）

A. 3个                                       B. 4个                                       C. 5个                                       D. 6个

二、填空题

10.如图，△ABC中AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D．若AC+BC=10cm，则△DBC的周长为________

11.在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，则∠B=________ 

12.一个等腰三角形的边长分别是 和 ，则它的周长是________cm．

13.如图5，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为________cm。

14.如图，在△ABC中，AB=10cm，AC=6cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，则△ACD的周长为　________cm．
​

15.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为​________ 

三、解答题

16.阅读下列材料，解答问题：
定义：线段AD把等腰三角形ABC分成△ABD与△ACD（如图1），如果△ABD与△ACD均为等腰三角形，那么线段AD叫做△ABC的完美分割线.

（1）如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD为△ABC的完美分割线，且BD<CD，则∠B=________，∠ADC=________.

（2）如图2，已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BE为△ABC的角平分线，求证：BE为△ABC完美分割线.

（3）如图3，已知△ABC是一等腰三角形纸片，AB=AC，AD是它的一条完美分割线，将△ABD沿直线AD折叠后，点B落在点B₁处，AB₁交CD于点E，求证：DB₁=EC.

17.利用尺规作三角形的三条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线的位置关系，你发现了什么？再换一个三角形试一试。

18.如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
​

四、作图题

19.如图，铁路和公路都经过P地，曲线MN是一条河流，现欲在河上建一个货运码头Q，使其到铁路和公路的距离相等，请用直尺和圆规通过画图找到码头Q的位置．（注意：①保留作图痕迹；②在图中标出点Q）

五、综合题

20.如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE=CD，

（1）求证：DB=DE．

（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF=4，求△ABC的周长．

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】B

【解析】【解答】解：当3cm为底时，其它两边都为7cm；3cm、7cm、7cm可以构成三角形，周长为17cm；
当3cm为腰时，其它两边为3cm和7cm；3+3=6＜7，所以不能构成三角形，此种情况不成立；
所以等腰三角形的周长是17cm．
故选：B．
【分析】因为边为3cm和7cm，没说是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．

2.【答案】C

【解析】【解答】解：∵在等边△ABC中，D是AB的中点，AB=8， ∴AD=4，AC=8，∠A=∠C=60°，
∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，
∴∠AFD=∠CFE=90°，
∴AE= AD=2，
∴CF=8﹣2=6，
∴CF= CE=3，
∴BF=5，
故选C．
【分析】根据等边三角形的性质得到AD=4，AC=8，∠A=∠C=60°，根据直角三角形的性质得到AE= AD=2，于是得到结论．

3.【答案】A

【解析】【分析】根据已知条件利用角平分线的性质可得，点P到AB的距离等于点P到AC的距离PE=1．
【解答】点P到AB的距离等于PE=3．
故选A．
【点评】此题主要考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．题目比较简单，直接利用角平分线的性质就可以了．

4.【答案】D

【解析】【解答】解：∵EP∥OA，
∴∠DEP=∠AOB=60°，
∵PD⊥OB，
∴PD= PE= ×6=3 ，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD=3 ，
∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴∠POC= ×60°=30°，
∴OP=2PC=6 ，
∵点F是OP的中点，
∴CF= OP= ×6 =3 ．
故选D．
【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠DEP，再求出PD，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC=PD，再求出∠POC=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OP，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．

5.【答案】C

【解析】【解答】解：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，
∴设AB=AC=x cm，则BC=（16﹣2x）cm，
​
解得4cm＜x＜8cm．
故选：C．
【分析】设AB=AC=x，则BC=16﹣2x，根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列不等式组，即可得出结论．

6.【答案】A

【解析】【分析】根据正方体的概念和特性可知AB，AC和左面上的对角线形成一个等边三角形．

【解答】由于是正方体，那么它上面所有的正方形的对角线都是相等的．AB，AC，再加上左面的正方形的对角线，正好组成一个等边三角形．

∴这两条对角线的夹角为60度．
故选A．

【点评】本题的关键是把已知的两条线段组合进规则图形中．

7.【答案】A

【解析】【分析】从已知条件进行思考，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AE=DE=3cm．
【解答】∵BE平分∠ABC，DE⊥BC，EA⊥AB，
∴DE=AE，又DE=3cm，
∴AE=3cm．
故选A．
【点评】本题考查了角平分线的性质；此题很简单，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答，属于基础题

8.【答案】D

【解析】【解答】∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C= =70°，
∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．
故答案为：D．
【分析】依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABC的度数，接下来，根据线段垂直平分线的性质可得到AE=BE，然后依据等边对等角的性质可求得∠ABE的度数，最后，再依据∠CBE=∠ABC﹣∠ABE求解即可.

9.【答案】C

【解析】

【分析】先根据正六边形的特点，判断出此六边形中相互平行的边及对角线，再根据线段垂直平分线的性质确定不同的点即可．

【解答】如图，分别以一顶点为定点，连接其与另一顶点的连线，在此图形中根据平行线分线段成比例定理可知，CD∥BE∥AF，ED∥FC∥AB，EF∥AD∥BC，EC∥FB，AE∥BD，AC∥FD，
根据垂直平分线的性质及正六边形的性质可知，相互平行的一组线段的垂直平分线相等，在这五组平行线段中，AE、BD与AB垂直，其中垂线必与AB平行，故无交点．
故直线AB上会发出警报的点P有：CD、ED、EF、EC、AC的垂直平分线与直线AB的交点，共五个．

故答案为C．

二、填空题

10.【答案】10cm

【解析】【解答】解：∵MN垂直平分AB，
∴DA=DB．
∴△DBC的周长=BC+BD+DC
=BC+DA+DC=BC+AC=10cm．
故答案为：10cm．

11.【答案】40°

【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A=100°，
∴∠B= =40°．
故答案为：40．

【分析】如图，依题意可知该三角形为等腰三角形∠A=100°，利用等腰三角形的性质得另外二角相等，结合三角形内角和易求∠B的值．

12.【答案】15或18

【解析】【解答】解：①当腰是4cm，底边是7cm时，能构成三角形，
则其周长=4+4+7=15cm；
②当底边是4cm，腰长是7cm时，能构成三角形，
则其周长=4+7+7=18cm.
故答案为：15cm或18cm.

13.【答案】24

【解析】【解答】∵DE是AC的垂直平分线
∴AE=CE=5cm,AD=CD
∴AC=10cm
∵△ABD的周长为14cm
∴AB+BD+CD=14cm
∴△ABC的周长=14+10=24cm
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，得到DA=DC，AE=EC=5cm，由AB+BD+AD=14cm，得到AB+BD+DC=14cm，所以有AB+BC+AC=14cm+10cm=24cm，从而得到结论．

14.【答案】16

【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∵AB=10cm，AC=6cm，
∴△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB=6+10=16（cm）．
故答案是：16．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得CD=BD，继而可得△ACD的周长为：AC+AB，则可求得答案．

15.【答案】120°或20°

【解析】【解答】解：设两个角分别是x，4x
①当x是底角时，根据三角形的内角和定理，得x+x+4x=180°，解得，x=30°，4x=120°，即底角为30°，顶角为120°；
②当x是顶角时，则x+4x+4x=180°，解得，x=20°，从而得到顶角为20°，底角为80°；
所以该三角形的顶角为120°或20°．
故答案为：120°或20°．
【分析】设两个角分别是x，4x，根据三角形的内角和定理分情况进行分析，从而可求得顶角的度数．

三、解答题

16.【答案】（1）36º；72º
（2）证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠C=  
∵BE为△ABC的角平分线
∴
∴∠ABE=∠A
∴AE=BE∵∠BEC=180º–∠C–∠CBE=72º
∴∠BEC=∠C
∴BE=BC
∴△ABE、△BEC均为等腰三角形
∴BE为△ABC的完美分割线．
（3）证明：∵AD是△ABC的一条完美分割线
∴AD=BD，AC=CD
∴∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA
∵∠B+∠BAD+∠ADB=180º，∠ADB+∠CDA=180º
∴∠CDA=∠B+∠BAD=2∠BAD
∴∠CAD=2∠BAD
∵∠BAD=∠B₁AD
∴∠CAD=2∠B₁AD
∵∠CAD=∠B₁AD+∠CAE
∴∠B₁AD=∠CAE
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠B=∠B₁
∴∠B₁=∠C
∵AB=AB₁
∴AB₁= AC
∴△AB₁D≌△ACE
∴DB₁=CE

【解析】【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=108°，∴∠B= =36°，∵AD为△ABC的完美分割线，BD<CD，∴AC=AD，BD=AD，∴∠ADC= 72°.
故答案为72°.
【分析】（1）不难得出△ABD与△ACD是等腰三角形，由BD<CD可得BD=AD，CD=AC，根据两底角相等求出相应度数即可；（2）求出△ABE和△BCE中每个角的度数，根据等角对等边，证明它们都是等腰三角形即可证得；（3）要证DB₁=CE，可先证△AB₁D≌△ACE；不难得到∠B₁=∠B=∠C，AB₁=AB=AC，则只需要证∠B₁AD=∠CAE即可，根据AD是△ABC的一条完美分割线，可得AD=BD，AC=CD，则通过角的数量关系得到∠B₁AD=∠CAE.

17.【答案】解：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点.

【解析】【分析】根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等，三角形的三条边的垂直平分线相交于一点.

18.【答案】证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB=AC，
∴BP=PC；
∵AD=AE，
∴DP=PE，
∴BP﹣DP=PC﹣PE，
∴BD=CE．
​

【解析】【分析】要证明线段相等，只要过点A作BC的垂线，利用三线合一得到P为DE及BC的中点，线段相减即可得证．

四、作图题

19.【答案】解：如图所示：

【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，作出铁路与公路所形成的角的角平分线，与河流的交点即为所求作的货运码头点Q.

五、综合题

20.【答案】（1）解：证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED= ∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）；

（2）解： ∵∠CDE=∠CED= ∠BCD=30°，DF⊥BE.
∴∠CDF=30°，
∵CF=4，
∴DC=8，
∵AD=CD，
∴AC=16，
∴△ABC的周长=3AC=48.

【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE；
（2）根据直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半DC=8，AC=16，即可求得△ABC的周长．