【333036】4.3探索三角形全等的条件

4.3探索三角形全等的条件

一、单选题

1.小明用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B=∠E，AB=DE，BF=EC，其中框架△ABC的质量为840克，CF的质量为106克，则整个金属框架的质量为（   ）

A.734克
B.946克
C.1052克
D.1574克

2.按下列条件不能作出惟一三角形的是（  ）

A. 已知两角夹边         B. 已知两边夹角         C. 已知两边及一边的对角         D. 已知两角及其一角对边

3.如图所示，D是BC中点，AD⊥BC，那么下列结论中错误的是（   ）

A. △ABD≌△ACD                   B. ∠B=∠C                   C. AD为△ABC的高                   D. △ABC的三边相等

4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，BC⊥CD，则△CDE的形状是（   ）

A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形

5.如图，∠C=∠D，DE=EC，则以下说法错误的是（   ）

A. AD=BC                        B. OA=AC                        C. ∠OAD=∠OBC                        D. △OAD≌△OBC

6.如图，在Rt△ACD和Rt△BEC中，若AD=BE，DC=EC，则不正确的结论是（　　）

A. Rt△ACD和Rt△BCE全等                    B. OA=OB                   C. E是AC的中点                   D. AE=BD

7.下列条件能判断两个三角形全等的是（   ）
①两角及一边对应相等；②两边及其夹角对应相等；
③两边及一边所对的角对应相等；④两角及其夹边对应相等

A. ①③                                   B. ②④                                   C. ①②④                                   D. ②③④

8.如图，△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=40°，则∠DEF的度数是（　　）
．

A. 75°                                       B. 70°                                       C. 65°                                       D. 60°

9.正三角形ABC中，BD=CE，AD与BE交于点P，∠APE的度数为（　　）

A. 45°                                       B. 55°                                       C. 60°                                       D. 75°

10.下列判断，其中正确的是（ ）

A. 三个角对应相等的两个三角形全等                  B. 周长相等的两个三角形全等
C. 周长相等的两个等边三角形全等                      D. 有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等

二、填空题

11.已知：如图，等腰直角△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，点D为△ABC外一点，∠ADB=45°，连接CD，AD=4 ， CD=10，则四边形ACBD的面积为________ 

12.把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．如图，点B、D在线段AE上，BC∥EF，AD=BE，BC=EF，试说明：∠C=∠F；AC∥DF．

解：∵AD=BE（已知）
∴AD+DB=DB+BE（________）
即AB=DE
∵BC∥EF（已知）
∴∠ABC=∠________（________）
又∵BC=EF（已知）
∴△ABC≌△DEF（________）
∴∠C=∠F，∠A=∠FDE（________）
∴AC∥DF（________）

13.如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，延长BA到点D，使AD=AO，连接DO，若BD=BC，∠ABC=54°，则∠BCA的度数为________°．

14.日常生产生活实际中，很多物体都采用三角形结构，这是因为三角形具有________．

15.建筑工地上吊车的横梁上有许多三角形，这是利用了________．

三、解答题

16.已知，如图，△ABC中，AB=AC，动点D、E、F在AB、BC、AC上移动，移动过程中始终保持BD=CE，∠DEF=∠B，请你分析是否存在始终与△BDE全等的三角形，并说明理由。

17.如图，AC=AE，∠C=∠E，∠1=∠2．求证：△ABC≌△ADE．

18.如图，△ABC和△AED中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD、CE，求证：BD=EC。

19.已知：如图，AB=AD，BC=DE，AC=AE，BC交DE于点M、交AD于点N。求证：∠ 1 = ∠ 2 = ∠3。

四、综合题

20.如图，已知，BD与CE相交于点O，AD=AE，∠B=∠C，请解答下列问题：

（1）△ABD与△ACE全等吗？为什么？

（2）BO与CO相等吗？为什么？

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】D

【解析】【解答】∵∠B=∠E，AB=DE，∵BF=EC，∴BC=EF，∴△ABC≌△DEF，∴整个金属框架的质量为840×2-106=1574克。
故答案为：D
【分析】根据已知条件用边角边可证△ABC≌△DEF，则整个金属框架的质量=框架△ABC的质量 2-重合部分CF的质量即可。

2.【答案】C

【解析】【分析】根据判定两个三角形全等的一般方法依次分析各项即可。
【解答】A、B、D三个选项分别符合全等三角形的判定方法ASA，SAS，AAS，故能作出唯一三角形；
C、只有涉及的两个三角形同为锐角三角形或者钝角三角形或者直角三角形时，才成立。
故选C．
【点评】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。

3.【答案】D

【解析】【分析】根据D是BC中点，AD⊥BC，公共边AD即可证得△ABD≌△ACD，再依次分析各项即可。
【解答】∵D是BC中点，
∴BD=CD，
∵AD⊥BC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD ，AD为△ABC的高
∴∠B=∠C，
但无法说明△ABC的三边相等，
故选D.
【点评】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．熟记各判定方法是解题的关键。

4.【答案】A

【解析】【解答】解：如图，延长DE交CB的延长线于F．
∵AD∥BC，
∴∠F=∠ADE，
∵BE=AE，∠AEB=∠AED，
∴△BEF≌△AED，
∴EF=ED，
∵BC⊥DC，
∴∠DCF=90°，
∴CE=EF=DE，
∴△DEC是等腰三角形．
故答案为：A．
【分析】如图，延长DE交CB的延长线于F．只要证明△BEF≌△AED，推出EF=ED，由BC⊥DC，推出∠DCF=90°，推出CE=EF=DE，可得△DEC是等腰三角形．

5.【答案】B

【解析】【解答】解：在△DEB与△CEA中， ，
∴△DEB≌△CEA（ASA）
∴BE=EA，
∴AD=BC，
在△OAD与△OCB中，
，
∴△OAD≌△OBC，
∴∠OAD=∠OBC，OA=OB，
故答案为：B
【分析】根据全等三角形的判定定理：（ASA）（AAS）或（SAS）即可得出答案．

6.【答案】C

【解析】【解答】解：A、∵∠C=∠C=90°，
∴△ACD和△BCE是直角三角形，
在Rt△ACD和Rt△BCE中
∵ ，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），正确；
B、∵Rt△ACD≌Rt△BCE，
∴∠B=∠A，CB=CA，
∵CD=CE，
∴AE=BD，
在△AOE和△BOD中
∵ ，
∴△AOE≌△BOD（AAS），
∴AO=OB，正确，不符合题意；
AE=BD，CE=CD，不能推出AE=CE，错误，符合题意；
D、∵Rt△ACD≌Rt△BCE，
∴∠B=∠A，CB=CA，
∵CD=CE，
∴AE=BD，正确，不符合题意．
故选C．
【分析】根据HL证Rt△ACD≌Rt△BCE即可判断A；根据以上全等推出AE=BD，再证△AOE≌△BOD，即可判断B和D，根据已知只能推出AE=BD，CE=CD，不能推出AE=CE，即可判断C．

7.【答案】C

【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法依次分析各小题即可。
【解答】①两角及一边对应相等；ASA或者AAS可以判定；②两边及其夹角对应相等，SAS可以判定；④两角及其夹边对应相等，ASA可以判定；
③两边及一边所对的角对应相等，不能判定。
故选C.
【点评】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．熟记各判定方法是解题的关键。

8.【答案】B

【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C= （180°﹣∠A）=70°，
在△BDE和△CEF中， ，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴∠BDE=∠CEF，
∵∠CED=∠B+∠BDE，
即∠CEF+∠DEF=∠B+∠BDE，
∴∠DEF=∠B=70°；
故选：B．
【分析】由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=70°，再证明△BDE≌△CEF，得出∠BDE=∠CEF，运用三角形的外角性质得出∠CEF+∠DEF=∠B+∠BDE，即可得出∠DEF=∠B=70°．

9.【答案】C

【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中 ，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠APE=∠ABP+∠BAP，
∴∠APE=∠ABP+∠CBE=∠B=60°，
故选C．
【分析】根据条件三角形ABC是正三角形可得：AB=BC，BD=CE，∠ABD=∠C可以判定△ABD≌△BCE，即可得到∠BAD=∠CBE，又知∠APE=∠ABP+∠BAP，故知∠APE=∠ABP+∠CBE=∠B．

10.【答案】C

【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法依次分析各项即可。
【解答】A不正确，如图1，两个三角形，三内角分别为30°，60°，90°，显然不全等；
B不正确，如两个三角形周长都是60，一个三角形的三边长为20、20、20，另一个三角形三边长为15、20、25，显然不全等；
C正确，
D如图2，AB=AB、AC=AD，第三边上的高AE相同，显然不全等，故D不正确。
         
故选C.
【点评】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。

二、填空题

11.【答案】22

【解析】【解答】解：过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD交DA的延长线于F，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠EAB+∠FAC=∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠ABE=∠FAC，
在△ABE与△CAF中， ，
∴△ABE≌△AFC，
∴AE=CF，BE=AF，
∵∠ADB=45°，
∴DE=BE，
设AE=CF=x，AF=BE=DE=y，
在R_t△CDF中，DF²+CF²=CD² ，
即：（x+2y）²+x²=10² ，
∵x+y=4 ，
∴x= ， y=3 ，
∴CF=AE= ， AF=BE=DE=3 ，
∴AC= =2 ，
∴S_四边形ABCD=S_△ABD+S_△ABC= AD•BE+ AC•AB= ×4 ×3 + ×2 ×2 =22．
故答案为：22．

【分析】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD交DA的延长线于F，由∠BAC=90°，AB=AC，得到∠EAB+∠FAC=∠EAB+∠EBA=90°，证出∠ABE=∠FAC，推出△ABE≌△AFC，得到AE=CF，BE=AF，设AE=CF=x，AF=BE=DE=y，根据勾股定理得到CF=AE= ， AF=BE=DE=3 ， AC= =2 ， 于是得到S_四边形ABCD=S_△ABD+S_△ABC= AD•BE+ AC•AB= ×4 ×3 + ×2 ×2 =32．

12.【答案】等式的性质；E；两直线平行，同位角相等；SAS；全等三角形的对应角相等；同位角相等，两直线平行

【解析】【解答】解：（1）∵AD=BE（已知）
∴AD+DB=DB+BE（ 等式的性质）
即AB=DE
∵BC∥EF（已知）
∴∠ABC=∠E（ 两直线平行，同位角相等）
又∵BC=EF（已知）
∴△ABC≌△DEF（ SAS）
∴∠C=∠F，∠A=∠FDE（ 全等三角形的对应角相等）；
故答案为：等式的性质；E； 两直线平行，同位角相等；SAS；全等三角形的对应角相等；
∵∠A=∠FDE，
∴AC∥DF（ 同位角相等，两直线平行 ）．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【分析】要证角相等可证三角形全等，要证平行可从同位角上入手.

13.【答案】42

【解析】【解答】解：∵△ABC三个内角的平分线交于点O，
∴∠ABO=∠CBO，∠BAO=∠CAO，∠BCO=∠ACO，
∵AD=A0，
∴∠D=∠AOD，
∴∠BAO=2∠D，
设∠D=α，
则∠BAO=2α，∠BAC=4α，
在△DBO与△CBO中，
∴△DBO≌△CBO，
∴∠BCO=∠D=α，
∴∠BCA=2α，
∴54+4α+2α=180，
∴α=21，
∴∠BCA=42°，
故答案为：42．
【分析】由△ABC三个内角的平分线得到角相等，关键等腰三角形的性质得到∠D=∠AOD，由外角的性质得到∠BAC=4∠D，由△DBO≌△CBO，得到∠BOC=∠D=α，
∠BCA=2α，根据三角形的内角和列方程求得．

14.【答案】稳定性

【解析】【解答】解：大桥的钢梁，起重机的支架等，都采用三角形结构，这是因为三角形具有稳定性，
故答案为：稳定性．
【分析】根据三角形具有稳定性进行解答．

15.【答案】三角形的稳定性

【解析】【解答】解：建筑工地上吊车的横梁上有许多三角形，这是利用了三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性．
【分析】根据三角形的稳定性的特点作答即可．

三、解答题

16.【答案】解：存在始终与△BDE全等的三角形，△CEF≌△BDE；理由如下：
∵∠CED=∠B+∠BDE，∠DEF=∠B，
∴∠CEF=∠BDE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C,
在△CEF和△BDE中，

∴△CEF≌△BDE（ASA）.

【解析】【分析】根据对边对等角得到∠B=∠C，由角的和差得到∠CEF=∠BDE，再根据全等三角形的判定方法ASA，得到△CEF≌△BDE.

17.【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中

∴△ABC≌△ADE（SAS）

【解析】【分析】先依据等式的性质证明∠BAC=∠DAE，然后再依据SAS证明△ABC≌△ADE即可.

18.【答案】证明：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE-∠BAE=∠EAC-∠BAE，
∴∠BAD=∠EAC，
在△BAD和△EAC中，

∴△BAD≌△EAC（SAS），
∴BD=EC。

【解析】【分析】由角的和差得到∠BAD=∠EAC，再由全等三角形的判定方法SAS，得到△BAD≌△EAC，得到对应边相等.

19.【答案】解：在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△ADE(SSS)
∴∠BAC=∠DAE， ∠B=∠D
即∠ 1+∠ DAC=∠ 2+∠ DAC
∴∠1=∠2。
∵ ∠ 3+∠ DNM+ ∠D =180º，∠1+∠ BNA+ ∠ B=180º
∴∠1=∠3（等量代换）即∠1=∠2= ∠3

【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法SSS和性质得到∠BAC=∠DAE， ∠B=∠D，再由角的和差得到∠1=∠2= ∠3.

四、综合题

20.【答案】（1）解：△ABD与△ACE全等，理由：
在△ABD与△ACE中
∵∠B=∠C，∠A=∠A，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（AAS）．
（2）解：BO与CO相等，理由：
∵△ABD≌△ACE，
∴AB=AC，
∵AE=AD，
∴AB﹣AE=AC﹣AD，
即BE=CD，
在△BOE与△COD中，
∵∠EOB=∠DOC，∠B=∠C，BE=CD，
∴△BOE≌△COD（AAS）．
∴BO=CO．

【解析】【分析】（1）△ABD≌△ACE，因为已知的两个条件，再加上∠A=∠A，利用AAS可证全等；
（2）先利用（1）中，△ABD≌△ACE，可得AB=AC，而AD=AE，利用等量减等量差相等，可得BE=CD，再加上∠B=∠C，∠BOE=∠COD，利用AAS可证△BOE≌△COD，那么利用全等三角形的性质可得BO=CO．