【332055】全易通初中数学九年级教案-沪科版-24.7 弧长与扇形面积（第1课时）

24.7弧长与扇形面积

第一课时

教学目标

1．经历弧长和扇形面积公式的探求过程；

2．会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算．

教学重难点

【教学重点】

弧长和扇形的面积公式。

【教学难点】

利用弧长和扇形的面积公式进行相关的计算。

课前准备

课件、教学模具等。

教学过程

一、情境导入

在我们日常生活中，弧形随处可见，大到星体运行轨道，小到水管弯管，操场跑道，高速立交的环形入口等等，你有没有想过，这些弧形的长度应该怎么计算呢？

二、合作探究

探究点一：与弧长有关的计算

【类型一】 求弧长

如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，则劣弧BC的长为________cm.

解析：连接OB、OC，∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BO.∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.在等腰△OBC中，∠BOC＝180°－2∠OBC＝180°－2×60°＝60°.∴BC的长为＝2π.

方法总结：根据弧长公式l＝，求弧长应先确定圆弧所在圆的半径R和它所对的圆心角n的大小．

【类型二】 利用弧长求半径或圆心角

(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于，则该扇形的半径是________；

(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为________．

解析：(1)若设扇形的半径为R，则根据题意，得＝，解得R＝2.

(2)根据弧长公式得＝，解得n＝60，故扇形圆心角的大小为60°.

方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径．

【类型三】 求动点运行的弧形轨迹

如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．

解析：点A第1次落在直线l上所经历的路线的长为一个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长，此后每落在直线l上一次，都会经历一个半径长为2，圆心角为120°的扇形弧长和一个半径为，圆心角为90°的扇形弧长之和，故点A第3次落在直线l上所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为，圆心角为90°的扇形弧长之和，即l＝3×＋2×＝4π＋π.故填(4＋)π.

方法总结：此类翻转求路线长的问题，通过归纳探究出这个点经过的路线情况的规律，并以此推断整个运动途径，从而利用弧长公式求出运动的路线长．

探究点二：与扇形面积相关的计算

【类型一】 求扇形面积

一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________(结果保留π)．

解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式S＝＝＝3π.

方法总结：扇形面积公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面积还有另外一种求法S＝lr，其中l是弧长，r是半径．

【类型二】 求运动形成的扇形面积

如图，把一个斜边长为2且含有30°角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°到△A₁B₁C，则在旋转过程中这个三角板扫过图形的面积是(　　)

A．π B. C.＋ D.＋

解析：在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴BC＝AB＝1.由于这个三角板扫过的图形为扇形BCB₁和扇形ACA₁，∴S扇形BCB₁＝＝，S扇形ACA₁＝＝，∴S_总＝＋＝π.故选A.

方法总结：此题考查了旋转的性质、直角三角形的性质以及等边三角形的性质，注意掌握旋转前后图形的对应关系，利用数形结合思想把扫过的面积分成两个扇形的面积与一个三角形面积是解题的关键．

【类型三】 求阴影部分的面积

如图，半径为1cm、圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为(　　)

A．πcm² B.πcm² C.cm² D.cm²

解析：设两个半圆的交点为C，连接OC，AB，根据题意可知点C是半圆OA，OB的中点，所以BC＝OC＝AC，所以BC＝OC＝AC，即四个弓形的面积都相等，所以图中阴影部分的面积等于Rt△AOB的面积，又OA＝OB＝1cm，即图中阴影部分的面积为cm²，故选C.

方法总结：求图形面积的方法一般有两种：规则图形直接使用面积公式计算；不规则图形则进行割补，拼成规则图形再进行计算．

三、板书设计

1．弧长的计算

2．扇形面积的计算

教学反思

教学过程中，强调学生应熟记相关公式并灵活运用，特别是求阴影部分的面积时，要灵活运用割补法和转换法等.