【332027】期末检测卷2

期末检测卷二

（满分：120分，时间：120分钟）

一、选择题(每小题3分，共36分)

1．要使式子 有意义，则x的取值范围是（ ）

A． x＞0 B． x≥﹣2 C． x≥2 D． x≤2

2．已知关于x的一元二次方程mx²+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则 m的取值范围是（ ）

A． m＜﹣1 B． m＞1 C． m＜1且m≠0 D． m＞﹣1且m≠0

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2，BC=1，则tanA的值是（ ）

A． B． 2 C． D．

4．下列多边形一定相似的为（ ）

A． 两个三角形 B．两个四边形 C． 两个正方形 D．两个平行四边形

5．⊙A半径为5，圆心A的坐标为（1，0），点P的坐标为（﹣2，4），则点P与⊙A 的位置关系是（ ）

A． 点P在⊙A上 B．点P在⊙A内 C． 点P在⊙A外 D．点P在⊙A上或外

6．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（ ）

A． 130° B．120° C． 11 0° D． 100°

7．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过（﹣1，0）、（0，3），下列结论中错误的是（ ）

A． abc＜0 B． 9a+3b+c=0 C． a﹣b=﹣3 D． 4ac﹣b²＜0

8．二次函数y=x²的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ ）

A． y=x²﹣2 B． y=（x﹣2）² C． y=x²+2 D． y=（x+2）²

9．若⊙O的直径为20cm，点O到直线l的距离为10cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）

A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 无法确定

10．抛物线y=3x²，y=﹣3x²，y= x²+3共有的性质是（ ）

A． 开口向上 B．对称轴是y轴 C．都有最高点 D．y随x值的增大而增大

11．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图，给出以下结论：①b²＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0，其中结论正确有（ ）

A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个

12．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ）

A． 2 B． 8 C． 2 D． 2

二、填空题(每小题3分，共24分)

13．9的平方根是 ．

14．方程x²=x的解是 ．

15．在△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB= ．

16．布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 ．

17．已知AB为⊙0的直径，AC、AD为⊙0的弦，若AB=2AC= AD，则∠DBC的度数为 ．

18．若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m有实数根x₁，x₂，且x₁≠x²有下列结论：

①x₁=2，x₂=3；②m＞﹣ ；③二次函数y=（x﹣x₁）（x﹣x₂）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中正确的结论是 （填正确结论的序号）.

19．已知关于x的一元二次方程x²+bx+b﹣1=0有两个相等的实数根，则b的值是 ．

20．已知关于x的方程x²+6x+k=0的两个根分别是x₁、x₂，且 + =3，则k的值为 ．

三、解答题（共60分）

21．（6分）计算： ．

22．（6分）解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．

23．（6分）如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，求证：AB²=AD•AC．

24．（6分）已知二次函数y=ax²+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0）．求二次函数的解析式．

25．（8分）居民区内的“广场舞”引起媒体关注，辽宁都市频道为此进行过专访报道．小平想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行了一次抽样调查，把居民对“广场舞”的看法分为四个层次：

A．非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同．

并将调查结果绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．

请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）求本次被抽查的居民有多少人？

（2）将图1和图2补充完整；

（3）求图2中“C”层次所在扇形的圆心角的度数；

（4）估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有多少人．

26．（8分）如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，若∠PAB=40°，求∠P的度数．

27．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．

（1）求证：直线BD与⊙O相切；

（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．

28．（10分）如图，在直角坐标平面内，直线y=﹣x+5与x轴和y轴分别交于A、B两点，二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A、B，且顶点为C．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求sin∠OCA的值；

（3）若P是这个二次函数图象上位于x轴下方的一点，且△ABP的面积为10，求点P的坐标．

参考答案

1．D 解析：根据题意得，2﹣x≥0，解得x≤2．故选D．

2．D 解析：因为关于x的一元二次方程mx²+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，

所以m≠0且△＞0，即2²﹣ 4•m•（﹣1）＞0，解得m＞﹣1，所以m的取值范围为m＞﹣1且m≠0．

所以当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx²+2x﹣1=0有两个不相等的实数根．故选D．

3．A 解析：如图所示：因为在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，所以tanA= = ．故选：A．

4. C 解析：A、一个直角三角形与一个等边三角形不相似，所以A选项错误；B、一个矩形与一个梯形不相似，所以B选项错误；C、所有的正方形都相似，所以C选项正确；D、一个菱形和一个矩形不相似，所以D选项错误．故选C．

5．A 解析：PA= =5，

因为⊙A半径为5，所以点P点圆心的距离等于圆的半径，所以点P在⊙A上．故选A．

6．C 解析：因为AB，AC是⊙O的切线，B，C是切点，所以∠B=∠C=90°，∠BOC=180°﹣∠A=110°．故选C．

7．B 解析：A、因为抛物线对称轴x=﹣ ＞0，所以ab＜0，又因为抛物线与y轴交于正半轴，所以c＞0，所以abc＜0，正确，故本选项不符合题意；B、观察图象，由于没有给出对称轴方程，所以不能得出x=3时，函数值的符号，所以9a+3b+c不一定等于0，即9a+3b+c=0不一定正确，故本选项符合题意；C、因为二次函数y=ax²+bx+c的图象经过（﹣1，0）、（0，3），所以 ，②代入①，整理，得a﹣b=﹣3，正确，故本选项不符合题意；D、因为抛物线与x轴有两个交点，所以b²﹣4ac＞0，即4ac﹣b²＜0，正确，故本选项不符合题意．故选B．

8．C 解析：原抛物线的顶点为（0，0），向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为：（0，2）．可设新抛物线的解析式为y=（x﹣h）²+k，代入得y=x²+2．故选C．

9．B 解析：因为⊙O的直径为20cm，所以⊙O的半径为10cm，因为圆心O到直线l的距离是10cm，所以根据圆心距与半径之间的数量关系可知直线l与⊙O的位置关系是相切．故选B．

10．B 解析：（1）y=3x²开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；（2）y=﹣3x²开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；（3）y= x²+3开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为（0，3）．故选B．

11．B 解析：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b²﹣4ac＞0，所以b²＞4ac，故①正确；②抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线的对称轴为x=﹣ =1，b=﹣2a，故b＜0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；所以abc＞0；故②正确；③因为抛物线的对称轴为x=﹣ =1，b=﹣2a，所以2a+b=0，故2a﹣b=0错误；④根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax²﹣2ax+c（a≠0）；由函数的图象知：当x=﹣2时，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c=8a+c＞0，故④错误；⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当x=﹣1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故⑤正确；所以这结论正确的有①②⑤三个．故答案为：B．

12．D 解析：因为⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，所以AC= AB=4，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，

在Rt△AOC中，因为AC=4，OC=r﹣2，所以OA²=AC²+OC²，即r²=4²+（r﹣2）²，解得r=5，所以AE=2r=10，

连接BE，因为AE是⊙O的直径，所以∠ABE=90°，

在Rt△ABE中，因为AE=10，AB=8，所以BE= = =6，

在Rt△BCE中，因为BE=6，BC=4，所以CE= = =2 ．

故选：D．

13．±3 解析：因为±3的平方是9，所以9的平方根是±3．

14．x₁=0，x₂=1 解析：x²=x移项得x²﹣x=0，分解因式得x（x﹣1）=0，x=0或x﹣1=0，解得x₁=0，x₂=1．

15． 解析：因为sinA= = ，所以设BC=4x，AB=5x，由勾股定理得，AC= =3x，所以tanB= = =

16． 解析：因为一个布袋里装有3个红球和6个白球，所以摸出一个球摸到红球的概率为： = ．

17．15°或75° 解析：当点C、D在直径AB的异侧时，如图1所示：因为AB为直径，所以∠ACB=∠ADB=90°，因为AB=2AC，所以sin∠ABC= = ，所以∠ABC=30°，因为AB= AD所以AD= AB，所以∠ABD=45°所以∠DBC=∠ABC+∠ABD=30°+45°=75°；当点C、D在直径AB的同侧时，如图2所示，

同理可得，∠DBC=∠ABD﹣∠ABC=45°﹣30°=15°．

18．②③ 解析：一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m化为一般形式得x²﹣5x+6﹣m=0，因为方程有两个不相等的实数根x₁、x₂，所以b²﹣4ac=（﹣5）²﹣4（6﹣m）=4m+1＞0，解得m＞﹣ ，故选项②正确；因为一元二次方程实数根分别为x₁、x₂，所以x₁+x₂=5，x₁x₂=6﹣m，而选项①中x₁=2，x₂=3，只有在m=0时才能成立，故选项①错误；二次函数y=（x﹣x₁）（x﹣x₂）+m=x²﹣（x₁+x₂）x+x₁x₂+m=x²﹣5x+（6﹣m）+m=x²﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3），令y=0，可得（x﹣2）（x﹣3）=0，解得：x=2或3，所以抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故选项③正确．综上所述，正确的结论有2个：②③．

19．2 解析：根据题意得：△=b²﹣4（b﹣1）=（b﹣2）²=0，则b的值为2．

20．﹣2 解析：因为关于x的方程x²+6x+ k=0的两个根分别是x₁、x₂，所以x₁+x₂=﹣6，x₁x₂=k，

因为 + = =3，所以 =3，所以k=﹣2．

21．解：原式=3 ﹣3× +1+9=2 +10．

22．解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，

整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0，x﹣3=0或2﹣3x=0，解得：x₁=3或x₂= ．

23．证明：因为∠ABD=∠C，∠A是公共角，所以△ABD∽△ACB，所以 ，所以AB²=AD•AC．

24．解：根据题意，得 ，解得， ；所以该二次函数的解析式为：y=x²﹣2x﹣3．

25．解：（1）90÷30%=300（人），本次被抽查的居民有300人；

（2）D所占的百分比：30÷300=10%，B所占的百分比：1﹣20%﹣30%﹣10%=40%，

B对应的人数：300×40%=120（人），C对应的人数：300×20%=60（人），

补全统计图，如图所示：

（3）360°×20%=72°，“C”层次所在扇形的圆心角的度数为72°；

（4）4000×（30%+40%）=2800（人），

答：估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有2800人．

26．解：因为PA、PB是⊙O的切线，所以PA=PB，所以∠PAB=∠PBA=40°，所以∠P=180°﹣40°﹣40°=100°．

27．（1）证明：连接OD、DE，因为OA=OD，所以∠A=∠ADO，

因为∠A+∠CDB=90°，所以∠ADO+∠CDB=90°，所以∠ODB=180°﹣90°=90°，所以OD⊥BD，

因为OD是⊙O半径，所以直线BD与⊙O相切．

（2）解：因为AE是⊙O直径，所以∠ADE=90°=∠C，所以BC∥DE，所以△ADE∽△ACB，所以 =

因为D为AC中点，所以AD=DC= AC，所以AE=BE= AB，DE是△ACB的中位线，所以AE= AB，DE= BC=3，

因为设AD=4a，AE=5a，在Rt△ADE中，由勾股定理得DE=3a=3，解得a=1，所以AE=5a=5，⊙O的直径是5．

28．解：（1）由直线y=﹣x+5得点B（0，5），A（5，0），

将A、B两点的坐标代入y=x²+bx+c，得 ，解得 ，

所以抛物线的解析式为y=x²﹣6x+5；

（2）如图，过点C作CH⊥x轴交x轴于点H．

由（1）知，抛物线的解析式为：y=x²﹣6x+5，则配方 得y=（x﹣3）²﹣4，所以点C（3，﹣4），

所以CH=4，AH=2，AC= ，所以OC=5．

因为OA=5，所以OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，所以sin∠OCA= ；

（3）如图，过P点作PQ⊥x轴并延长交直线y=﹣x+5于Q．

设点P（m，m²﹣6m+5），Q（m，﹣m+5），则PQ=﹣m+5﹣（m²﹣6m+5）=﹣m²+5m．

因为S_△ABP=S_△PQB+S_△PQA= PQ•OA，所以 ，所以m₁=1，m₂=4，

所以P（1，0）（舍去），P（4，﹣3）．