【331999】考点综合专题：反比例函数与其他知识的综合

考点综合专题：反比例函数与其他知识的综合

类型一　反比例函数与一次函数的综合

一、判断函数图象

1．当k＞0时，反比例函数y＝和一次函数y＝kx＋2的图象大致是【方法3④】(　　)

二、求交点坐标或根据交点求取值范围

2．(2017·自贡中考)一次函数y₁＝k₁x＋b和反比例函数y₂＝(k₁·k₂≠0)的图象如图所示．若y₁＞y₂，则x的取值范围是【方法3③】(　　)

A．－2＜x＜0或x＞1 B．－2＜x＜1

C．x＜－2或x＞1 D．x＜－2或0＜x＜1

第2题图 第3题图 第5题图

3．如图，直线y＝－x＋b与反比例函数y＝的图象的一个交点为A(－1，2)，则另一个交点B的坐标为【方法3①】(　　)

A．(－2，1) B．(2，1)吧 C．(1，－2) D．(2，－1)

4．若一次函数y＝mx＋6的图象与反比例函数y＝在第一象限的图象有公共点，则有(　　)

A．mn≥－9 B．－9≤mn≤0 C．mn≥－4 D．－4≤mn≤0

5．(2017·长沙中考)如图，点M是函数y＝x与y＝的图象在第一象限内的交点，OM＝4，则k的值为________．

6．(2017·菏泽中考)直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝交于A(x₁，y₁)和B(x₂，y₂)两点，则3x₁y₂－9x₂y₁的值为________．【方法4】

7．(2017·广安中考)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A(4，2)，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝6.

(1)求函数y＝和y＝kx＋b的解析式；

(2)已知直线AB与x轴相交于点C，在第一象限内，求反比例函数y＝的图象上一点P，使得S_△POC＝9.

类型二　反比例函数与二次函数的综合

8．(2017·广州中考)当a≠0时，函数y＝与y＝－ax²＋a在同一直角坐标系中的大致图象可能是(　　)

9．★如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点(F不与A，B重合)，过点F的反比例函数y＝(x＞0)的图象与BC边交于点E.

(1)当F为AB的中点时，求该函数的解析式；

(2)当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？

类型三　与三角形的综合

10．位于第一象限的点E在反比例函数y＝的图象上，点F在x轴的正半轴上，O是坐标原点．若EO＝EF，△EOF的面积等于2，则k的值为(　　)

A．4 B．2 C．1 D．－2

11．(2017·包头中考)如图，一次函数y＝x－1的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点B，点C在y轴上．若AC＝BC，则点C的坐标为________．

第11题图 第12题图 第13题图

12．(2017·西宁中考)如图，点A在双曲线y＝(x＞0)上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B.当AC＝1时，△ABC的周长为________．

13．(2017·贵港中考)如图，过C(2，1)作AC∥x轴，BC∥y轴，点A，B都在直线y＝－x＋6上．若双曲线y＝(x＞0)与△ABC总有公共点，则k的取值范围是________．

14．(2017·苏州中考)如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A.反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点C，交AB于点D.已知AB＝4，BC＝.

(1)若OA＝4，求k的值；

(2)连接OC，若BD＝BC，求OC的长．

类型四　与特殊四边形的综合

15．(2017·衢州中考)如图，在直角坐标系中，点A在函数y＝(x＞0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y＝(x＞0)的图象交于点D，连接AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于(　　)

A．2 B．2 C．4 D．4

第15题图 第16题图

16．(2016·齐齐哈尔中考)如图，已知点P(6，3)，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y＝的图象交PM于点A，交PN于点B.若四边形OAPB的面积为12，则k＝________．

17．(2016·泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0，3)，点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD＝2DB，AM＝2MO，一次函数y＝kx＋b的图象过点D和M，反比例函数y＝的图象经过点D，与BC的交点为N.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．

参考答案与解析

1．C　2.D　3.D

4．A　解析：将y＝mx＋6代入y＝中，得mx＋6＝，整理得mx²＋6x－n＝0.∵两个图象有公共点，∴Δ＝6²＋4mn≥0，∴mn≥－9.故选A.

5．4

6．36　解析：由题可知点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)关于原点对称，∴x₁＝－x₂，y₁＝－y₂.把A(x₁，y₁)代入双曲线y＝，得x₁y₁＝6，∴3x₁y₂－9x₂y₁＝－3x₁y₁＋9x₁y₁＝6x₁y₁＝36.故答案为36.

7．解：(1)把点A(4，2)代入反比例函数y＝，可得m＝8，∴反比例函数解析式为y＝.∵OB＝6，∴B(0，－6)，把点A(4，2)，B(0，－6)代入一次函数y＝kx＋b，可得解得∴一次函数解析式为y＝2x－6.

(2)在y＝2x－6中，令y＝0，则x＝3，即C(3，0)，∴CO＝3.设P，则由S_△POC＝9，可得×3×＝9，解得a＝，∴P.

8．D

9．解：(1)∵在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，∴B点坐标为(3，2)．∵F为AB的中点，∴F点坐标为(3，1)．∵点F在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，∴k＝3，∴该函数的解析式为y＝(x＞0)．

(2)由题意知E，F两点坐标分别为E，F，∴S_△EFA＝AF·BE＝×k×＝k－k²＝－(k²－6k＋9－9)＝－(k－3)²＋.当k＝3时，S_△EFA有最大值，最大值为.

10．B

11．(0，2)　解析：由解得或∴A(2，1)，B(1，0)．设C(0，m)，∵BC＝AC，∴AC²＝BC²，即4＋(m－1)²＝1＋m²，∴m＝2，故答案为(0，2)．

12.＋1

13．2≤k≤9　解析：当反比例函数的图象过C点时，把C的坐标代入得k＝2×1＝2；把y＝－x＋6代入y＝得－x＋6＝，x²－6x＋k＝0，Δ＝(－6)²－4k＝36－4k.∵反比例函数y＝的图象与△ABC有公共点，∴36－4k≥0，解得k≤9，即k的取值范围是2≤k≤9，故答案为2≤k≤9.

14．解：(1)如图，作CE⊥AB，垂足为E.作CF⊥x轴，垂足为F.∵AC＝BC，AB＝4，∴AE＝BE＝2.在Rt△BCE中，BC＝，BE＝2，由勾股定理得CE＝.∵OA＝4，∴OF＝OA－CE＝，∴C点的坐标为.∵点C在y＝的图象上，∴k＝5.

(2)设A点的坐标为(m，0)．∵BD＝BC＝，∴AD＝，∴D，C两点的坐标分别为，.∵点C，D都在y＝的图象上，∴m＝2，解得m＝6，∴C点的坐标为，∴OF＝，CF＝2.在Rt△OFC中，OC²＝OF²＋CF²，∴OC＝.

15．C

16．6　解析：∵∠NOM＝90°，PM⊥x轴，PN⊥y轴，∴四边形ONPM是矩形．∵点P的坐标为(6，3)，∴PM＝3，PN＝6.∵A，B在反比例函数y＝上，∴S_△NOB＝S_△OAM＝.∵S_{四边形OAPB}＝S_矩形OMPN－S_△OAM－S_△NBO＝12，∴6×3－k－k＝12，解得k＝6.

17．解：(1)∵正方形OABC的顶点C的坐标为(0，3)，∴OA＝AB＝BC＝OC＝3，∠OAB＝∠B＝∠BCO＝90°.∵AD＝2DB，∴AD＝AB＝2，∴D点的坐标为(－3，2)．把D点的坐标代入y＝得m＝－6，∴反比例函数的解析式为y＝－.∵AM＝2MO，∴MO＝OA＝1，∴M点的坐标为(－1，0)．把M点与D点的坐标代入y＝kx＋b中得解得则一次函数的解析式为y＝－x－1.

(2)把y＝3代入y＝－得x＝－2，∴N点坐标为(－2，3)，∴NC＝2.设P点坐标为(x，y)．∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，∴(OM＋NC)·OC＝OM·|y|，即|y|＝9，解得y＝±9.在y＝－x－1中，当y＝9时，x＝－10；当y＝－9时，x＝8，则点P的坐标为(－10，9)或(8，－9)．