28.2　解直角三角形

专题一　利用解直角三角形测河宽 与山高

1．如图，小丽想知道自家门前小 河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD＝30°；小丽沿河岸向前走30 m选取点B,并测得∠CBD ＝60°.请根据以上数据,用你所学的数学知识,帮助小丽计算小河的宽度.

2．在一次暑 假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C处）和湖东岸的山峰老君岭（D处）的仰角都是45°，游船向东航行1 00米后（B处），测得太婆尖、老君岭的仰角分别为30°、60°．试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？（ ≈1.732，结果精确到1米）

专题二　利用解直角三角形测坝宽与坡面距离

3．如图，一段河坝的横断面为梯形ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽AD．(i ＝CE:ED，单位：m)[来源:学&科&网Z&X&X&K]

[来源:学+科+网Z+X+X+K]

专题三　利用解直角三角形解决太阳能问题

4．某市规划局计划在一坡角为16°的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意图如图所示．已知支架AC与斜坡AB的夹角为28°，支架BD⊥AB于点B，且AC、BD的延长线均过⊙O的圆心，AB＝12 m，⊙O的半径为1.5 m，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离．（结果精确到0.01 m）

　（参考数据：cos28°≈ 0.9，sin62°≈0.9，sin44°≈0.7，cos46°≈0.7）

【知识要点】

１.解直角三角形的几种基本图形：

　 图形1：

tan30°＝ ， ∠ABD＝∠A，BD＝AD＝a， tan60°＝ ，

，　　　　　 ，　　　　　 ，

a．　　　　 　 .　　　 　 .

　 图形2：

tan30°＝ ，　　　 　　tan60°＝ ，

．　　　　　 .

　 图形3：

AC＝CD＝a＋x，　　　 　AC＝BE＝DE＝x ,　 　∠BAD＝∠BDA＝30°,

tan30°＝ ，　　　　tan60°＝ ,　　　　AB＝BD＝a，

.　　　 .　　　x＝ BD＝ a .

【温馨提示】

１.解直角三角形的基本思想是“化斜为直”，在转化过程中，尽量保证已知度数的角的完整性.

２.当一个三角形是钝角三角形，且其钝角的补角是30、45、60度时，常常从该钝角顶点向对边作垂线构造“双直角三 角形”.

【方法技巧】

１.双直角三角形中，公共直角边是“桥梁”，通过它建立起两直角三角形的联系.

２.如果条件中给出参考数据，结合原始数据，构造直角三角形.当计算过程中用到了参考数据，你的思路一定是正确的.

[来源:学科网ZXXK]

参考答案

1．解：示意图如下：

　 连接AC，BC，过点C作CE⊥AD于E .

由题意得，∠ACB＝∠CBE－∠CAD=60°－30°＝30°，[来源:Z_xx_k.Com]

∴∠CAD＝∠ACB，

∴BC＝AB＝30.

在Rt△BEC中，CE＝BCsin60°＝30× ＝15 （m）.

答:小河的宽度为15 m.

2．解：设太婆尖高h₁米，老君岭高h₂米，依题意，有 [来源:学+科+网]

解得 （米）， (米).

答：太婆尖的高度约为137米，老君岭的高度约为237米 .

3．解：如图所示，过点B作BF⊥AD于F，可得矩形BCEF，

∴EF＝BC＝4，BF＝CE＝4．

在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，AB＝5，BF＝4，

由勾股定理可得 ．

∵Rt△CED中， ，

∴E D＝2CE＝2 ×4＝8．

∴AD＝AF＋FE＋ED ＝3＋4＋8＝15(m)．

4．解：过点O作水平地面的垂线，垂足为E．

在Rt△AOB中，cos∠OAB＝ ，

即cos28°＝ ，∴OA＝ .

∵∠BAE＝16°，

∴∠OAE＝28°＋16°＝44°.

在Rt△AOE中，sin∠OAE＝ ，

即s in44° ，

∴OE ，

9.333＋1.5≈ 10.83(m).

∴雕塑最顶端到水平地面的垂直距离约为10.83 m．

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