28.1　锐角三角函数

专题一　锐角与其他知识的综合运用

1. 如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（　　）

　　A.OM的长　　　　B.2OM的长　　　　C.CD的长　　　　　D.2CD的长

2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点，且AE:EB＝4:1，

EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（　　）

　A. 　　　　　B. 　　　　　 C. 　　　　　D.

错误！未找到引用源。

专题二　探究题

3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C为第一象限内一点，且AC＝2，设tan∠BOC＝m，则m的取值范围是 　　 .

4. 如图（1），由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形，

得S_△ABC＝ bc·sinA．　　①

　 即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半．

如图（2），在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=α，∠DCB=β．

∵S_△ABC＝S_{△AD C}＋S_△BDC，由公式①，得 AC·BC·sin（α＋β）＝ AC·CD·sinα＋ BC·CD·sinβ，

即AC·BC·sin(α＋β）＝AC·CD·sinα＋BC·CD·sinβ．　　②

你能利用直角三角形的边角关系，消去②中的AC、BC、CD吗？若不能，请说明理由；若能，请写出解决过程．

[来源:Z.xx.k.Com]

专题三　新定义问题

5．在平面直角坐标系中，设点 P到原点O的距离为r，α看作是OP以x轴正半轴方向为起始位置绕点O逆时针旋转的角度，则用[r，α]表示点P的极坐标，显然，点P的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：点P的坐标为（1，1），则其极坐标为[错误！未找到引用源。 ，45°]．若点Q的极坐标为[4，60°]，则点Q的坐标为（　　）

A.（2，2错误！未找到引用源。）　　　B.（2，－2错误！未找到引用源。）　　　C.（2错误！未找到引用源。，2）　　　D.（2，2）[来源:Z_xx_k.Com]

6．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）.如图①，在 △ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA .容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：

　（1）sad60°＝ ；

　（2）对于0°＜∠A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 ；[来源:Zxxk.Com]

　（3）如图②，已知sinA＝ ，其中∠A为锐角，试求sadA的值.

专 题四　方案设计问题

7．如图，由于水资源缺乏，B、C两地不得不从黄河上的扬水站A处引水，这就需要在A、B、C之间铺设地下输水管道．有人设计了三种铺设方案：如图(1)、(2)、(3)，图中实线表示管道铺设线路，在图 （2 ）中，AD⊥BC于D；在图（3）中，OA＝OB＝OC．为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短．已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，请你通过计算，判断哪个铺设方案最好．

[来源:学|科|网Z|X|X|K]

【知识要点】

１．在Rt△ABC中，若∠C＝90º，

则 ，cosA＝ ，tanA＝ ．[来源:Zxxk.Com]

3. 特殊角的三角函数值：

【温馨提示】

1．研究锐角三角函数通常将锐角放在直角三角形中解决.

2．锐角的正弦函数值随着角的增大而增大；锐角的余弦函数值随着角的增大而减小；锐角的正切函数值随着角的增大而增大.

3．圆中的切线、圆中的直径常常是构造直角的工具.

4．如果直接求一个角的三角函数值不容易时，还可以通过求其等角或余角的三角函数值来解决.

【方法技巧】

1．在Rt△ABC中，sinA＋sinB＞1，sin²A＋cos²A＝1，tanA＝ .

2．若∠A＋∠B＝90°，则sinA＝cosB，cosA＝sinB， tanA·tanB＝1.

3．在网格中计算角的三角函数值时，常利用勾股定理求锐角所在直角三角形的边长.

参考答案

1 ．A　【解析】连接AO并延长交圆于点E，连接BE．

　由题意得∠C＝∠E，且△ABE和△BCD都是直角三角形，

　∴∠CBD＝∠EAB．

　∵△OAM是直角三角形，

　∴sin∠CBD＝sin∠EAB＝ ＝OM.

2．C　【解析】根据题意：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，设AB＝2x，则BC＝x，AC＝ x．

　∴在Rt△CFB中有CF＝ 错误！未找到引用源。x，BC＝x．则tan∠CFB＝ 错误！未找到引用源。．

3 ．m≥ 　【解析】当OC与圆A相切（即到C'点）时，∠BOC最小，此时AC'＝2，OA＝3，由勾股定理得OC'＝ .

　∵∠BOA＝∠AC'O＝90°，

　∴∠BOC'＋∠AOC'＝90°，∠C'AO＋∠AOC'＝90°.

　∴∠BOC'＝∠OAC'.

　∴tan∠BOC＝ ＝ .

　随着C的移动，∠BOC越来越大，但不到E点，即∠BOC＜90°.

　∴tan∠BOC≥ .

4．解：能消去AC、BC、CD，得到sin(α＋ β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ．过程如下：

　　AC·BC·sin(α＋β)＝AC·CD·sinα＋BC·CD·sinβ两边同除以AC·BC，

　　得sin(α＋β)＝ ·s inα＋ ·sinβ.

　　∵ ＝cosβ， ＝cosα．

　　∴sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ．

5． A　【解析】作QA⊥x轴于点A，则OQ＝4，∠QOA＝60°，故OA＝OQ·cos60°＝2，

　　AQ＝OQ·sin60°＝2错误！未找到引用源。，

　　∴点Q的坐标为（2，2错误！未找到引用源。）．

　　故答案选A．

6．解：（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，

　则三角形为等边三角形，则sad60°＝ 错误！未找到引用源。＝1．故答案为1．

（2）当∠A接近0°时，sadA接近0；

当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的2倍，故sadA接近2．

于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．

（3）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝ 错误！未找到引用源。．

在AB上取点D，使AD＝AC.

过点D作DH⊥AC，H为垂足，令BC＝3k，AB＝5k，则AD＝AC＝ ＝4k.

又在△ADH中，∠AHD＝90°，sinA＝ ,∴DH＝ADsinA＝ 错误！未找到引用源。k.

∴AH＝ ＝ 错误！未找到引用源。k．

在△CDH中，CH＝AC－AH＝ 错误！未找到引用源。k，CD＝ ＝ 错误！未找到引用源。k．

由正对的定义可得sadA＝ ＝ 错误！未找到引用源。，即sadA＝ 错误！未找到引用源。．

7. 解 ：图（1）所示方案的线路总长为AB＋BC＝2a；

题图（2）中，在Rt△ABD中，AD=ABsin60°＝ ，

∴图（2）所示方案的线路总长为AD＋BC＝（ ＋1）a；

如图，延长AO交BC于E，∵AB＝AC，OB＝OC，∴OE⊥BC，

BE＝EC＝ ．

在Rt△OBE中，∠OBE＝30°，OB＝ ＝ a．

∴图（3）所示方案的线路总长为OA+OB+OC=3OB＝ a．

比较可知， a＜（ ＋1）a＜2a，∴图（3）所示方案最好．

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