【331971】九年级数学下册：27.2　相似三角形

27.2　相似三角形

专题一 相似形中的开放题

1．如图，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE=　　　　　时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．

1. 已知：如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC、BE，∠BDE+∠BCE=180°.

(1)写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）；

(2)请你在所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由.

专题二 相似形中的实际应用题

3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x.

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专题三 相似形中的探究规律题

4．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30 cm，AB＝50 cm，依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a₁、a₂、a₂…若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )

A．24 B．25 C．26 D．27

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．

（1）如图①，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长；

（2）如图②，正方形DKHG，EKHF组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；

（3）如图③，三个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；

（4）如图④，n个正方形组成的矩形内接于△ ABC，求正方形的边长．

[来源:Z_xx_k.Com]

专题四 相似形中的阅读理解题

6 ．某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去，例如，可以定义：圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫相似扇形；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方…，请你协助他们探索下列问题：

(1)写出判定扇形相似的一种方法：若 ，则两个扇形相似；

(2)有两个圆心角相同的扇形，其中一个半径为a，弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为 ；

(3)如图1，是—完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB为30cm,现要做一个和它形状相同，面积是它的一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径.

图1 图2

专题五 相似形中的操作题

7．宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形，心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感．
现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；
第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．
请你根据以上作法 ，证明矩形DC EF为黄金矩形．

8．如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．

（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点 F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．求证：BH•GD=BF ²；

（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合）， 且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．
探究：FD+DG= DB，请给予证明．

[来源:Z*xx*k.Com]

专题六 相似形中的综合题

9．正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM=　　时，四边形ABCN的面积最大．

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10．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边，以AC的中点O为圆心， AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连接AE、AD、DC．

（1）求证：D是_{ ⌒}的中点；

（2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD；

（ 3）若 ，且AC=4，求CF的长.

【知识要点】

1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.

2．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.

3．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

4． 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.

5．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.

6．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两 个角对应相等，那么这两个三角形相似.

7．相似三角形周长的比等于相似比.相似多边形周长的比等于相似比.

8．相似三角形对应高的比等于相似比.

9．相似三角形面积的比 等于相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.

【温馨提示】

1．平行线分线段成比例时，一定找准对应线段.

2．当已知两个三角形有一组对应角相等，利用夹这个角的两边对应 成比例来判定它们相似时，比例式常有两种情况，考虑不全面是遗漏解的主要原因.

3．数学猜想需要严密的推理论证说明其正确性，规律的发现与提出需要从特殊到一般的数学归纳思想，平时要养成观察、分析问题的习惯.

【方法技巧】

1．相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形对应中线的比等于相似比.

2．在平面几何中，求图形中等积式或等比式时，一般地首先通过观察找出图形中相似的三角形，再从理论上证明观察结论的正确性，最后运用相似形的性质来解决问题.

参考答案

1． 或

　　【解析】根据题意得AD=1，AB=3，AC= = ，

　　 ∵∠A=∠A，∴若△ADE∽△ABC时， ，即 ，解得AE= _.

若△ADE∽△ACB时， ，即 ，解得AE= .

∴当AE= 或 时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．

2．解：（1）△ADE∽△ACB，△CEF∽△DBF，△EFB∽△CFD (不唯一).

　　　 （2）由∠BDE+∠BCE=180°，可得∠ADE=∠BCE. ∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB;

∴ = .∵ ∠A=∠A，[来源:Zxxk.Com]

∴△AEB∽△ADC;∵∠BDE+∠BCE=180°，∠BCE+∠ECF=180°，

∴∠ECF=∠BDF，

又∠F=∠F，

∴△CEF∽△DBF;∴ = ，而∠F=∠F，∴△EFB∽△CFD.

3．解：∵ OA:OC＝OB:OD＝n 且∠AOB＝∠COD,∴△AOB∽△COD.

∵ OA:OC＝AB:CD＝n ,

又∵CD＝b,

∴AB=CD·n ＝nb，

∴x＝＝.

4．C【解析】设裁成的矩形纸条的总数为n，且每条纸条的长度都不小于5cm， ．设矩形纸条的长边分别与AC、AB交于点M、N，因为

△AMN∽△ACB，所以 ．又因为AM=AC-1·n=30-n，MN≥5 cm，所以 ，得n≤26.25，所以n最多取整数26．

5．解：（1）在题图①中过点C作CN⊥AB于点N，交GF于点M．

因为∠C=90°，AC=4，BC=3，所以AB=5． 因为 ×5CN= ×3×4，所以CN= ．

因为GF∥AB，所以∠CGF=∠A，∠CFG=∠B，所以△CGF∽△CAB，所以 ．

设 正方形的边长为x，则 ，解得 ．所以正方形的边长为 ．

（2）同（1），有 ，解得 ．

（3）同（1），有 ，解得 ．

（4）同（1），有 ，解得 ．

6．解：(1)答案不唯一，如“圆心角相等” “半径和弧长对应 成比例”

(2)由相似扇形的性质知半径和弧长对应成比例，设另一个扇形的弧长为x，则 = ,∴x=2m.

(3)∵两个扇形相似，∴新做扇形的圆心角与原来扇形的圆心角相等，等于120°.

设新做扇形的半径为 ，则 = ， =15 ，即新做扇形的半径为15 ㎝.

7．证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，∵N为BC的中点，∴ .
在Rt△DNC中，

∵NE=ND，∴ .

∴ ，故矩形DCEF为黄金矩形.

8．解：（1）证明：∵将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，∴∠B=∠D.
∵将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方

左右旋转，∴BF=DF.

∵∠HFG=∠B，∴∠GFD=∠BHF，∴△BFH∽△DGF，∴ ，

∴BH•GD=BF².
（2）证明：∵AG∥CE，∴∠FAG∥∠C.∵∠CFE=∠CEF，∴∠AGF=∠CFE，∴AF=AG.
∵∠BAD=∠C，∴∠BAF=∠DAG，△ABF≌△ADG，∴FB=DG，∴FD+DG=DB，
9．2

10．解：（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴AE⊥BC. ∵OD∥BC，∴AE⊥OD，∴D是_{ ⌒}的中点.

（2）方法一：证明：如图，延长OD交AB于G，则OG∥BC .

∴∠AGD=∠B.

∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO. ∵∠ADO=∠BAD+∠AGD ，∴∠DAO=∠B +∠BAD.

方法二：证明：如图，延长AD交BC于H ，则∠ADO=∠AHC.

∵∠AHC=∠B +∠BAD，∴∠ADO =∠B +∠BAD. ∵OA=OD，∴∠DAO=∠B +∠BAD.

（3） ∵AO=OC，∴ .∵ ，∴ .

∵∠ACD=∠FCE，∠ADC=∠FEC=90°，∴△ACD∽△FCE.

∴ ，即 ，∴CF=2.

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