【331936】解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法

解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法

——形成思维定式，快速解题

类型一　含一个拐点的平行线问题【方法22】

1．如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD的度数为(　　)

A．120° B．130°

C．140° D．150°

第1题图 　第2题图

2．如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是(　　)

A．75° B．55°

C．40° D．35°

3．如图，直线a∥b，∠1＝110°，∠2＝55°，则∠3的度数为________．

　　 　第3题图

4．课堂上李老师给出下面问题：

已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1＝30°时，求∠EFG的度数．甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题．

甲同学辅助线的作法和分析思路如下：

辅助线：如图甲，过点F作MN∥CD.

分析思路：

①欲求∠EFG的度数，由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数；

②由辅助线作图可知∠2＝∠1，又由已知∠1的度数可得∠2的度数；

③由AB∥CD，MN∥CD推出AB∥MN，由此可推出∠3＝∠4；

④由已知EF⊥AB可得∠4＝90°，所以可得∠3的度数；

⑤从而可求∠EFG的度数.

(1)请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的作法，并写出相应的分析思路；

(2)请你根据丙同学所画的图形，求∠EFG的度数．

类型二　含多个拐点的平行线问题【方法22】

5．如图，直线l₁∥l₂，∠3＝125°，∠4＝85°，则∠1＋∠2的度数为(　　)

A．30° B．35° C．36° D．40°

第5题图　　　　 第6题图

6．如图，直线l₁∥l₂，α＝β，∠1＝40°，则∠2＝________．

7．如图，已知a∥b，ABCDE是夹在直线a，b之间的一条折线，试研究∠1，∠2，∠3，∠4，∠5的大小之间有怎样的等量关系，请说明理由．

参考答案与解析

1．C　解析：如图，过点C向左作CG∥AB.因为AB∥CG，所以∠ACG＝∠CAB＝50°.因为AB∥EF，所以CG∥EF.因为CD⊥EF，所以∠CDF＝90°，所以∠GCD＝∠CDF＝90°.所以∠ACD＝∠ACG＋∠GCD＝140°.

2．C　解析：如图，过点A向右作AB∥a.因为∠2＝35°，所以∠4＝∠2＝35°.因为a∥b，所以AB∥b，所以∠1＝∠3＋∠4＝75°，所以∠3＝75°－35°＝40°.

3．55°　解析：如图，过点A向右作AB∥b，所以∠1＋∠4＝180°.因为∠1＝110°，所以∠4＝70°.因为a∥b，所以AB∥a，所以∠5＋∠3＋∠4＝180°.因为∠2＝∠5，所以∠2＋∠3＋∠4＝180°.因为∠2＝55°，所以∠3＝55°.

4．解：(1)辅助线：如图乙，过点P作PN∥EF交AB于点N.

分析思路：①欲求∠EFG的度数，由辅助线作图可知∠EFG＝∠NPG，因此，只需转化为求∠NPG的度数；②欲求∠NPG的度数，由图可知只需转化为求∠1和∠2的度数；③已知∠1的度数，所以只需求出∠2的度数；④由已知EF⊥AB，可得∠4＝90°；⑤由PN∥EF可推出∠3＝∠4，再由AB∥CD可推出∠2＝∠3，由此可推∠2＝∠4，所以可得∠2的度数；⑥从而可以求出∠EFG的度数．

(2)如图丙，过点O作ON∥FG，交CD于点N.因为ON∥FG，∠1＝30°，所以∠4＝∠1＝30°.因为AB∥CD，所以∠2＝∠4＝30°.又因为EF⊥AB，所以∠3＝90°，所以∠EON＝∠3＋∠2＝90°＋30°＝120°.因为ON∥FG，所以∠EFG＝∠EON＝120°.

5．A

6．140°　解析：如图，延长AE交l₂于点B.因为l₁∥l₂，所以∠3＝∠1＝40°.因为α＝β，所以AB∥CD，所以∠2＋∠3＝180°，所以∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°.

7. 解：∠2＋∠4＝∠1＋∠3＋∠5.理由如下：如图，作BF∥a，CG∥a，DH∥a.因为a∥b，所以a∥BF∥CG∥DH∥b，所以∠1＝∠ABF，∠FBC＝∠BCG，∠GCD＝∠CDH，∠HDE＝∠5，所以∠2＋∠4＝∠1＋∠3＋∠5.