【331832】第二十一章 一元二次方程周周测5（21.2.4）

第二十一章 一元二次方程周周测5

一元二次方程的根与系数的关系

　一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）

1．已知一元二次方程：x²﹣3x﹣1=0的两个根分别是x₁、x₂，则x₁²x₂+x₁x₂²的值为（　　）

A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6

2．已知α、β是方程2x²﹣3x﹣1=0的两个实数根，则（α﹣2）（β﹣2）的值是（　　）

A． B． C．3 D．

3．设a、b是方程x²+x﹣2014=0的两个实数根，则a²+2a+b的值为（　　）

A．2014 B．2013 C．2012 D．2011

4．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（　　）

A．x²﹣3x+6=0 B．x²﹣3x﹣6=0 C．x²⁺3x﹣6=0 D．x²+3x+6=0

5．关于方程式49x²﹣98x﹣1=0的解，下列叙述何者正确（　　）

A．无解 B．有两正根

C．有两负根 D．有一正根及一负根

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

6．设x₁，x₂是方程4x²+3x﹣2=0的两根，则x₁+x₂=______，x₁x₂=______．

7．若关于x的方程2x²﹣mx+n=0的两根为﹣3和4，则m=______，n=______．

8．已知x₁、x₂是方程2x²+14x﹣16=0的两实数根，那么 的值为______．

9．设x₁，x₂是一元二次方程x²+5x﹣3=0的两根，且2x₁（x₂²+6x₂﹣3）+a=4，则a=______．

10．设α，β是一元二次方程x²+3x﹣7=0的两个根，则α²+4α+β=______．

11．若关于x的方程x²﹣5x+k=0的一个根是0，则另一个根是______，k=______．

12．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S_△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程______．

13．若方程x²﹣kx+6=0的两根分别比方程x²+kx+6=0的两根大5，则k的值是______．

三．解答题：

14．不解方程，写出方程的两根之和与两根之积：

（1）3x²+2x﹣3=0

（2）x²+x=6x+7．

15．已知实数a，b分别满足a²﹣6a+4=0，b²﹣6b+4=0，且a≠b，求 + 的值．

16．已知关于x的一元二次方程x²=2（1﹣m）x﹣m²的两实数根为x₁，x₂

（1）求m的取值范围；

（2）设y=x₁+x₂，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

17．已知一元二次方程x²﹣2x+m=0．

（1）若方程有两个实数根，求m的范围；

（2）若方程的两个实数根为x₁，x₂，且x₁+3x₂=3，求m的值．

18．关于x的一元二次方程x²﹣（m﹣3）x﹣m²=0．

（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；

（2）设这个方程的两个实数根为x₁，x₂，且|x₁|=|x₂|﹣2，求m的值及方程的根．

参考答案与试题解析

　一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）

1．已知一元二次方程：x²﹣3x﹣1=0的两个根分别是x₁、x₂，则x₁²x₂+x₁x₂²的值为（　　）

A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6

【解答】解：∵一元二次方程：x²﹣3x﹣1=0的两个根分别是x₁、x₂，

∴x₁+x₂=3，x₁•x₂=﹣1，

∴x₁²x₂+x₁x₂²=x₁x₂•（x₁+x₂）=﹣1×3=﹣3．

故选A．

2．已知α、β是方程2x²﹣3x﹣1=0的两个实数根，则（α﹣2）（β﹣2）的值是（　　）

A． B． C．3 D．

【解答】解：因为α、β是方程2x²﹣3x﹣1=0的两个实数根，

所以α+β= ，αβ=﹣ ，

又因为（α﹣2）（β﹣2）

=αβ﹣2（α+β）+4

=﹣ ﹣2× +4

= ．

故选A

3．设a、b是方程x²+x﹣2014=0的两个实数根，则a²+2a+b的值为（　　）

A．2014 B．2013 C．2012 D．2011

【解答】解：∵a是方程x²+x﹣2014=0的实数根，

∴a²+a﹣2014=0，

∴a²+a=2014，

∴原式=2014+a+b，

∵a、b是方程x²+x﹣2014=0的两个实数根，

∴a+b=﹣1，

∴原式=2014﹣1=2013．

故选B．

4．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（　　）

A．x²﹣3x+6=0 B．x²﹣3x﹣6=0 C．x²⁺3x﹣6=0 D．x²+3x+6=0

【解答】解：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，

故设这个一元二次方程的两根是α、β，可得：α•β=﹣6，α+β=﹣3，

那么以α、β为两根的一元二次方程就是x²﹣3x﹣6=0，

故选：B．

5．关于方程式49x²﹣98x﹣1=0的解，下列叙述何者正确（　　）

A．无解 B．有两正根

C．有两负根 D．有一正根及一负根

【解答】解：由判别式△＞0，知方程有两个不相等的实数根，

又由根与系数的关系，知x₁+x₂=﹣ =2＞0，x₁•x₂= =﹣ ＜0，

所以有一正根及一负根．

故选D．

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

6．设x₁，x₂是方程4x²+3x﹣2=0的两根，则x₁+x₂=　 　，x₁x₂=　﹣ 　．

【解答】解：x₁，x₂是方程4x²+3x﹣2=0的两根，则x₁+x₂= ，x₁x₂=﹣ ．

故答案为： ，﹣ ．

7．若关于x的方程2x²﹣mx+n=0的两根为﹣3和4，则m=　2　，n=　﹣24　．

【解答】解：由根与系数的关系得，﹣3+4= ，（﹣3）×4=

解得：m=2，n=﹣24，

故答案为：2，﹣24．

8．已知x₁、x₂是方程2x²+14x﹣16=0的两实数根，那么 的值为　﹣ 　．

【解答】解：∵x₁、x₂是方程2x²+14x﹣16=0的两实数根，

∴根据韦达定理知，x₁+x₂=﹣7，x₁•x₂=﹣8，

∴ = =﹣ ．

故答案是：﹣ ．

9．设x₁，x₂是一元二次方程x²+5x﹣3=0的两根，且2x₁（x₂²+6x₂﹣3）+a=4，则a=　10　．

【解答】解：∵x₂是一元二次方程x²+5x﹣3=0的根，

∴x₂²+5x₂﹣3=0，

∴x₂²+5x₂=3，

∵2x₁（x₂²+6x₂﹣3）+a=4，

∴2x₁•x₂+a=4，

∵x₁，x₂是一元二次方程x²+5x﹣3=0的两根，

∴x₁x₂=﹣3，

∴2×（﹣3）+a=4，

∴a=10．

10．设α，β是一元二次方程x²+3x﹣7=0的两个根，则α²+4α+β=　4　．

【解答】解：∵α，β是一元二次方程x²+3x﹣7=0的两个根，

∴α+β=﹣3，α²+3α﹣7=0，

∴α²+3α=7，

∴α²+4α+β=α²+3α+α+β=7﹣3=4，

故答案为：4．

11．若关于x的方程x²﹣5x+k=0的一个根是0，则另一个根是　5　，k=　0　．

【解答】解：设方程的另一个根为t，

根据题意得0+t=5，0•t=k，

所以t=5，k=0．

故答案为5，0．

12．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S_△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程　x²﹣5x+6=0（答案不唯一）　．

【解答】解：∵一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S_△ABC=3，

∴一元二次方程的两个根的乘积为：3×2=6，

∴此方程可以为：x²﹣5x+6=0，

故答案为：x²﹣5x+6=0（答案不唯一）．

13．若方程x²﹣kx+6=0的两根分别比方程x²+kx+6=0的两根大5，则k的值是　5　．

【解答】解：设方程x²+kx+6=0的两根分别为a、b，则方程x²﹣kx+6=0的两根分别为a+5，b+5，

根据题意得a+b=﹣k，a+5+b+5=k，

所以10﹣k=k，

解得k=5．

故答案为：5．

三．解答题：

14．不解方程，写出方程的两根之和与两根之积：

（1）3x²+2x﹣3=0

（2）x²+x=6x+7．

【解答】解：（1）设x₁，x₂是一元二次方程的两根，

所以x₁+x₂=﹣ ，x₁x₂=﹣1；

（2）方程化为一般式为x²﹣5x﹣7=0，

设x₁，x₂是一元二次方程的两根，

所以x₁+x₂=5，x₁x₂=﹣7．

15．已知实数a，b分别满足a²﹣6a+4=0，b²﹣6b+4=0，且a≠b，求 + 的值．

【解答】解：∵a²﹣6a+4=0，b²﹣6b+4=0，且a≠b，

∴a，b可看作方程x²﹣6x+4=0的两根，

∴a+b=6，ab=4，

∴原式= = = =7．

16．已知关于x的一元二次方程x²=2（1﹣m）x﹣m²的两实数根为x₁，x₂

（1）求m的取值范围；

（2）设y=x₁+x₂，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

【解答】解：（1）将原方程整理为x²+2（m﹣1）x+m²=0；

∵原方程有两个实数根，

∴△=[2（m﹣1）]²﹣4m²=﹣8m+4≥0，得m≤ ；

（2）∵x₁，x₂为一元二次方程x²=2（1﹣m）x﹣m²，即x²+2（m﹣1）x+m²=0的两根，

∴y=x₁+x₂=﹣2m+2，且m≤ ；

因而y随m的增大而减小，故当m= 时，取得最小值1．

　17．已知一元二次方程x²﹣2x+m=0．

（1）若方程有两个实数根，求m的范围；

（2）若方程的两个实数根为x₁，x₂，且x₁+3x₂=3，求m的值．

【解答】解：（1）∵方程x²﹣2x+m=0有两个实数根，

∴△=（﹣2）²﹣4m≥0，

解得m≤1；

（2）由两根关系可知，x₁+x₂=2，x₁•x₂=m，

解方程组 ，

解得 ，

∴m=x₁•x₂= ．

18．关于x的一元二次方程x²﹣（m﹣3）x﹣m²=0．

（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；

（2）设这个方程的两个实数根为x₁，x₂，且|x₁|=|x₂|﹣2，求m的值及方程的根．

【解答】解：（1）一元二次方程x²﹣（m﹣3）x﹣m²=0，

∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m²，

∴△=b²﹣4ac=（3﹣m）²﹣4×1×（﹣m²）=5m²﹣6m+9=5（m﹣ ）²+ ，

∴△＞0，

则方程有两个不相等的实数根；

（2）∵x₁•x₂= =﹣m²≤0，x₁+x₂=m﹣3，

∴x₁，x₂异号，

又|x₁|=|x₂|﹣2，即|x₁|﹣|x₂|=﹣2，

若x₁＞0，x₂＜0，上式化简得：x₁+x₂=﹣2，

∴m﹣3=﹣2，即m=1，

方程化为x²+2x﹣1=0，

解得：x₁=﹣1+ ，x₂=﹣1﹣ ，

若x₁＜0，x₂＞0，上式化简得：﹣（x₁+x₂）=﹣2，

∴x₁+x₂=m﹣3=2，即m=5，

方程化为x²﹣2x﹣25=0，

解得：x₁=1﹣ ，x₂=1+ ．