【331476】2019年浙江省台州市临海市中考数学一模试卷（解析版）

2019年浙江省台州市临海市中考数学一模试卷

一、选择题（本题共有10小题，每小题4分，共40分.请选出一个符合题意的正确选项，不选，多选，错选均不得分）

1．比﹣2大1的数是（　　）

A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1

2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3．为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳成绩，下列统计中能用来比较两人成绩稳定程度的是（　　）

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

4．估计 ﹣1的值在（　　）

A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间

5．正八边形的每一个内角的度数为（　　）

A．120° B．60° C．135° D．45°

6．将一块三角板如图放置，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，点B，C分别在PQ，MN上，若PQ∥MN，∠ACM＝42°，则∠ABP的度数为（　　）

A．45° B．42° C．21° D．12°

7．计算 的结果为（　　）

A．a﹣1 B．a+1 C．a D．a²﹣1

8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝l，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则AD的长为（　　）

A．l.5 B． C．2 D．

9．如图，△PAB与△PCD均为等腰直角三角形，点C在PB上，若△ABC与△BCD的面积之和为10，则△PAB与△PCD的面积之差为（　　）

A．5 B．10 C．l5 D．20

10．已知函数y＝2x与y＝x²﹣c（c为常数，﹣1≤x≤2）的图象有且仅有一个公共点，则常数c的值为（　　）

A．0＜c≤3或c＝﹣1 B．﹣l≤c＜0或c＝3

C．﹣1≤c≤3 D．﹣1＜c≤3且c≠0

二、填空题（本题共有6小题，毎小题5分，共30分）

11．因式分解：a²﹣2a＝　 　．

12．已知点A与B关于x轴对称，若点A坐标为（﹣3，1），则点B的坐标为　 　．

13．如图，在一张直径为20cm的半圆形纸片上，剪去一个最大的等腰直角三角形，剩余部分恰好组成一片树叶图案，则这片树叶的面积是　 　cm²．

14．如图是小明在科学实验课中设计的电路图，任意闭合其中两个开关，能使灯泡L发光的概率是　 　．

15．如图，九宫格中横向、纵向、对角线上的三个数之和均相等，请用含x的代数式表示y，y＝　 　．

16．如图，矩形ABCD周长为30，经过矩形对称中心O的直线分别交AD，BC于点E，F．将矩形沿直线EF翻折，A′B′分别交AD，CD于点M，N，B'F交CD于点G．若MN：EM＝1：2，则△DMN的周长为　 　．

三、解答题（本题共有8小题，第17-20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）

17．计算：|﹣2|﹣ +2sin30°．

18．解不等式组：

19．如图，函数y＝x的图象与函数y＝ （x＞0）的图象相交于点P（2，m）．

（1）求m，k的值；

（2）直线y＝4与函数y＝x的图象相交于点A，与函数y＝ （x＞0）的图象相交于点B，求线段AB长．

20．如图，升降平台由三个边长为1.2米的菱形和两个腰长为1.2米的等腰三角形组成，其中平台AM与底座A₀N平行，长度均为2.4米，B，B₀分别在AM和A₀N上滑动，且始终保持点B₀，C₁，A₁成一直线．

（1）这种升降平台的设计原理是利用了四边形的　 　性；

（2）为了安全，该平台在作业时∠B不得超过40°，求平台高度（AA₀）的最大值．

（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，结果保留小数点后一位）．

21．为了解学生身高，某校随机抽取了25位同学的身高，按照身高分为：A，B，C，D，E五个小组，并绘制了如下的统计图，其中每组数据均包含最小值，不包含最大值．

请结合统计图，解决下列问题：

（1）这组数据的中位数落在　 　组；

（2）根据各小组的组中值，估计该校同学的平均身高；

（3）小明认为在题（2）的计算中，将D，E两组的组中值分别用1.70m和1.90m进行替换，并不影响计算结果．他的想法正确吗？清说明理由．

22．如图，点A，B，C在⊙O上，AB∥OC．

（1）求证：∠ACB+∠BOC＝90°；

（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长度．

23．如图1，皮皮小朋友燃放一种手持烟花，这种烟花每隔l.4秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径，爆炸时的高度均相同．皮皮小朋友发射出的第一发花弹的飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律如下表．

t/秒	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	…
h/米	1.8	7.3	11.8	15.3	17.8	19.3	19.8	19.3	17.8	…

（1）根据这些数据在图2的坐标系中画出相应的点，选择适当的函数表示h与t之间的关系，并求出相应的函数解析式；

（2）当t＝t₁时，第一发花弹飞行到最高点，此时高度为h₁．在t≠t₁的情况下，随着t的増大， 的变化趋势是　 　；

（3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于l5米．皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第三发花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求？

24．定义：如图1，点M，N在线段AB上，若以线段AM，MN，NB为边恰好能组成一个直角三角形，则称点M，N为线段AB的勾股分割点．

（1）如图1，M，N为线段AB的勾股分割点，且AM＝4，MN＝3，则NB＝　 　；

（2）如图2，在▱ABCD中，CD＝21，E为BC中点，F为CD边上一动点，AE，AF分别交BD于点M，N，当点M，N为线段BD的勾股分割点时，求FD的长；

（3）如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，延长BA到点M，延长AB到点N，使点A，B恰好是线段MN的勾股分割点（AB＞AM≥BN），过点M，N分别作AC，BC的平行线交于点P．

①PC的长度是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；

②直接写出△PMN面积的最大值．

2019年浙江省台州市临海市中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共有10小题，每小题4分，共40分.请选出一个符合题意的正确选项，不选，多选，错选均不得分）

1．【分析】根据有理数的加法计算解答即可．

【解答】解：﹣2+1＝﹣1，

故选：B．

【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

2．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．

故选：A．

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

3．【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差．

【解答】解：由于方差反映数据的波动情况，应知道数据的方差．

故选：D．

【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．

4．【分析】利用”夹逼法“得出 的范围，继而也可得出 ﹣1的范围．

【解答】解：∵2＝ ＜ ＝3，

∴1＜ ﹣1＜2，

故选：A．

【点评】此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用．

5．【分析】根据多边形边形内角和定理：（n﹣2）180°（n≥3且n为正整数）求出内角正八边形的内角和，然后求出每一个内角的度数．

【解答】解：∵内角正八边形的内角和：（8﹣2）•180°＝1080°，

∴每一个内角的度数1080°÷8＝135°，

故选：C．

【点评】本题考查了多边形内角和，熟记多边形边形内角和定理是解题的关键．

6．【分析】直接利用平行线的性质得出∠ACM＝∠QPC＝42°，进而得出∠ABP的度数．

【解答】解：∵PQ∥MN，

∴∠ACM＝∠QPC＝42°，

∵∠PCQ＝90°，

∴∠PQC＝48°，

∴∠ABP＝60°﹣48°＝12°．

故选：D．

【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确应用平行线的性质是解题关键．

7．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．

【解答】解：原式＝ ＝a+1，

故选：B．

【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

8．【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分AB，则利用线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，所以∠DAB＝∠B＝15°，再利用三角形外角性质得∠ADC＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AD的长．

【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，则DA＝DB，

∴∠DAB＝∠B＝15°，

∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝30°，

在Rt△ACD中，AD＝2AC＝2．

故选：C．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．

9．【分析】S_△ABC+S_△BCD＝ BC•PA+ BC•PD＝ BC•（PA+PD）＝10，要求△PAB与△PCD的面积之差，即 PA²﹣ PB²＝ （PA+PD）（PA﹣PD）＝ （PB﹣PC）（PA+PD）＝ BC（PA+PD），即可求

【解答】解：依题意

∵△PAB与△PCD均为等腰直角三角形

∴PB＝PB，PC＝PD

∴S_△PAB﹣S_△PCD＝ PD²﹣ PA²

＝ （PA+PD）（PA﹣PD）

＝ （PB﹣PC）（PA+PD）

＝ BC（PA+PD），

又∵S_△ABC+S_△BCD＝ BC•PA+ BC•PD＝ BC•（PA+PD）＝10

∴S_△PAB﹣S_△PCD＝10

故选：B．

【点评】此题主要考查等腰直角三角形的面积计算，平方差公式．

10．【分析】利用直线y＝2x与y＝x²﹣c（c为常数，﹣1≤x≤2）的图象有且仅有一个公共点，由根的判别式求出c的值，即可求得直线的解析式．

【解答】解：把y＝2x代入y＝x²﹣c，

整理得x²﹣2x﹣c＝0，

根据题意△＝（﹣2）²+4c＝0，解得c＝﹣1，

把x＝﹣1代入y＝2xy＝x²﹣c得，c＝3，

把x＝2代入y＝2x与y＝x²﹣c得，c＝0，

∴当0＜c≤3或c＝﹣1时，函数y＝2x与y＝x²﹣c（c为常数，﹣1≤x≤2）的图象有且仅有一个公共点，

故选：A．

【点评】本题主要考查了一次函数和二次函数图象上点坐标特征．

二、填空题（本题共有6小题，毎小题5分，共30分）

11．【分析】先确定公因式是a，然后提取公因式即可．

【解答】解：a²﹣2a＝a（a﹣2）．

故答案为：a（a﹣2）．

【点评】本题考查因式分解，较为简单，找准公因式即可．

12．【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案．

【解答】解：点A与点B关于x轴对称，点A的坐标为（﹣3，1），则点B的坐标是（﹣3，﹣1）．

故答案为：（﹣3，﹣1）．

【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键．

13．【分析】根据圆的性质得到当点C为半圆的中点时，△ABC为等腰直角三角形，且面积最大，根据等腰直角三角形的面积公式、圆的面积公式计算即可．

【解答】解：当点C为半圆的中点时，△ABC为等腰直角三角形，且面积最大，

∵AB＝20，

∴AC＝BC＝10 ，

∴这片树叶的面积＝ π×10²﹣ ×10 ×10 ＝50π﹣100，

故答案为：（50π﹣100）．

【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S＝ 是解题的关键．

14．【分析】从上到下三个开关分别记为A、B、C，画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．

【解答】解：从上到下三个开关分别记为A、B、C，

画树状图为：

共有6中等可能的结果数，其中使灯泡发光有AB、AC、BA、CA，

∴能使灯泡L发光的概率是 ＝ ，

故答案为： ．

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

15．【分析】根据“九宫格中横向、纵向、对角线上的三个数之和均相等”，结合图中已知的数，列出关于x和y的等式，整理后即可得到答案．

【解答】解：根据题意得：

第一行第三列，第二行第二列，第三行第一列的三个数之和为：x+y+7，

第一行第一列的数为：x+y+7﹣x﹣4＝y+3，

第一行第二列的数为：x+y+7﹣（y+3）﹣7＝x﹣3，

第三行第二列的数为：x+y+7﹣（x﹣3）﹣x＝10﹣x+y，

第三行的三个数之和为：y+（10﹣x+y）+4＝x+y+7，

整理得：y＝2x﹣7，

故答案为：2x﹣7．

【点评】本题考查了列代数式，正确掌握观察图形和列代数式是解题的关键．

16．【分析】根据中心对称的性质得到AE＝CF，ED＝BF，根据折叠的性质得到A′E＝AE，B′F＝BF，得到CF＝A′E，根据全等三角形的性质得到EM＝FG，MN＝NG，求得CF+CD+DE＝15，根据相似三角形的性质得到 ＝ ＝ ＝2，设MN＝x，DM+DN＝y，则ME＝2x，A′E+A′D＝2y，于是得到结论．

【解答】解：∵EF 过矩形对称中心O，

∴AE＝CF，ED＝BF，

∵将矩形沿直线EF翻折，

∴A′E＝AE，B′F＝BF，

∴CF＝A′E，

∵∠A′＝∠B′＝∠D＝∠C＝90°，

∵∠A′ME＝∠DMN，∠DNM＝∠B′NG，∠B′GN＝∠CGF，

∴∠A′EM＝∠CFG，

∴△A′ME≌△CGF（ASA），

∴EM＝FG，

同理△DMN≌△B′NG，

∴MN＝NG，

∵矩形ABCD周长为30，

∴CF+CD+DE＝15，

∵∠A′＝∠D＝90°，∠A′ME＝∠DMN，

∴△A′EM∽△DNM，

∴ ＝ ＝ ＝2，

设MN＝x，DM+DN＝y，则ME＝2x，A′E+A′D＝2y，

∴CF＝CG＝2y，NG＝MN＝x，

∴2y+x+y+2x＝15，

∴x+y＝5，

∴△DMN的周长为5，

故答案为：5．

【点评】本题考查了中心对称，矩形的性质．折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．

三、解答题（本题共有8小题，第17-20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）

17．【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和二次根式的性质分别化简得出答案．

【解答】解：原式＝2﹣2+1

＝1．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

18．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．

【解答】解： ，

解不等式①，得x＜7，

解不等式②，得x＞3，

所以原不等式组的解集为3＜x＜7．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．

19．【分析】（1）将点P（2，m）代入y＝x，求出m＝2，再将点P（2，2）代入y＝ ，即可求出k的值；

（2）分别求出A、B两点的坐标，即可得到线段AB的长．

【解答】解：（1）∵函数y＝x的图象过点P（2，m），

∴m＝2，

∴P（2，2），

∵函数y＝ （x＞0）的图象过点P，

∴k＝2×2＝4；

（2）将y＝4代入y＝x，得x＝4，

∴点A（4，4）．

将y＝4代入y＝ ，得x＝1，

∴点B（1，4）．

∴AB＝4﹣1＝3．

【点评】本题考查了利用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，解题时注意：点在图象上，点的坐标就一定满足函数的解析式．

20．【分析】（1）根据四边形的不稳定性即可解决问题．

（2）解直角三角形，由题意可得AA₀≤1.2×sin20°×8，由此即可解决问题．

【解答】解：（1）考查了四边形的不稳定性．

故答案为：不稳定．

（2）由题意AA₀≤1.2×sin20°×8＝3.264≈3.3（米），

∴平台高度（AA₀）的最大值为3.3米．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

21．【分析】（1）中位数是数据按照从小到大的顺序排列，位于数据中间位置的数；

（2）根据求平均数公式即可得到结论；

（3）根据组中值的定义解答即可．

【解答】解：（1）从直方图可得出这组数据的中位数位于D组；

故答案为：D；

（2）（1.45×2+1.55×3+1.65×7+1.75×9+1.85×4）÷25＝1.69（米）；

答：该校同学的平均身高为1.69米；

（3）不正确，理由：组中值是这一小组的最小值和最大值的平均数，

如果将D，E两组的组中值分别用1.70m和1.90m进行替换，

平均数就会增加了，

故不正确．

【点评】本题考查了频数分布直方图的知识，解题的关键是牢记公式：频率＝频数÷总人数．

22．【分析】（1）根据圆周角定理求出∠AOB＝2∠ACB，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠ABO＝∠BAO，∠ABO＝∠BOC，∠BAO+∠AOC＝180°，即可得出答案；

（2）求出△BOC≌△DOC，根据全等三角形的性质得出BC＝CD，根据勾股定理求出CD即可．

【解答】（1）证明：∵ 对的圆周角是∠ACB，对的圆心角是∠AOB，

∴∠AOB＝2∠ACB，

∵OB＝OA，

∴∠ABO＝∠BAO，

∵AB∥OC，

∴∠ABO＝∠BOC，∠BAO+∠AOC＝180°，

∴∠BAO+∠AOB+∠BOC＝180°，

即2∠ACB+2∠BOC＝180°，

∴∠ACB+∠BOC＝90°；

（2）延长AO交⊙O于D，连接CD，

则∠ACD＝90°，

由勾股定理得：CD＝ ＝ ＝6，

∵OC∥AB，

∴∠BOC＝∠ABO，∠COD＝∠BAO，

∵∠BAO＝∠ABO，

∴∠BOC＝∠COD，

在△BOC和△DOC中

∴△BOC≌△DOC（SAS），

∴BC＝CD，

∵CD＝6，

∴BC＝6．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．

23．【分析】（1）描点可得图象，猜测为抛物线，可设顶点式解析式，代入（0，1.8）可求解；

（2）分别计算当t≤3时， 的值和当t＞3时， 的值，从而可以判断；

（3）这种烟花每隔l.4秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径，爆炸时的高度均相同，得第三发花弹的函数解析式，令第一发和第三发花弹的解析式相等，从而求出二者高度相等的时间，再代入函数解析式即可解得时间，从而得高度，进一步就可得结论．

【解答】解：（1）描点如下图所示，其图象近似为抛物线，故可设其解析式为：h＝a（t﹣3）²+19.8，

把点（0，1.8）代入得：1.8＝a（0﹣3）²+19.8，

∴a＝﹣2，

∴h＝﹣2（t﹣3）²+19.8，

故相应的函数解析式为：h＝﹣2（t﹣3）²+19.8，

（2）当t＝t₁时，第一发花弹飞行到最高点，此时高度为h₁，由（1）可知t₁＝3，h₁＝19.8，

∴当t＝1.5，h＝15.3时， ＝3；

当t＝2，h＝17.8时， ＝2；

当t＝2.5，h＝19.3时， ＝1，从而可以看出当t≤3时， 的值由大变小；

当t＝3.5，h＝19.3时， ＝1；

当t＝4，h＝17.8时， ＝2；从而可以看出当t＞3时， 的值由小变大；

故答案为：由大到小，再由小到大．

（3）∵这种烟花每隔l.4秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径，爆炸时的高度均相同，

皮皮小朋友发射出的第一发花弹的函数解析式为：h＝﹣2（t﹣3）²+19.8，

∴第三发花弹的函数解析式为：h′＝﹣2（t﹣5.8）²+19.8，

皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第三发花弹与它处于同一高度，则令h＝h′得

﹣2（t﹣3）²+19.8＝﹣2（t﹣5.8）²+19.8

∴t＝4.4秒，此时h＝h′＝15.98米＞15米，

答：花弹的爆炸高度是否符合安全要求．

【点评】本题是二次函数的应用题，需要先根据表格中数据描点，得出函数图象，再求出其解析式，分析变化趋势，可以代值验算，第三问需要从实际问题分析转变成数学模型，从而得解．

24．【分析】（1）①当AM为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可．

（2）如图2，设BM＝x，证明△AMD∽△EMB，得DM＝2x，设DN＝a，则MN＝2x﹣a，点M，N为线段BD的勾股分割点时，存在三种情况：根据勾股分割点的定义列方程可得结论；

（3）①如图，连接PA、PB，将△MPA绕点P逆时针旋转90°得△PNF，将△PAC绕点P逆时针旋转90°得△PFE．只要证明四边形EFBC是平行四边形以及AB＝BF就可以了；

②作辅助线，根据三角形面积公式可得结论．

【解答】解：（1）①当AM为最大线段时，

∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，

∴BN＝ ＝ ＝ ；

②当BN为最大线段时，

∵点M、N是线段AB的勾股分割点，

∴BN＝ ＝ ＝5，

综上所述：BN＝ 或 5；

故答案为： 或 5；

（2）如图2，设BM＝x，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∵E为BC的中点，

∴BE＝CE＝ AD，

∵AD∥BE，

∴△AMD∽△EMB，

∴ ，

∴DM＝2x，

设DN＝a，则MN＝2x﹣a，

∵点M，N为线段BD的勾股分割点时，存在三种情况：

①当BM为斜边时，得：BM²＝MN²+DN²，

x²＝（2x﹣a）²+a²，

3x²﹣4ax+2a²＝0，

△＝16a²﹣24a²＝﹣8a²＜0，

此方程无实数解；

②当MN为斜边时，得：MN²＝BM²+DN²，

（2x﹣a）²＝x²+a²，

x＝0（舍）或 a，

∴BN＝x+2x﹣a＝3x﹣a＝3× a﹣a＝3a，

∵AB∥DF，

∴ ，

∴ ，DF＝7；

③当DN为斜边时，得：DN²＝BM²+MN²，

x²＝（2x﹣a）²+a²，

x＝0（舍）或 a，

∴BN＝3x﹣a＝ ﹣a＝ a，

∵AB∥DF，

∴ ，

∴ ，DF＝15，

综上，DF的长为7或15；

（3）①PC的长度是定值2，理由是：

如图中，连接PA、PN，将△MPA绕点P逆时针旋转90°得△PNF，将△PAC绕点P逆时针旋转90°得△PFE．则∠1＝∠3，∠2＝∠4，

∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝2，

∴AB＝2 ，∠CAB＝∠CBA＝45°，

∵AC∥PM，BC∥PN，

∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，

∴EF∥BN，

∴EF∥BN∥BC，

∵AC＝BC＝EF，

∴四边形EFBC是平行四边形，

∴EC＝BF，

∵∠ANM＝∠PNF＝45°，

∴∠BNF＝90°，

∴BF²＝BN²+FN²，

∵点A，B恰好是线段MN的勾股分割点（AB＞AM≥BN），

∴AB²＝AM²+BN²，

∴BF＝AB＝CE＝2 ，

由旋转得：PC＝PE，∠CPE＝90°，

∴△CPE是等腰直角三角形，

∴CP＝ ＝2；

②如图3，过C作CV⊥AB于V，过P作PU⊥AB于U，

∴CV＝ AB＝ ，

由题意得：PU≤PC+VC＝2+ ，MN＝2PU，

∴S_△PMN＝ •MN•PU＝ •2PU•PU＝PU²＝（2+ ）²＝6+4 ；

则△PMN面积的最大值是6+4 ．

【点评】本题是四边形的综合题，考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、旋转等知识，利用旋转法添加辅助线是解决问题的关键．