【331474】2019年云南省昆明市十县区中考数学二模试卷 解析版

2019年云南省昆明市十县区中考数学二模试卷

一．填空题（共6小题）

1．﹣ 的倒数是　 　．

2．据报道，截止2019年1月，在全国公安机关开展扫黑除恶专项斗争中，共破获各类刑事案件79270起，刑事案件同比下降7.7%．数字79270用科学记数法表示为　 　．

3．分解因式：2a³b﹣2ab³＝　 　．

4．如图，分别以线段AB的端点A和B为圆心大于 的长为半径作弧，连接两弧交点，得直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB＝25°，延长AC至M，∠BCM的度数为　 　．

5．如图，点A，B为反比例函数 的图象上两点，过A作AC⊥x轴于点C，作AE⊥y轴于点E，过B作BD⊥x轴于点D交AE于F，若点C（﹣4，0），D为OC中点，BF＝1，则k的值为　 　．

6．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH构成．设直角三角形的两条直角边分别为a，b（b＞a），正方形ABCD与正方形EFGH的面积分别为25，9，则a+b＝　 　．

二．选择题（共8小题）

7．下列四个几何体的俯视图中与其他三个俯视图不同的是（　　）

A． B． C． D．

8．下列说法正确的是（　　）

A．甲、乙两人射中环数的方差分别为 ，说明甲的射击成绩比乙稳定

B．为了解全国七年级学生的身高情况，适宜采用全面调查

C．数据5，3，5，1，1，1的众数是5

D．数据3，5，4，6，2的平均数是5

9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（2，5），C（5，3），如果将△ABC平移得到△A₁B₁C₁，已知点A₁的坐标为（﹣2，1），则点B₁，C₁的坐标分别为（　　）

A．（﹣2，4），（2，2） B．（﹣2，4），（2，1）

C．（﹣1，4），（2，2） D．（﹣1，4），（2，1）

10．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

11．下列运算正确的是（　　）

A．25﹣5＝2 B．

C． D．3a﹣2（a﹣2）＝a﹣4

12．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠ADB的度数是（　　）

A．50° B．48° C．36° D．30°

13．已知⊙O的半径为6，弦AB与半径相等，则用扇形OAB围成的圆锥的底面半径为（　　）

A．1或4 B．4 C．1或5 D．5

14．二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x＝1，与x轴负半轴的交点为（﹣1，0），则下列结论正确的是（　　）

A．abc＜0

B．一元二次方程ax²+（b﹣2）x+c＝0无实根

C．2a﹣b＝0

D．4a+2b+c＜0

三．解答题

15．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，∠B＝∠E，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是　 　（只需写一个，不添加辅助线），并证明．

16．观察下列等式的规律： ；

（1）请直接写出 的值为　 　；

（2）化简： ．

17.4月23日为世界阅读日，为响应党中央“倡导全民阅读，建设书香会”的号召，某校团委组织了一次全校学生参加的“读书活动”大赛为了解本次赛的成绩，校团委随机抽取了部分学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表（频数频率分布表和频数分布直方图）：

成绩x（分）	频数（人）	频率
50≤x＜60	10	0.05
60≤x＜70	30	0.15
70≤x＜80	40	n
80≤x＜90	m	0.35
90≤x≤100	50	0.25

根据所给信息，解答下列问题：

（1）抽取的样本容量是　　；m＝　　，n＝　　；

（2）补全频数分布直方图；这200名学生成绩的中位数会落在　80≤x＜90　分数段；

（3）全校有1200名学生参加比赛，若得分为90分及以上为优秀，请你估计全校参加比赛成绩优秀的学生人数．

18.如图，有四张正面标有数字﹣2，3，﹣1，2，背面颜色一样的卡片，正面朝下放在桌面上，小红从中随机抽取一张卡片记下数字，再从余下的卡片中随机抽取一张卡片记下数字．

（1）第一次抽到数字2的卡片的概率是　 　；

（2）设第一次抽到的数字为x，第二次抽到的数字为y，点M的坐标为（x，y），请用树状图或列表法求点M在第三象限的概率．

19.某学校举行“青春心向党建功新时代”演讲比赛活动，准备购买甲、乙两种奖品，小昆发现用480元购买甲种奖品的数目恰好与用360元购买乙种奖品的数目相等，已知甲种奖品的单价比乙种奖品的单价多10元．

（1）求甲、乙两种奖品的单价各是多少元？

（2）如果需要购买甲乙两种奖品共100个，且甲种奖品的数目不低于乙种奖品数目的2倍，问购买多少个甲种奖品，才使得总购买费用最少？

20.“普洱茶”是云南有名的特产，某网店专门销售某种品牌的普洱茶，成本为30元/盒，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）如果规定每天该种普洱茶的销售量不低于240盒，该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出500元给扶贫基金会，当销售单价为多少元时，每天获取的净利润最大，最大净利润是多少？（注：净利润＝总利润﹣捐款）

21.如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在BC上，以OB为半径的⊙O经过点A，交BC于点D，连接AD，AD＝CD．

（1）求证：AC为⊙O的切线；

（2）延长AD到点F，连接BF，交⊙O于点E，连接DE，若AF＝4，BF＝5，求⊙O的半径．

22.如图，二次函数y＝ax²﹣2x+c的图象与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及顶点E的坐标；

（2）如图，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标．

23.如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．

（1）证明与推断：

①求证：四边形CEGF是正方形；

②推断： 的值为　　：

（2）探究与证明：

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展与运用：

正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2 ，则BC＝　3 　．

2019年云南省昆明市十县区中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一．填空题（共6小题）

1．﹣ 的倒数是　﹣2　．

【分析】乘积是1的两数互为倒数．

【解答】解：﹣ 的倒数是﹣2．

故答案为：﹣2．

2．据报道，截止2019年1月，在全国公安机关开展扫黑除恶专项斗争中，共破获各类刑事案件79270起，刑事案件同比下降7.7%．数字79270用科学记数法表示为　7.927×10⁴　．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：数字79270用科学记数法表示为7.927×10⁴．

故答案为：7.927×10⁴．

3．分解因式：2a³b﹣2ab³＝　2ab（a+b）（a﹣b）　．

【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式＝2ab（a²﹣b²）

＝2ab（a+b）（a﹣b），

故答案为：2ab（a+b）（a﹣b）

4．如图，分别以线段AB的端点A和B为圆心大于 的长为半径作弧，连接两弧交点，得直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB＝25°，延长AC至M，∠BCM的度数为　50°　．

【分析】利用作法得到CN垂直平分AB，再根据线段垂直平分线的性质得到CA＝CB，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质求∠BCM的度数．

【解答】解：由作法得CN垂直平分AB，

∴CA＝CB，

∴∠CAB＝∠CBA＝25°，

∴∠BCM＝∠CAB+∠CBA＝25°+25°＝50°．

故答案为50°．

5．如图，点A，B为反比例函数 的图象上两点，过A作AC⊥x轴于点C，作AE⊥y轴于点E，过B作BD⊥x轴于点D交AE于F，若点C（﹣4，0），D为OC中点，BF＝1，则k的值为　﹣4　．

【分析】根据题意设A（﹣4，b），则B（﹣2，b+1），即可得到k＝﹣4b＝﹣2（b+1），解得k＝﹣4．

【解答】解：∵点C（﹣4，0），D为OC中点，

∴D（﹣2，0），

设A（﹣4，b），

∵AC⊥x轴于点C，作AE⊥y轴于点E，

∴F（﹣2，b），

∵BF＝1，

∴B（﹣2，b+1），

∵点A，B为反比例函数 的图象上两点，

∴k＝﹣4b＝﹣2（b+1），

解得k＝﹣4，

故答案为：﹣4．

6．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH构成．设直角三角形的两条直角边分别为a，b（b＞a），正方形ABCD与正方形EFGH的面积分别为25，9，则a+b＝　 　．

【分析】根据题意和图形，可以得到ab的值，然后可以求得（a+b）²的值，再根据b＞a＞0，即可求得a+b的值．

【解答】解：

解得，ab＝8，

∵（a+b）²＝a²+2ab+b²＝（a²+b²）+2ab

∴（a+b）²＝25+2×8＝41，

∵b＞a＞0，

∴a+b＝ ，

故答案为： ．

二．选择题（共8小题）

7．下列四个几何体的俯视图中与其他三个俯视图不同的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．

【解答】解：A、选项A的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，

B．选项B的俯视图是第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，

C．选项C的的俯视图是第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，

D、选项D的俯视图是第一列两个小正方形，第二列两个小正方形．

故选：D．

8．下列说法正确的是（　　）

A．甲、乙两人射中环数的方差分别为 ，说明甲的射击成绩比乙稳定

B．为了解全国七年级学生的身高情况，适宜采用全面调查

C．数据5，3，5，1，1，1的众数是5

D．数据3，5，4，6，2的平均数是5

【分析】根据众数、平均数、抽样调查以及方差的知识判断即可．

【解答】解：A、甲、乙两人射中环数的方差分别为 ，说明甲的射击成绩比乙稳定，正确，符合题意；

B、为了解全国七年级学生的身高情况，适宜采用抽样调查，错误，不符合题意；

C、数据5，3，5，1，1，1的众数是1，错误，不符合题意；

D、数据3，5，4，6，2的平均数是4，错误，不符合题意；

故选：A．

9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（2，5），C（5，3），如果将△ABC平移得到△A₁B₁C₁，已知点A₁的坐标为（﹣2，1），则点B₁，C₁的坐标分别为（　　）

A．（﹣2，4），（2，2） B．（﹣2，4），（2，1）

C．（﹣1，4），（2，2） D．（﹣1，4），（2，1）

【分析】由题意得A（1，2）先往左平移3个单位，再向下平移1个单位得到A₁的坐标为（﹣2，1），由此计算点B₁，C₁的坐标．

【解答】解：∵A（1，2），A₁的坐标为（﹣2，1），

∴A（1，2）先往左平移3个单位，再向下平移1个单位得到A₁的坐标为（﹣2，1），

∴B₁的坐标为（2﹣3，5﹣1），即（﹣1，4），

C₁的坐标分别为（5﹣3，3﹣1），即（2，2）．

故选：C．

10．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】分别解两个不等式得到x＞﹣1和x≤3，从而得到不等式组的解集为﹣1＜x≤3，然后利用此解集对各选项进行判断．

【解答】解： ，

解①得x＞﹣1，

解②得x≤3，

所以不等式组的解集为﹣1＜x≤3．

故选：C．

11．下列运算正确的是（　　）

A．25﹣5＝2 B．

C． D．3a﹣2（a﹣2）＝a﹣4

【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．

【解答】解：A、原式＝20，不符合题意；

B、原式＝1﹣（﹣2）＝1+2＝3，符合题意；

C、原式＝| ﹣1|＝ ﹣1，不符合题意；

D、原式＝3a﹣2a+4＝a+4，不符合题意，

故选：B．

12．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠ADB的度数是（　　）

A．50° B．48° C．36° D．30°

【分析】如图，连接OA，OB．求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．

【解答】解：如图，连接OA，OB．

∵五边形ABCDE是正五边形，

∴∠AOB＝ ＝72°，

∴∠ADB＝ ∠AOB＝36°，

故选：C．

13．已知⊙O的半径为6，弦AB与半径相等，则用扇形OAB围成的圆锥的底面半径为（　　）

A．1或4 B．4 C．1或5 D．5

【分析】先证明△AOB为等边三角形，则∠AOB＝60°，设用扇形OAB围成的圆锥的底面半径为r，由于可以用大扇形和小扇形围成圆锥，所以根据弧长公式得到2πr＝ 或2πr＝ ，然后分别解关于r的方程即可．

【解答】解：∵OA＝OB＝AB＝6，

∴△AOB为等边三角形，

∴∠AOB＝60°，

设用扇形OAB围成的圆锥的底面半径为r，

∴2πr＝ 或2πr＝ ，

∴r＝1或r＝5．

故选：C．

14．二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x＝1，与x轴负半轴的交点为（﹣1，0），则下列结论正确的是（　　）

A．abc＜0

B．一元二次方程ax²+（b﹣2）x+c＝0无实根

C．2a﹣b＝0

D．4a+2b+c＜0

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【解答】解：A．函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，c＜0，故abc＞0，故①错误，不符合题意；

B．二次函数y＝ax²+bx+c与x轴有两个交点，故△＝b²﹣4ac＞0，而a＞0，则b＜0，

对于二次函数y′＝ax²+（b﹣2）x+c，△′＝（b﹣2）2﹣4ac＝b²﹣4ac+（4﹣4b），

∵b＜0，

∴4﹣4b＞0，

而b²﹣4ac＞0，

故△′＞0，故一元二次方程ax²+（b﹣2）x+c＝0有两个不相等实数根，

B错误，不符合题意；

C．函数的对称轴为：x＝﹣ ＝1，故b＝﹣2a，即2a+b＝0，故C错误，不符合题意；

D．由函数的对称轴得，抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（3，0），

故当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，正确，符合题意，

故选：D．

三．解答题

15．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，∠B＝∠E，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是　AB＝DE　（只需写一个，不添加辅助线），并证明．

【分析】根据等式的性质可得BC＝EF，添加AB＝ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF．

【解答】解：添加的条件是：AB＝DE．

证明：∵BF＝CE，

∴BF+CF＝CE+CF，

即BC＝EF．

在△ABC中△DEF中． ，

∴△ABC≌△DEF（SAS）．

故答案为：AB＝DE．

16．观察下列等式的规律： ；

（1）请直接写出 的值为　 　；

（2）化简： ．

【分析】（1）根据已知等式发现规律，即可求解；

（2）结合（1）的规律即可求出结果．

【解答】解：（1）原式＝1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣

＝1﹣

＝ ；

故答案为： ；

（2）原式＝

＝

＝ ．

17.4月23日为世界阅读日，为响应党中央“倡导全民阅读，建设书香会”的号召，某校团委组织了一次全校学生参加的“读书活动”大赛为了解本次赛的成绩，校团委随机抽取了部分学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表（频数频率分布表和频数分布直方图）：

成绩x（分）	频数（人）	频率
50≤x＜60	10	0.05
60≤x＜70	30	0.15
70≤x＜80	40	n
80≤x＜90	m	0.35
90≤x≤100	50	0.25

根据所给信息，解答下列问题：

（1）抽取的样本容量是　200　；m＝　70　，n＝　0.2　；

（2）补全频数分布直方图；这200名学生成绩的中位数会落在　80≤x＜90　分数段；

（3）全校有1200名学生参加比赛，若得分为90分及以上为优秀，请你估计全校参加比赛成绩优秀的学生人数．

【考点】V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图；W2：加权平均数；W4：中位数．

【专题】54：统计与概率；65：数据分析观念．

【分析】（1）根据50≤x＜60这一组的频数和频率，可以得到抽取样本的样本容量，然后即可得到m和n的值；

（2）根据（1）中m的值，可以将频数分布直方图补充完整，然后根据频数分布表中的数据，可以得到这200名学生成绩的中位数会落在哪一组；

（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出全校参加比赛成绩优秀的学生人数．

【解答】解：（1）抽取的样本容量是：10÷0.05＝200，

m＝200×0.35＝70，

n＝40÷200＝0.2，

故答案为：200，70，0.2；

（2）由（1）知，m＝70，

补全的频数分布直方图如右图所示，

这200名学生成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段，

故答案为：80≤x＜90；

（3）1200×0.25＝300（人），

答：全校参加比赛成绩优秀的学生有300人．

18.如图，有四张正面标有数字﹣2，3，﹣1，2，背面颜色一样的卡片，正面朝下放在桌面上，小红从中随机抽取一张卡片记下数字，再从余下的卡片中随机抽取一张卡片记下数字．

（1）第一次抽到数字2的卡片的概率是　 　；

（2）设第一次抽到的数字为x，第二次抽到的数字为y，点M的坐标为（x，y），请用树状图或列表法求点M在第三象限的概率．

【考点】D1：点的坐标；X6：列表法与树状图法．

【专题】543：概率及其应用；67：推理能力．

【分析】（1）由概率公式即可得出答案；

（2）画出树状图，可能出现的结果共有12种，点M（x，y）在第三象限有2种可能结果，由概率公式即可得答案．

【解答】解：（1）第一次抽到数字是2的概率为 ；

故答案为： ；

（2）画树状图如图：

可能出现的结果共有12种，并且它们出现的可能性相同．

点M（x，y）在第三象限有2种可能结果：（﹣1，﹣2），（﹣2，﹣1），

∴点M在第三象限的概率＝ ＝ ．

19.某学校举行“青春心向党建功新时代”演讲比赛活动，准备购买甲、乙两种奖品，小昆发现用480元购买甲种奖品的数目恰好与用360元购买乙种奖品的数目相等，已知甲种奖品的单价比乙种奖品的单价多10元．

（1）求甲、乙两种奖品的单价各是多少元？

（2）如果需要购买甲乙两种奖品共100个，且甲种奖品的数目不低于乙种奖品数目的2倍，问购买多少个甲种奖品，才使得总购买费用最少？

【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用；FH：一次函数的应用．

【专题】522：分式方程及应用；524：一元一次不等式(组)及应用；533：一次函数及其应用；69：应用意识．

【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元，则乙种奖品的单价为（x﹣10）元，根据“用480元购买甲种奖品的数目恰好与用360元购买乙种奖品的数目相等”列方程解答即可；

（2）设总购买费为w元，购买甲种奖品m个，根据题意求出w与m之间的函数关系式以及m的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．

【解答】解：（l）设甲种奖品的单价为x元，则乙种奖品的单价为（x﹣10）元．

由题意得 ，

解得x＝40，

经检验得x＝40是原方程的解；

x﹣10＝30．

答：甲种奖品的单价为40元，乙种奖品的单价为30元；

（2）设总购买费为w元，购买甲种奖品m个，则购买乙种奖品（100﹣m）个；

则总费用w＝40m+30（100﹣m），

即：w＝10m+3000，

由题意得：m≥2（100﹣m），

解得： ；

∵m取正整数；

∴m≥67；

∵k＝10＞0，w随m的增大而增大；

∴m＝67时，w最小；

答：购买甲种奖品67个时，总费用最少．

20.“普洱茶”是云南有名的特产，某网店专门销售某种品牌的普洱茶，成本为30元/盒，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）如果规定每天该种普洱茶的销售量不低于240盒，该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出500元给扶贫基金会，当销售单价为多少元时，每天获取的净利润最大，最大净利润是多少？（注：净利润＝总利润﹣捐款）

【考点】HE：二次函数的应用．

【专题】124：销售问题；31：数形结合；41：待定系数法；42：配方法；533：一次函数及其应用；535：二次函数图象及其性质；536：二次函数的应用；66：运算能力；67：推理能力；69：应用意识．

【分析】（l）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，按照待定系数法求解即可；

（2）设净利润为w元，则有：根据（销售单价x﹣每盒茶的成本）×每天的销售量﹣500等于每天获取的利润列出w关于x的二次函数，写成顶点式，利用二次函数的性质及问题的实际意义，即可求得符合题意的销售单价及每天的净利润的最大值．

【解答】解：（l）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（40，300），（55，150）代入，得：

，

解得： ，

∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+700；

（2）设净利润为w元，则有：

w＝（x﹣30）（﹣10x+700）﹣500

＝﹣10x²+1000x﹣21500

＝﹣10（x﹣50）²+3500

∵y≥240，

∴﹣10x+700≥240，

解得x≤46．

∵当a＝﹣10开口向下，当x＜50时，y随x的增大而增大，

∴x＝46时，y_最大＝3340．

答：单价为46元时，利润最大为3340元．

21.如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在BC上，以OB为半径的⊙O经过点A，交BC于点D，连接AD，AD＝CD．

（1）求证：AC为⊙O的切线；

（2）延长AD到点F，连接BF，交⊙O于点E，连接DE，若AF＝4，BF＝5，求⊙O的半径．

【考点】KH：等腰三角形的性质；ME：切线的判定与性质．

【专题】11：计算题；14：证明题；31：数形结合；554：等腰三角形与直角三角形；55A：与圆有关的位置关系；55C：与圆有关的计算；55E：解直角三角形及其应用；66：运算能力；67：推理能力．

【分析】（1）如图，连接OA，先由等腰三角形的性质证明∠OAD＝∠ODA，再由直径所对的圆周角为直角得出∠BAD＝90°，然后利用等量代换及互余关系证明∠OAC＝90°，则结论得证．

（2）先由勾股定理求得AB的长，则可知AC的长，再证明∠C＝30°，然后由三角函数的定义得出等式，解出OA的值，即为半径的值．

【解答】解：（1）证明：如图，连接OA．

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C．

∵AD＝DC，

∴∠DAC＝∠C，

∴∠ABC＝∠DAC

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∵BD是直径，

∴∠BAD＝90°，

∴∠ABD+∠ODA＝90°，

∴∠DAC+∠OAD＝90°，即∠OAC＝90°，

∴OA⊥CA，

∵OA是⊙O的半径，

∴AC为⊙O的切线．

（2）在Rt△ABF中，由勾股定理得： ，

∴AC＝AB＝3．

∵∠AOD＝2∠ABC，∠ABC＝∠C，

∴∠AOD＝2∠ACB，

∵∠OAC＝90°，

∴∠AOD+∠ACB＝90°，

∴∠C＝30°．

在Rt△OAC中，∠OAC＝90°，

∴tanC＝ ，

∴OA＝AC•tanC

＝3tan30°

＝ ，

∴⊙O的半径为 ．

22.如图，二次函数y＝ax²﹣2x+c的图象与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及顶点E的坐标；

（2）如图，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标．

【考点】H3：二次函数的性质；H8：待定系数法求二次函数解析式；HA：抛物线与x轴的交点．

【专题】533：一次函数及其应用；535：二次函数图象及其性质；66：运算能力．

【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后画出解析式的顶点式即可求得顶点坐标；

（2）根据待定系数法求得直线BE的解析式为y＝2x+6，设点F（0，m），则点F'为（﹣2，m），代入y＝2x+6即可求得m的值，从而求得点F的坐标．

【解答】解：（1）把点A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax²﹣2x+c，得 ，

解之得 ．

∴抛物线的解析式为y＝﹣x²﹣2x+3，

∵y＝﹣x²﹣2x+3＝﹣（x+1）²+4，

∴顶点E的坐标为（﹣1，4）；

（2）设直线BE的解析式为y＝kx+m，把B（﹣3，0），E（﹣1，4）代入得， ，解得 ，

∴直线BE的解析式为y＝2x+6，

设点F（0，m），

∵抛物线y＝﹣x²﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，

∴点F'为（﹣2，m），

把F'（﹣2，m）代入y＝2x+6得m＝﹣4+6＝2，

∴点F（0，2）．

23.如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．

（1）证明与推断：

①求证：四边形CEGF是正方形；

②推断： 的值为　 　：

（2）探究与证明：

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展与运用：

正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2 ，则BC＝　3 　．

【考点】SO：相似形综合题．

【专题】15：综合题；55D：图形的相似．

【分析】（1）①由GE⊥BC、GF⊥CD结合∠BCD＝90°可得四边形CEGF是矩形，再由∠ECG＝45°即可得证；②由正方形性质知∠CEG＝∠B＝90°、∠ECG＝45°，据此可得 ＝ 、GE∥AB，利用平行线分线段成比例定理可得；

（2）连接CG，只需证△ACG∽△BCE即可得；

（3）证△AHG∽△CHA得 ＝ ＝ ，设BC＝CD＝AD＝a，知AC＝ a，由 ＝ 得AH＝ a、DH＝ a、CH＝ a，由 ＝ 可得a的值．

【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，

∵GE⊥BC、GF⊥CD，

∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，

∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，

∴EG＝EC，

∴四边形CEGF是正方形；

②由①知四边形CEGF是正方形，

∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，

∴ ＝ ，GE∥AB，

∴ ＝ ＝ ，

故答案为： ；

（2）连接CG，

由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，

在Rt△CEG和Rt△CBA中，

＝cos45°＝ 、 ＝cos45°＝ ，

∴ ＝ ＝ ，

∴△ACG∽△BCE，

∴ ＝ ＝ ，

∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝ BE；

（3）∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，

∴∠BEC＝135°，

∵△ACG∽△BCE，

∴∠AGC＝∠BEC＝135°，

∴∠AGH＝∠CAH＝45°，

∵∠CHA＝∠AHG，

∴△AHG∽△CHA，

∴ ＝ ＝ ，

设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝ a，

则由 ＝ 得 ＝ ，

∴AH＝ a，

则DH＝AD﹣AH＝ a，CH＝ ＝ a，

∴ ＝ 得 ＝ ，

解得：a＝3 ，即BC＝3 ，

故答案为：3 ．