【331461】2019年湖北省荆门市中考数学模拟试卷（含答案解析）

2019年湖北省荆门市中考数学模拟试卷

一．选择题（满分36分，每小题3分）

1．若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（　　）

A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣5

2．下列运算正确的是（　　）

A．（x﹣y）2＝x2﹣y2 B．x2•x4＝x6

C． D．（2x2）3＝6x6

3．世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（　　）

A．5.6×10﹣1 B．5.6×10﹣2 C．5.6×10﹣3 D．0.56×10﹣1

4．如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（　　）

A． B．

C． D．

5．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝145°，则∠BCD的值为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．70°

6．若x＝ ﹣4，则x的取值范围是（　　）

A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6

7．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0的根的情况是（　　）

A．有两不相等实数根 B．有两相等 实数根

C．无实数根 D．不能确定

8．若关于x的不等式组 有实数解，则a的取值范围是（　　）

A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4

9．周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是（　　）

A．小丽从家到达公园共用时间20分钟

B．公园离小丽家的距离为2000米

C．小丽在便利店时间为15分钟

D．便利店离小丽家的距离为1000米

10．已知x＝2是关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．8或10

11．如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于 PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（　　）

A． B．1 C． D．

12．如图，☉O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是☉O上任意一点（点P与点A，B，C，D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过90 时，点Q走过的路径长为（　　）

[

A． B． C． D．

二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

13．因式分解：9a2﹣12a+4＝_________．

14 ．一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数小36，则这个两位数是_________．

15．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝ （m≠0）的图象的交点是点A.点B，若y1＞y2，则x的取值范围是__________．

16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表：

x	…	﹣2	﹣1	0	1	2	…
y	…	﹣7	﹣1	3	5	5	…

则 的值为_______-．

17．如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为_______．

三．解答题（共7小题，满分69分）

18．（8分）（1）计算 ×cos45°﹣（ ）﹣1+20180；

（2）解方程组

19．（9分）“食品安全”受到全社会的广泛关注，我区兼善中学对部分学生就食品安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面的两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有________人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为_________；

（2）请补全条形统计图；

（3）若对食品安全知识达到“了解”程度的学生中，男、女生的比例恰为2：3，现从中随机抽取2人参加食品安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1 个女生的概率．

20．（10分）已知，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC边上的一点．

（1）以点C为旋转中心，将△ACD逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形；

（2）延长AD交BE于点F，求证：AF⊥BE；

（3）若AC＝ ，BF＝1，连接CF，则CF的长度为_________．

21．（10分）已知a＞0，符号[a]表示大于或等于a的最小正整数，如：[2，1]＝3，[4，8]＝5，[6]＝6，

（1）填空：[7 ]＝　______，若[a]＝4，则a的取值范围______．

（2）某地运输公司规定出租车的收费标准是：3公里以内（包括3公里）收费5元；超出的部分，每公里加收2元（不足1公里按1公里计算）．现在y表示乘客应付的乘车费（单位：元），用a表示所行驶的路程（单位：公里），则乘车费可按如下的公式计算：

①当0＜a≤3时，y＝5；

②当a＞3时，y＝5+2×[a﹣3]．

某乘客乘车后付费15元，求该乘客所行驶的路程a（公里）的取值范围．

22．（10分）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤

退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截．红方行驶400米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方．求红蓝双方最初相距多远（参考数据： ≈1.414， ≈1.732，结果精确到个位）？

23．（10分）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC 相交于点D，过点D作DE⊥BC交AB延长线于点E，垂足为点F．

（1）证明：DE是⊙O的切线；

（2）若BE＝4，∠E＝30°，求由 、线段BE和线段DE所围成图形（ 阴影部分）的面积，

（3）若⊙O的半径r＝5，sinA＝ ，求线段EF的长．

24．（12分）如图，已知抛物线y＝ x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．

（1）求直线BC的解析式；

（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．

参考答案

一．选择题

1．解：∵a2＝4，b2＝9，

∴a＝±2，b＝±3，

∵ab＜0，

∴a＝2，则b＝﹣3，

a＝﹣2，b＝3，

则a﹣b的值为：2﹣（﹣3）＝5或﹣ 2﹣3＝﹣5．

故选：B．

2．解：∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故选项A错误；

∵x2•x4＝x6，故选项B正确；

∵ ＝3，故选项C错误；

∵（2x2）3＝8x6，故选项D错误；

故选：B．

3．解：将0.056用科学记数法表示为5.6×10﹣2，

故选：B．

4．解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故D符合题意，

故选：D．

5．解：延长ED交BC于F，如图所示：

∵AB∥DE，∠ABC＝75°，

∴∠MFC＝∠B＝75°，

∵∠CDE＝145°，

∴∠FDC＝180°﹣145°＝35°，

∴∠C＝∠MFC﹣∠MDC＝75°﹣35°＝40°，

故选：C．

6．解：∵36＜37＜49，

∴6＜ ＜7，

∴2＜ ﹣4＜3，

故x的取值范围是2＜x＜3．

故选：A．

7．解：△＝（k+3）2﹣4×k＝k2+2k+9＝（k+1）2+8，

∵（k+1）2≥0，

∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，

所以方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

8．解：解不等式2x＞3x﹣3，得：x＜3，

解不等式3x﹣a＞5，得：x＞ ，

∵不等式组有实数解，

∴ ＜3 ，

解得：a＜4，

故选：A．

9．解：A.小丽从家到达公园共用时间20分钟，正确；

B.公园离小丽家的距离为2000米，正确；

C.小丽在便利店时间为15﹣10＝5分钟，错误；

D.便利店离小丽家的距离为1000米，正确；

故选：C．

10．解：把x＝2代入方程x2﹣（m+4）x+4m＝0得4﹣2（m+4）+4m＝0，解得m＝2，

方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，

因为2+2＝4，

所以三角形三边为4.4.2，

所以△ABC的周长为10．

故选：C．

11．解：∵由题意可知CE是∠BCD的平分线，

∴∠BCE＝∠DCE．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠DCE＝∠E，∠BCE＝∠AEC，

∴BE＝BC＝3，

∵AB＝2，

∴AE＝BE﹣AB＝1，

故选：B．

12．解：如图连接OP．

∵PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，

∴四边形ONPM是矩形，

又∵点Q为MN的中点，

∴点Q也是OP的中点，

则OQ＝1，

点Q走过的路径长＝ ＝ ．

故选：B．

二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

13．解：9a2 ﹣12a+4＝（3a﹣2）2．

14．解：设原来十位上数字为x，个位上的数字为y，

由题意得， ，

解得： ，

故这个两位数为95．

故答案为；95．

15．解：y1＞y2的自变量x的取值范围，从图上看就是一次函数图象在反比例函数图象上方时，横坐标x的取值范围，

从图上看当x＞1或﹣3＜x＜0时一次函数图象在反比例函数图象上方，

所以x＞1或﹣3＜x＜0时，y1＞y2．

故答案为：x＞1或﹣3＜x＜0．

16．解：∵x＝1.x＝2时的函数值都是﹣1相等，

∴此函数图象的对称轴为直线x＝﹣ ＝ ＝ ，

即 ＝﹣ ．

故答案为：﹣ ．

17．解：如图，连接BD，

∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，

∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，

∵P为AB的中点，

∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，

∴∠PDC＝90°，

∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，

在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．

故答案为：75°．

三．解答题（共7小题，满分69分）

18．解：（1）原式＝

＝3﹣3+1

＝1．

（2）由①+②×3 ，得：10x＝20，

解得：x＝2，

把x＝2代入①，得：6+y＝1，

解得：y＝1，

∴原方程组的解为 ．

19．解：（1）接受问卷调查的学生共有30÷50%＝60（人），

扇形统计图中 “基本了解”部分所对应扇形的圆心角为360°× ＝90°，

故答案为：60，90．

（2）了解的人数有：60﹣15﹣30﹣10＝5（人），补图如下：

（3）画树状图得：

​∵共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，

∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为 ＝ ．

20．（1）解：旋转后的图形如图所示．

（2）证明：∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAD＝∠CBE，

∵∠CAD+∠ADC＝90°，∠ADC＝∠BDF，

∴∠BDF+∠DBF＝90°，

∴∠DFB＝90°，

∴AF⊥BE．

（3）作CM⊥BE于M，CN⊥AF于N．

∵∠ANC＝∠BMC＝90°，∠CAN＝∠CBM，AC＝BC，

∴△ACN≌△BCM（AAS），

∴CN＝CM，

∵∠CMF＝∠MFN＝∠FNC＝90°，

∴四边形CMFN是矩形，

∵CM＝CN，

∴四边形CMFN是正方形，设CN＝CM＝MF＝FN＝a，

在Rt△BCM中，∵BC2＝CM2+BM2，

∴3＝a2+（a+1）2，

∴a2+a﹣1＝0，

∴a＝ 或 （舍弃），

∴CF＝ CM＝ a＝ ．

故答案为 ．

21．解：（1）：[7 ]＝8；

若[a]＝4，则x的取值范围是：3＜x≤4，

故答案为：8.3＜x≤4．

（2）根据题意可知5+2×[a﹣3]＝15．

则[a﹣3]＝5，

∴4＜a﹣3≤5，

解得：7＜a≤8．

22．解：过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E＝∠F＝90°，红蓝双方相距AB＝DF+CE．

在Rt△BCE中，

∵BC＝400米，∠EBC＝60°，

∴CE＝BC•sin60°＝400× ＝200 米．

在Rt△CDF中，

∵∠F＝90°，CD＝400米，∠DCF＝45°，

∴DF＝CD•sin45°＝400× ＝200 米，

∴AB＝DF+CE＝200 +200 ≈629米．

答：红蓝双方最初相距629米．

23．解：（1）如图，连接BD.OD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BDA＝90°，

∵BA＝BC，

∴AD＝CD，

又∵AO＝OB，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为x，则OB＝OD＝x，

在Rt△ODE中，OE＝4+x，∠E＝30°，

∴ ＝ ，

解得 ：x＝4，

∴DE＝4 ，S△ODE＝ ×4×4 ＝8 ，

S扇形ODB＝ ＝ ，

则S阴影＝S△ODE﹣S扇形ODB＝8 ﹣ ；

（3）在Rt△ABD中，BD＝ABsinA＝10× ＝2 ，

∵DE⊥BC，

∴Rt△DFB∽Rt△DCB，

∴ ＝ ，即 ＝ ，

∴BF＝2，

∵OD∥BC，

∴△EFB∽△EDO，

∴ ＝ ，即 ＝ ，

∴EB＝ ，

∴EF＝ ＝ ．

24．解：（1）对于抛物线y＝ x2+3x﹣8，

令y＝0，得到 x2+3x﹣8＝0，解得x＝﹣8或2，

∴B（﹣8，0），A（2，0），

令x＝0，得到y＝﹣8，

∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8），

设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有 ，

解得 ，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8．

（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m， m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8）

∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC＝ •FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（ m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣2（m+4）2+32，

∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，

此时F（﹣4，﹣12），

∵抛物线的对称轴x＝﹣3，

点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，

设直线AF的解析式为y＝ax+b，则有 ，

解得 ，

∴直线AF的解析式为y＝2x﹣4，

∴P（﹣3，﹣10），

∴点F的坐标和点P的坐标分别是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）．

（3）如图2中，

∵B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12），

∴BF＝ ＝4 ，

①当FQ1＝FB时，Q1（0，0）或（0，﹣24）（虽然FB＝FQ，但是B.F、Q三点一线应该舍去）．

②当BF＝BQ时，易知Q2（0，﹣4 ），Q3（0，4 ）．

③当Q4B＝Q4F时，设Q4（0，m），

则有82+m2＝42+（m+12）2，

解得m＝﹣4，

∴Q4（0，﹣4），

∴Q点坐标为（0，0）或（0，4 ）或（0，﹣4 ）或（0，﹣4）．