【331067】5.4 二次函数的图象和性质（4）

第4课时 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质

【知识与技能】

1.会用描点法画二次函数y=ax²+bx+c的图象.

2.会用配方法求抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性.

3.能通过配方求出二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最大或最小值；能利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值.

【过程与方法】

1.经历探索二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象的作法和性质的过程，体会建立二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)对称轴和顶点坐标公式的必要性.

2.在学习y=ax²+bx+c(a≠0)的性质的过程中，渗透转化（化归）的思想.

【情感态度】

进一步体会由特殊到一般的化归思想,形成积极参与数学活动的意识.

【教学重点】

①用配方法求y=ax2+bx+c的顶点坐标；②会用描点法画y=ax2+bx+c的图象并能说出图象的性质.

【教学难点】

能利用二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题，能通过对称性画出二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象.

一、情境导入，初步认识

请同学们完成下列问题.

1.把二次函数y=-2x²+6x-1化成y=a(x-h)²+k的形式.

2.写出二次函数y=-2x²+6x-1的开口方向，对称轴及顶点坐标.

3.画y=-2x²+6x-1的图象.

4.抛物线y=-2x²如何平移得到y=-2x²+6x-1的图象.

5.二次函数y=-2x²+6x-1的y随x的增减性如何？

【教学说明】上述问题教师应放手引导学生逐一完成，从而领会y=ax²+bx+c与y=a(x-h)²+k的转化过程.

二、思考探究，获取新知

探究1 如何画y=ax²+bx+c图象，你可以归纳为哪几步？

学生回答、教师点评：

一般分为三步：

1.先用配方法求出y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标.

2.列表,描点,连线画出对称轴右边的部分图象.

3.利用对称点,画出对称轴左边的部分图象.

探究2 二次函数y=ax²+bx+c图象的性质有哪些？你能试着归纳吗？

学生回答，教师点评：

抛物线y=ax²+bx+c= ,对称轴为x=- ,顶点坐标为(- , ),当a＞0时，若x＞- ，y随x增大而增大，若x＜- ，y随x的增大而减小；当a＜0时，若x＞- ，y随x的增大而减小，若x<- ，y随x的增大而增大.

探究3 二次函数y=ax²+bx+c在什么情况下有最大值，什么情况下有最小值，如何确定？

学生回答，教师点评：

三、典例精析，掌握新知

例1 将下列二次函数写成顶点式y=a(x-h)²+k的形式，并写出其开口方向，顶点坐标，对称轴.

①y= x²-3x+21 ②y=-3x²-18x-22

解：①y= x²-3x+21

= (x²-12x)+21

= (x²-12x+36-36)+21

= (x-6)²+12.

∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为（6，12），对称轴是x=6.

②y=-3x²-18x-22=-3(x²+6x)-22=-3(x²+6x+9-9)-22=-3(x+3)²+5.

∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为（-3,5)，对称轴是x=-3.

【教学说明】第②小题注意h值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解.

例 2 用总长为60m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，l是多少时，场地的面积S最大？

①S与l有何函数关系？

②举一例说明S随l的变化而变化?

③怎样求S的最大值呢?

解:S=l (30-l)

=- l²+30l (0＜l＜30)

=-( l²-30l)

=-( l-15)²+225

画出此函数的图象，如图.

∴l=15时，场地的面积S最大（S的最大值为225)

【教学说明】二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值范围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分.

四、运用新知，深化理解

1.（北京中考）抛物线y=x²-6x+5的顶点坐标为（ ）

A.(3,-4) B.(3,4) C.(-3,-4) D.(-3,4)

2.（贵州贵阳中考）已知二次函数y=ax²+bx+c(a＜0)的图象如图所示，当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（ ）

A.有最小值5、最大值0

B.有最小值-3、最大值6

C.有最小值0、最大值6

D.有最小值2、最大值6

3.如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴.

(1)给出四个结论：①a＞0;②b＞0;③c＞0；

④a+b+c=0.其中正确结论的序号是 .

(2)给出四个结论:①abc＜0;②2a+b＞0;③a+c=1;

④a＞1.其中正确结论的序号是 .

【教学说明】通过练习,巩固掌握y=ax²+bx+c的图象和性质.

【答案】1.A 2.B 3.(1)①④ (2)②③④

五、师生互动，课堂小结

1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？

2.在学生回答的基础上，教师点评：

（1）用配方法求二次y=ax²+bx+c的顶点坐标、对称轴；

（2）由y=ax²+bx+c的图象判断与a,b,c有关代数式的值的正负；

（3）实际问题中自变量取值范围及函数最值.

y=ax²+bx+c的图象和性质可以看作是y=ax²,y=a(x-h)²+k，y=a(x-h)²+k的图象和性质的归纳与综合，让学生初步体会由简单到复杂，由特殊到一般的认识规律.