【330759】解题技巧专题：勾股定理与面积问题

解题技巧专题：勾股定理与面积问题

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——全方位求面积，一网搜罗　　　　　　　　　　　　

类型一　三角形中利用面积求高

1．(2017·芜湖繁昌县期中)一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为(　　)

A．13 B. C. D.

2 ．(芜湖期中)如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为(　　)

A. B.

C. D.

类型二　结合乘法公式巧求面积或周长

3．(芜湖繁昌县期末)已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是(　　)

A．24cm² B．36cm² C．48cm² D．60cm²

4．若一个直角三角形的面积为6cm²，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是(　　)

A．7cm B．10cm

C．(5＋)cm D．12cm

5 ．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若(a＋b)²＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为(　　)

A．3

B．4

C．5

D．6

类型三　巧妙割补求面积

6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．

7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2.求四边形ABCD的面积．【方法11】

类型四　“勾股树”及其拓展类型求面积

8．(合肥瑶海区期中)如图是一株美丽的勾股树，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是(　　)

A．13 B．21 C．47 D．196

第8题图 第9题图

9．(2017·蚌埠市五校期中)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形．若S₁＋S₄＝100，S₃＝36，则S₂的值为(　　)

A．136 B．64 C．50 D．8

10．★五个正方形按如图放置在直线l上，其中第1，2，4个正方形的面积分别为2，5，4，则第5个正方形的面积S₅＝________．

参考答案与解析

1．C

2．A　解析：由图可知AC＝＝，S_△ABC＝×2×2＝2.又∵BD⊥AC，∴S_△ABC＝××BD＝2，解得BD＝.故选A.

3．A　4.D　5.C

6．解：连接AC，过点C作CE⊥AD交AD于点E.∵AB⊥BC，∴∠CBA＝90°.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝＝13.∵CD＝13，∴AC＝CD，即△ACD是等腰三角形．∵CE⊥AD，∴AE＝AD＝×10＝5.在Rt△ACE中，由勾股定理得CE＝＝＝12.∴S_{四边形ABCD}＝S_△ABC＋S_△ACD＝AB·BC＋AD·CE＝×(12×5＋10×12)＝90.

7．解：延长AD，BC交于点E.∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠E＝30°，∴AE＝2AB＝8.在Rt△ABE中，由勾股定理得BE＝＝＝4.∵∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°，∴CE＝2CD＝4.在Rt△CDE中，由勾股定理得DE＝＝＝2.∴S_{四边形ABCD}＝S_△ABE－S_△CDE＝AB·BE－CD·DE＝×(4×4－2×2)＝6.

8．C

9．B　解析：由题意可知S₁＝AB²，S₂＝BC²，S₃＝CD²，S₄＝AD².连接BD，在Rt△ABD中，BD²＝AD²＋AB²，在Rt△BCD中，BD²＝CD²＋BC²，∴S₁＋S₄＝S₃＋S₂，∴S₂＝100－36＝64.故选B.

10．1　解析：如图，由题意得AC＝CE，∠ABC＝∠CDE＝∠ACE＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.在△ABC和△CDE中，∵∴△ABC≌△CDE(AAS)，∴AB＝CD.同理可得△FGH≌△HMN.∴FG²＝HM²＝NH²－MN²＝5－2＝3，∴DE²＝FG²＝3，∴CD²＝CE²－DE²＝4－3＝1，∴AB²＝1，∴S₅＝AB²＝1.