【330760】解题技巧专题：勾股定理与面积问题

解题技巧专题：勾股定理与面积问题

——全方位求面积，一网搜罗

类型一　直角三角形中，利用面积求斜边上的高

1．(郴州桂阳县期末)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则C点到AB的距离为【方法1】(　　)

A. B. C. D.

2．如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A，B，C都在网格点上，则AB边上的高为(　　)

A. B. C. D.

第2题图 第6题图

类型二　结合乘法公式巧求面积或周长

3．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为(　　)

A．96 B．49 C．24 D．48

4．若一个直角三角形的面积为6cm²，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是(　　)

A．7cm B．10cm

C．(5＋)cm D．12cm

类型三　巧妙分割求面积

5．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．

类型四　“勾股树”及其拓展类型中有关面积的计算

6．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm，B的边长为5cm，C的边长为5cm，则正方形D的边长为(　　)

A.cm B．4cm C.cm D．3cm

7．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为(　　)

A．4 B．36 C．16 D．55

第7题图 第8题图

8．(青海中考)如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S₁，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S₂……按照此规律继续下去，则S₉的值为(　　)

A. B. C. D.

类型五　“赵爽弦图”中有关面积的计算

9．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是(　　)

A．9 B．36 C．27 D．34

第9题图 第10题图

10．(永州零陵区校级模拟)如图是4个全等的直角三角形与1个正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x＞y)，下列四个说法：①x²＋y²＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9.其中说法正确的是(　　)

A．①② B．①②③

C．①②④ D．①②③④

参考答案与解析

1．B

2．A　解析：过点C作CD⊥AB于点D.∵S_△ABC＝2²－×1×2－×1×1－×1×2＝，又∵S_△ABC＝AB·CD，∴AB·CD＝.∵AB＝＝，∴CD＝.故选A.

3．C　解析：设该直角三角形的两直角边长分别为a，b，则有a＋b＝14①，a²＋b²＝10²②.①两边同时平方，得a²＋b²＋2ab＝14²，所以2ab＝96，所以ab＝48，ab＝24.故选C.

4．D

5．解：连接AC，过点C作CE⊥AD交AD于点E.∵AB⊥BC，∴∠CBA＝90°.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝＝13.∵CD＝13，∴AC＝CD，即△ACD是等腰三角形．∵CE⊥AD，∴AE＝AD＝×10＝5.在Rt△ACE中，由勾股定理得CE＝＝＝12.∴S_{四边形ABCD}＝S_△ABC＋S_△CAD＝AB·BC＋AD·CE＝(12×5＋10×12)＝90.

6．A　7.C

8. A　解析：在图中标上字母E，如图所示．∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE²＋CE²＝CD²，DE＝CE，∴S₂＋S₂＝S₁.观察，发现规律：S₁＝2²＝4，S₂＝S₁＝2，S₃＝S₂＝1，S₄＝S₃＝，…，∴S_n＝.当n＝9时，S₉＝＝.故选A.

9．B　解析：大正方形的面积为3²＋6²＝45，小正方形的面积为(6－3)²＝9，则面积差为45－9＝36.故选B.

10．B　解析：由题意得①－②得2xy＝45③，∴2xy＋4＝49，①＋③得x²＋2xy＋y²＝94，∴x＋y＝，∴①②③正确，④错误．故选B.