【324239】2024八年级数学下册 专题6.14 “设参求值”解决反比例函数问题（基础篇）（新版）

专题6.14 “设参求值”解决反比例函数问题（基础篇）

一、单选题

1．已知反比例函数 和 在第一象限内的图象如图所示，则△AMN的面积为（　　）

A．3 B． C． D．4

2．如图，在直角坐标系中，点 ，点 在第一象限（横坐标大于 ）， 轴于点 ， ，双曲线 经过 中点 ，并交 于点 ．若 ，则 的值为（    ）．

A． B． C． D．

3．如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交反比例函数 ， 的图象于点A，B．若C是y轴上任意一点，则 的面积为（    ）

A．4 B．6 C．9 D．

4．如图，点 ， 在双曲线 第一象限的分支上，若 ， 的纵坐标分别是 和 ，连接 ， ， 的面积是 ，则 的值是（    ）

A． B． C． D．

5．如图，已知A是双曲线 上一点，过点A作 轴，交双曲线 于点B，若 ，则 的值为（　　）

A． B． C． D．

6．如图，平行于y轴的直线l分别与反比例函数 （x＞0）和 （x＞0）的图象交于M、N两点，点P是y轴上一动点，若△PMN的面积为2，则k的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

7．如图，反比例函数 （x＜0）的图象经过正方形ABCD的顶点A，B，连接AO，BO，作AF⊥y轴于点F，与OB交于点E，E为OB的中点，且 ，则k的值为（    ）

A． B． C． D．

8．如图，直线AB交双曲线 于A、B两点，交 轴于点C，点B为线段AC的中点，若△OAC的面积为12，则 的值为（    ）

A．12 B．8 C．6 D．4

9．如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数 和 的图象交于P、Q两点．若S_△POQ＝15，则k的值为（　　）

A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22

10．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边 轴，垂足为E，点B在y轴正半轴上，点C的横坐标为10， ，若反比例函数 的图象同时经过C、D两点，则k的值（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数 的图象上，顶点B在函数 的图象上，∠ABO＝30°，则 _____．

12．如图，在反比例函数 的图象上有一点A向x轴作垂线交x轴于点C，B为线段 的中点，又D点在x轴上，且 ，则 的面积为__________．

13．如图， 、 是函数 上两点， 为一动点，作 轴， 轴，若 ，则 ______．

14．如图，点A在反比例函数 第二象限内的图象上，点 在 轴的负半轴上，若 ，则 的面积为___________．

15．如图， 是等腰三角形， 过原点O，底边 轴，双曲线 过A，B两点，过点C作 轴交双曲线于点D，若 ，则k的值是__________．

16．如图，已知点 是反比例函数 图象上的动点， 轴， 轴，分别交反比例函数 （ ）的图象于点 、 ，交坐标轴于点 、 ，连接 ．则 的面积是______．

17．如图，正方形 ，矩形 的顶点O，A，D，B在坐标轴上，点E是 的中点，点P，F在函数 图象上，则点F的坐标是__________．

18．如图，点A，B分别在函数 ， 的图象上，点D，C在x轴上．若四边形 为正方形．则点A的坐标是______．

三、解答题

19．如图，点 在反比例函数 的图象上， 轴，且交y轴于点C，交反比例函数 的图象于点B，已知 ．

(1)求反比例函数 的解析式；

(2)点D为反比例函数 图象上一动点，连接 交y轴于点E，当E为 中点时，求 的面积．

20．如图，A，B是双曲线y= (x>0)上任意两点，点P在△OAB内，且PB∥y轴，PA∥x，若△BOP的面积为4．

(1)求△AOP的面积；

(2)求△ABP的面积．

21．如图，矩形 的两边 的长分别为3、8.边BC落在x轴上，E是DC的中点，连接AE，反比例函数 的图象经过点E，与AB交于点F．

1. 直接写出AE的长；

2. 若 ，求反比例函数的解析式．

22．如图，矩形 的顶点 ， 在 轴的正半轴上，点 在点 的右侧，反比例函数 = 在第一象限内的图象与直线 = 交于点 ，且反比例函数 = 交 于点 ， ．

(1)求 点的坐标及反比例函数的关系式；

(2)连接 ，若矩形的面积是 ，求出 的面积．

23．如图，在 中， ， 轴，垂足为A．反比例函数 的图象经过点C，交 于点D．已知 ．

(1)若 ，求k的值；

(2)连接 ，若 ，求 的长．

24．如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐标为(8，6)，双曲线 的图像经过点A．

1. 菱形OABC的边长为；

2. 求双曲线的函数关系式；

3. 点B关于点O的对称点为D点，过D作直线l垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，

①将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标．

②点E在双曲线上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标．

参考答案

1．B

【分析】设点 ，则点 ，点 ，可得 ， ，再由△AMN的面积为 ，即可求解．

解：设点 ，则点 ，点 ，

∴ ， ，

∴△AMN的面积为 ．

故选：B

【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：在反比例函数 图象上任一点的横坐标与纵坐标的乘积等于k．

2．B

【分析】设 的坐标为 ，根据 ， ；得到 ， 的坐标；根据 是 的中点， ，得 的坐标为 ，根据点在反比例函数图象上，代入 ，即可．

解：设 的坐标为 ，则 ， ，

∵ ，

∴ ，

∵ 是 的中点， ，

∴ 的坐标为 ，

∵点 、 在 上，

∴

联立 可得 ，

∴ ．

故选：B．

【点拨】本题考查反比例函数的知识，解题的关键是掌握勾股定理，中点坐标，反比例函数的性质．

3．A

【分析】根据题意，设点 ，则 ，从而得出点C到直线 的距离为a， ，最后根据三角形的面积公式即可求解．

解：如图：设点 ，

∵直线 轴，

∴点B的横坐标为a，则 ，

∴点C到直线 的距离为a，

∵ ，

∴ ，

故选：A．

【点拨】本题主要考查反比例函数图象k的几何意义，解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数k的几何意义．

4．B

【分析】如图所示，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，可求出 ，再根据 即可求解．

解：如图所示，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，

点 ， 在反比例函数 的图像上， ， 的纵坐标分别是 和 ，

∴ ， ，即 ， ，

∴ ， ，即 ， ，且 ， ，

， ，则 ，

，

，解得 ，

故选： ．

【点拨】本题主要考查反比例函数与几何图形的变换，掌握反比例函数图形的性质，几何图形的面积计算方法是解题的关键．

5．C

【分析】首先根据 、 点所在位置设出 、 两点的坐标，再利用勾股定理表示出 ， 以及 的长，再表示出 ，进而可得到 ．

解：

解： 点在双曲线 上一点，

设 ， ，

轴， 在双曲线 上，

设 ， ，

， ，

，

，

，

，

，

，

故选：C．

【点拨】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，以及勾股定理的应用，关键是表示出 、 两点的坐标．

6．B

【分析】由题意易得点M到y轴的距离即为△PMN以MN为底的高，点M、N的横坐标相等，设点 ，则有 ，进而根据三角形面积公式可求解．

解：由平行于y轴的直线l分别与反比例函数 （x＞0）和 （x＞0）的图象交于M、N两点，可得：点M到y轴的距离即为△PMN以MN为底的高，点M、N的横坐标相等，

设点 ，

∴ ，

∵△PMN的面积为2，

∴ ，

解得： ；

故选B．

【点拨】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数与几何的综合是解题的关键．

7．D

【分析】过点B作BG⊥y轴交于点G，得到EF是△BOG的中位线，EF= BG，设A（a， ），B（b， ），得到E点坐标为（ ， ），设OB的解析式为y=k₁x，代入E，B坐标得到a=2b，根据S_△AOE= 得到S_△AOE= ，故可求出k的值．

解：过点B作BG⊥y轴交于点G，

∵AF⊥y轴，BG⊥y轴，

∴AF BG

∵E点是OB的中点

∴EF是△BOG的中位线

∴EF= BG

设A（a， ），B（b， ），

∴BG=-b，EF=

则E点坐标为（ ， ），

设OB的解析式为y=k₁x，（k₁≠0），过E点

∴ = k₁

∴k₁=

∴OB的解析式为y= x，

代入B点，即 = ×b

∴a=2b

∴S_△AOE=

把a=2b代入得S_△AOE= =3

∴k=-8

故选D．

【点拨】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质、待定系数法、三角形中位线的性质．

8．B

【分析】设 点坐标为 ， 点坐标为 ，根据线段中点坐标公式得到 点坐标为 ， ，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到 ，得到 ，然后根据三角形面积公式得到 ，即可求得 的值．

解：设 点坐标为 ， 点坐标为 ，

恰为线段 的中点，

点坐标为 ， ，

点在反比例函数图象上，

，

，

，

，

，

，

故选：B．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．

9．D

【分析】设点P（a，b），Q（a， ），则OM＝a，PM＝b，MQ＝ ，则PQ＝PM+MQ＝ ，再根据ab＝8，S_△POQ＝15，列出式子求解即可．

解：设点P（a，b），Q（a， ），则OM＝a，PM＝b，MQ＝ ，

∴PQ＝PM+MQ＝ ．

∵点P在反比例函数y＝ 的图象上，

∴ab＝8．

∵S_△POQ＝15，

∴ PQ•OM＝15，

∴ a（b﹣ ）＝15．

∴ab﹣k＝30．

∴8﹣k＝30，

解得：k＝﹣22．

故选：D．

【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．

10．A

【分析】由菱形的性质结合题意可知 ，设 ，则 ．根据勾股定理可求出 ，从而可求出 ，即得出 ，再代入反比例函数解析式即可解出k的值．

解：根据题意可知 ，设 ．

∵菱形 的边 轴，

∴ 轴，

∴ ．

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

将 代入 ，得： ，

解得： ．

故选：A．

【点拨】本题考查反比例函数与几何的综合．涉及菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．

11．﹣3

【分析】设AC＝a，则OA＝2a，可得OC＝ a，根据直角三角形30°角的性质和勾股定理分别计算点A和B的坐标，写出A和B两点的坐标，代入解析式求出 和 的值，相比即可．

解：如图，

Rt△AOB中，∠B＝30°，∠AOB＝90°，

∴∠OAB＝60°，

∵AB⊥x轴，

∴∠ACO＝90°，

∴∠AOC＝30°，

设AC＝a，则OA＝2a，

∴OC＝ a，

∴A（ a，a），

∵顶点A在函数 （x＞0）的图象上，

∴ a×a＝ a²，

在Rt△BOC中，OB＝2OC＝2 a，

∴BC＝ ＝3a，

∴B（ a，﹣3a），

∵顶点B在函数 （x＞0）的图象上，

∴ ﹣3a× a＝﹣3 ，

∴ ＝﹣3，

故答案为：﹣3．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的特征、直角三角形30°的性质，熟练掌握直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半，正确写出A、B两点的坐标是关键．

12．6

【分析】设 ，则有 ， ，根据函数解析式可知 ，再根据三角形的面积公式求解．

解：设 ，

∵ ，

∴ ， ，

由反比例函数 可知： ，

∵B为线段 的中点， ，

∴ ， ，

∴ ．

故答案为：6．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标与系数的关系，反比例函数的系数与图象面积的关系．关键是明确线段之间的关系．

13．

【分析】设 、 ，根据 找到 、 之间的关系，最后表述出 ，整体代入求值即可．

解：设 、 ，

∴

∴ ， ，

∴ ，整理得 ，

∴ ，

故答案为：4．

【点拨】本题考查的是反比例函数的性质、三角形面积公式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解本题的关键．

14．8

【分析】设点A的坐标为 ，过点A作 轴，垂足为 ，得到 ， ，根据 得到 ，根据三角形的面积公式得 ，再根据点 在反比例函数 的图象上得到 ，从而得到答案．

解：设点A的坐标为 ，过点A作 轴，垂足为 ，

由题意得 ， ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∵点A在反比例函数 的图象上，

∴ ，

∴ ，

，

故答案为：8．

【点拨】本题考查反比例函数、等腰三角形的性质等，熟悉掌握反比例函数的性质、等腰三角形的性质以及三角形的面积公式是本题的解题关键．

15．6

【分析】过点A作 于点E，设点 ，则点 ，根据△ABC是等腰三角形，可得BC=4a，从而得到点C的坐标为 ，点D的纵坐标为 ，进而得到 ，再由 ，即可求解．

解：如图，过点A作 于点E，

设点 ，则点 ，

∴ ，

∵ 是等腰三角形，

∴ ，

∵底边 轴，

∴点C的坐标为 ，

∵ 轴，

∴点D的横坐标为 ，

∴点D的纵坐标为 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，解得： ．

故答案为：6

【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，能够利用k表示出 和 的长度是解决本题的关键．

16． ##

【分析】设点A的坐标为 ，可得点B的坐标为 ，点C的坐标为 ， ，从而得到 ，即可求解．

解：设点A的坐标为 ，

∵ 轴， 轴，分别交反比例函数 （ ）的图象于点 、 ，

∴点B的坐标为 ，点C的坐标为 ， ，

∴ ，

∴ 的面积是 ．

故答案为：

【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．

17． ##

【分析】设点P的坐标为 ，根据正方形的性质得到 ，求出 ，则 ，进而求出 ，再由矩形的性质得到点F的纵坐标为 ，由此即可得到答案．

解：设点P的坐标为 ，

∵四边形 是正方形，

∴ ，

∴ ，

∴ （负值舍去），

∴ ，

∵点E是 的中点，

∴ ，

∵四边形 是矩形，

∴点F的纵坐标为 ，

当 时， ，

∴ ，

故答案为： ．

【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，矩形的性质，正确求出点P的坐标是解题的关键．

18．

【分析】设点A的纵坐标为n，则点B的纵坐标为n，根据点A，B分别在函数 ， 的图象上得 ， ，根据四边形 为正方形得 ，解得 ，得点A的纵坐标为5，将 代入 ，进行计算即可得．

解：设点A的纵坐标为n，则点B的纵坐标为n，

∵点A，B分别在函数 ， 的图象上，

∴ ， ，

∵四边形 为正方形，

∴

，

， （舍），

∴点A的纵坐标为5，

将 代入 得， ，

，

∴ ，

故答案为： ．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．

19．(1) ；(2)3

【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数 求得点A坐标，根据AC=2BC求出点B的坐标，然后把点B的坐标代入 中求得k的值，即可求出 的解析式．

（2）设 ．根据AD的中点E在y轴上求出点D和点E坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．

（1）解：∵点 在反比例函数 的图象上，

∴ ．

∴a=2．

∴ ．

∵ 轴，且交y轴于点C，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∴ ．

∴把点B坐标代入 得 ．

∴ ．

∴该反比例函数的解析式为 ．

（2）解：设 ．

∵ ，点E为 的中点，

∴ ．

∵点E在y轴上，

∴ ．

∴ ．

∴ ， ．

∴ ．

∴ ， ．

∴ ．

∴△OAD的面积为3．

【点拨】本题考查根据函数值求自变量，待定系数法求反比例函数解析式，中点坐标，熟练掌握这些知识点是解题关键．

20．(1)4；(2)8

【分析】（1）设B (m， )， A (n， )，则P(m， )，由△BOP的面积为4推出n=3m，利用三角形面积公式即可求解；

（2）同理，利用三角形面积公式即可求解．

（1）解：∵A，B是双曲线y= (x>0)上任意两点，

∴设B (m， )， A (n， )，则P(m， )，

∴AP=n-m，BP= - ，

∵△BOP的面积为4．

∴ BP•xP= ( - ) •m=4，

∴n=3m，

∴△AOP的面积= AP•yP= (n-m) • =4；

（2）解：同（1）△ABP的面积= AP•BP= (n-m)•( - )

= (3m-m)•( - )

= ．

【点拨】本题考查了反比例函数与几何的综合，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

21．(1)5；(2)

【分析】（1）根据勾股定理即可求解；

（2）设E点的坐标为（x，4），F点的坐标是（x−3，1），代入 求出x，再求出m，即可得出答案．

解：（1）∵矩形 的两边 的长分别为3、8，

∵点E为DC的中点，

∴CE=DE=4，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝ ；

（2）∵AF−AE＝2，

∴AF＝5＋2＝7，

∴BF＝8−7＝1，

设E点的坐标为（x，4），F点的坐标是（x−3，1），

代入 得：m＝4x＝（x−3）•1，

解得：x＝−1，

即m＝−4，

所以当AF−AE＝2时反比例函数表达式是 ．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质等知识点，能求出E点的坐标是解此题的关键．

22．(1) ；(2)

【分析】（1）根据 ，得到点 的纵坐标为 ，代入 ，解之，求得点 的坐标，再代入 ，得到 的值，即可得到反比例函数的关系式，

（2）根据矩形的面积是 ，结合 ，求得线段 ，线段 的长度，得到点 ，点 的横坐标，代入反比例函数的解析式，得到点 的坐标，根据 ，代入求值即可得到答案．

（1）解：根据题意得：

点 的纵坐标为 ，

把 代入 得：

，

解得： ，

即点 的坐标为： ，

把点 代入 得：

，

解得： ，

即反比例函数的关系式为： ；

（2）解：设线段 ，线段 的长度为 ，

根据题意得： ，

解得： ，

即点 ，点 的横坐标为： ，

把 代入 得：

，

即点 的坐标为： ，

线段 的长度为 ，

．

【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形综合，掌握反比例数的性质是解题的关键．

23．(1)5；(2)

【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出 的长，再利用勾股定理得出 的长，得出C点坐标即可得出答案；

（2）连接 ，首先表示出D，C点坐标进而利用反比例函数图象上的性质求出C点坐标，再利用勾股定理得出 的长．

（1）解：作 ，垂足为E，   

， ，

．

在 中， ， ，

，

，

点的坐标为： ，

点C在 的图象上，

，

（2）解：设A点的坐标为 ，   

，

，

，C两点的坐标分别为： ， ．

点C，D都在 的图象上，

，

，

点的坐标为： ，

作 轴，垂足为F，

， ，

在 中，

，

．

【点拨】本题属于反比例函数综合题，考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象上的性质，正确得出C点坐标是解题关键，学会利用特殊位解决问题．

24．(1)10；(2) ；(3)①Q(10，－ )；②当点E坐标为 或（8，－6）或 时，以P、E、A、B四点构成的四边形是平行四边形

【分析】（1）连接AC交y轴于点J，根据菱形的性质得 ， ， ，根据点C的坐标得 ， ，根据勾股定理即可得；

（2）先求出点A的坐标，然后用待定系数法即可求出反比例函数解析式；

（3）①过点A作 ，过点Q作 ，先求出AT=18，然后证明 得到 ，即可得点Q的横坐标；②分别以AB为以P、E、A、B四点构成平行四边形的边和对角线两种情况讨论求解即可得．

（1）解：如图所示，连接AC交y轴于点J，

∵四边形OABC是菱形，

∴ ， ， ，

∵点C的坐标为（8，6），

∴ ， ，

∴ ，

即菱形OABC的边长为10，

故答案为：10．

（2）解：∵ ， ，

∴点A的坐标为（－8，6），

∵反比例函数 经过点A（－8，6），

∴ ，

，

∴反比例函数解析式为 ．

（3）解：①如图所示，过点A作 ，过点Q作 ，

∵ ，

∴ ，

∴点B的坐标为（0，12），

∴点D的坐标为（0，－12），

∴直线l为 ，

∵点A的坐标为（－8，6），直线l为 ，

∴AT=18，

∵ ，

∴ ， ，

∴ ，

在 和 中，

∴ （AAS），

∴ ，

∴点Q的横坐标为10，

∵点Q在反比例函数 上，

∴ ，

∴点Q的坐标为 ．

②设点E的坐标为 ，点P的坐标为（a，－12），

当AB是以P、E、A、B四点构成平行四边形的对角线时，

∵线段AB与线段PE的中点坐标相同，

∴ ，

解得， ，

∴点E的坐标为 ，

如图所示，当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为 时，

∵ 与 的中点坐标相同时，

∴ ，

解得，m=8，

∴ 的坐标为（8，－6），

同理可求出当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为 时，点 的坐标为 ，

综上，当点E坐标为 或（8，－6）或 时，以P、E、A、B四点构成的四边形是平行四边形．

【点拨】本题考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，坐标与图形，解题的关键是掌握这些知识点．