【324232】2024八年级数学下册 专题6.7 反比例函数的图象和性质（巩固篇）（新版）浙教版

专题6.7 反比例函数的图象和性质（巩固篇）

一、单选题

1．如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（    ）

A． B． C． D．

2．运用你学习函数的经验，判断以下哪个函数的图像如图所示（　　）

A． B． C． D．

3．如图，函数 与 在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ）

A． B． C． D．

4．反比例函数 （m为常数）的图象在第二、四象限，那么m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．若反比例函数 的图象经过点 ，则它的图象也一定经过的点是（    ）

A． B． C． D．

6．若点 ， ， 在反比例函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

7．已知反比例函数y= 的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（　　）.

A．（－1，2） B．（－2， ） C．（－2，3） D．（1，－2）

8．如图所示，直线y＝－ x与双曲线y＝ 交于A，B两点，点C在x轴上，连接AC，BC．当AC⊥BC，S_△ABC＝15时，k的值为（    ）

A．－10 B．－9 C．－6 D．－4

9．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 在 轴正半轴上， 是 的中线，点 、 在反比例函数 的图象上，则 的面积等于（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

10．如图，在以 为原点的直角坐标系中，矩形 的两边 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，反比例函数 的图像与 相交于点 ，与 相交于点 ，若 ，且 的面积是 ，则 （    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．已知正比例函数 与反比例函数 的图象交于点 和点 ，则点 的坐标为________．

12．若反比例函数y= （m≠0）与正比例函数y=7x无交点，则m的取值范围是___________

13．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为函数 图象上的两点，且x₁＜0＜x₂，y₁＞y₂，则实数k的取值范围是__．

14．如果反比例函数 （k是常数，且 ）的图象经过点 ，那么这个反比例函数的图象在第______象限．

15．已知函数 ， ，当 时，函数 的最大值为 ，函数 的最小值为 ，则 的值为______．

16．反比例函数 的图像经过点（3，1）、（ ，2）、（ ，3），比较大小： ________ ．

17．如图所示，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 的顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上， ， 轴于点 ，点 在函数 的图象上，若 ，则 的值为___．

18．如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数 的图象经过点C， 的图象经过点B．若 ，则 ________．

三、解答题

19．如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 和 的图象相交于点 ，反比例函数 的图象经过点 .

（1）求反比例函数的表达式；

（2）设一次函数 的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为 ，连接 ，求 的面积.

20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点 ．

1. 求点 的坐标和反比例函数的解析式；

2. 点 是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，连接 ， ，求 的面积．

21．如图，点 在反比例函数 的图象上，点B在y轴上， ，将线段 向右下方平移，得到线段 ，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且 ．

1. 点B的坐标为__________，点D的坐标为__________，点C的坐标为__________（用含m的式子表示）；

2. 求k的值和直线 的表达式．

22．如图，已知一次函数y₁＝kx＋b的图像与函数y₂＝ （x＞0）的图像交于A（6，－ ），B（ ，n）两点，与y轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F．

(1)求y₁与y₂的解析式；

(2)观察图像，直接写出y₁＜y₂时x的取值范围；

(3)连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为．

23．如图，点P为x轴负半轴上的一个点，过点P作x轴的垂线，交函数 的图像于点A，交函数 的图像于点B，过点B作x轴的平行线，交 于点C，连接AC．

（1）当点P的坐标为（﹣1，0）时，求△ABC的面积；

（2）若AB＝BC，求点A的坐标；

（3）连接OA和OC．当点P的坐标为（t，0）时，△OAC的面积是否随t的值的变化而变化？请说明理由．

24．如图1，木匠陈师傅现有一块五边形 木板，它是矩形 木板用去 后的余料， ， ， ， 是 边上一点．陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在 上．

1. [初步探究]

当 时．

①若截取的矩形有一边是 ，则截取的矩形面积的最大值是______；

②若截取的矩形有一边是 ，则截取的矩形面积的最大值是______；

2. [问题解决]

如图2，陈师傅还有另一块余料， ， ， ， ， ，且 和 之间的距离为4，若以 所在直线为 轴， 中点为原点构建直角坐标系，则曲线 是反比例函数 图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形 材料，其中一条边在 上，所截矩形 材料面积是 ．求 的长．

参考答案

1．B

【分析】先根据点A（-1，1）是反比例函数 图象上一点，求出k的值，进而逐项分析判断即可求解．

解：∵点A（-1，1）是反比例函数 图象上一点，

∴ ，

A、 ，点 不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；

B、 ，点 在反比例函数图象上，故本选项符合题意；

C、 ，点 不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；

D、 ，点 不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点拨】本题考查反比例函数图象上各点的坐标特征，即反比例函数图象上各点坐标符合 ，且k为定值．

2．C

【分析】根据图象可知x无论取任何数y始终大于0，且在 时有最大值，再逐项判断即可．

解：A．当 时， ，故与题干中图象不符，该选项不合题意；

B．当 时， 无意义，故与题干中图象不符，该选项不合题意；

C．当自变量x取其相反数时， ，且当 时， 为最大值，与题干中图象相符，该选项符合题意；

D．当 时， 无意义，故与题干中图象不符，该选项不合题意．

故选C．

【点拨】本题考查识别函数图象，解题的关键是根据图象得出该函数的性质．

3．B

【分析】根据反比例函数和一次函数的图象与性质即可得．

解：对于一次函数 ，

当 时， ，

即一次函数 一定经过点 ，则选项C、D不符合题意；

选项A中，由函数 的图象可知， ，由一次函数 的图象可知， ，即 ，两者不一致，此项不符题意；

选项B中，由函数 的图象可知， ，由一次函数 的图象可知， ，即 ，两者一致，此项符合题意；

故选：B．

【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题关键．

4．A

【分析】利用反比例函数的性质：当 时，图象过一、三象限；当 时，图象过二、四象限可得到答案．

解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

故选：A．

【点拨】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数中 的意义以及相对应图象所在象限的位置是解题的关键．

5．C

【分析】先利用反比例函数 的图象经过点 ，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．

解：∵反比例函数 的图象经过点 ，

∴k＝2×（﹣3）＝﹣6，

∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6，

（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，

1×（﹣6）＝﹣6，

,6×1＝6≠﹣6，

则它一定还经过（1，﹣6），

故选：C．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

6．C

【分析】先由 得到函数的图象分别在第二象限和第四象限内，在每个象限内y随x的增大而增大，然后得到 ， ， 的大小关系即可．

解：∵反比例系数中， ，

∴反比例函数图象分别在第二象限和第四象限内，在每个象限内函数值y随x的增大而增大，

，

，

故选：C．

【点拨】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟知反比例函数的增减性和反比例系数的关系．

7．B

【分析】先根据反比例函数y= 的增减性判断出k的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．

解：∵反比例函数y= 的图象经过点A，且y随x的增大而减小，

∴ ，解得 ；

A．当x=-1，y=2时，2= ，解得k=3﹥1，此选项不符合题意；

B．当x=－2，y= 时， ，解得k=0 ，此选项符合题意；

C．当x=-2，y=3时， ，解得k=7﹥1，此选项符合题意；

D．当x=1，y=-2时， ，解得k=3﹥1，此选项不符合题意；

故选：B．

【点拨】本题考查了反比例函数的性质、待定系数法，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答的关键．

8．B

【分析】先利用自正比例函数和反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，OA＝OB，再根据斜边上的中线性质得到OA＝OB＝OC，设设B（t，− t），则 A（−t， t），利用勾股定理表示出OA＝ ，OC＝ ，接着利用三角形面积公式得到 × ×（ t+ t）＝15，解出t得到A（− ，2 ），进而可求出k的值．

解：∵直线y＝－ x与双曲线y＝ 交于A，B两点，

∴点A与点B关于原点对称，OA＝OB，

∵AC⊥BC，

∴∠ACB＝90°，

∴OA＝OB＝OC，

设B（t，− t），则 A（−t， t），

∴OA＝ ，

∴OC＝ ，

∵S_△ABC＝15，

∴ × ×（ t+ t）＝15，解得t＝ ，

∴A（− ，2 ），

把A（− ，2 ）代入y＝ ，得k＝− ×2 ＝−9．

故选：B．

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握正比例函数图像和反比例函数图像的中心对称性，是解题的关键，也考查了待定系数法求函数解析式和直角三角形的性质．

9．B

【分析】设点 的坐标为 ，然后根据中线的性质分别用含有 的代数式表示点 和点 的坐标，然后计算 的面积即可．

解：设点

∵ 是 的中线，

∴点 是 的中点，

∴

∵点 、 在反比例函数 的图象上，

∴

∴

∴

∴

∴

故选B．

【点拨】本题主要考查反比例函数图象的面积问题，能够运用中线的性质表示点的坐标并代入运算是解决本题的关键．

10．C

【分析】设点D的坐标为 ，则易得点B的坐标为 ，点E的坐标为 ，由此可得出BE= ，由点D在反比例函数 的图像上得 ，由 可求得k的值．

解：设点D的坐标为 ，

∵BD=3AD，

∴AB=AD＋BD=4AD=4m，

∴点B的坐标为 ，

∵点E在反比例函数的图象上，且BC∥OA，

∴点E的坐标为 ，

,

∵点D在反比例函数 的图像上，

，

，

∴ ，

．

故选：Ｃ．

【点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，结合图形，分析图形面积关系是解决本题的关键．

11．

【分析】点A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得m，能够根据中心对称的性质，求得另一个交点B的坐标．

解：把 代入 ，得

，

∴ ，

∵正比例函数 与反比例函数 的图象交于点 和点 ，

∴点 和点 关于原点对称，

∴ ．

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用到了过原点的直线与反比例函数图象的两个交点坐标关于原点对称的知识．

12．m<0

【分析】根据反比例函数和一次函数的性质即可求解．

解：∵正比例函数y=7x中，7＞0，

∴正比例函数y=7x的图象过第一、三象限，

∵反比例函数y= （m≠0）与正比例函数y=7x无交点，

∴反比例函数y= （m≠0）的图象过第二、四象限，

∴m＜0．

故答案为：m＜0．

【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数和反比例函数的性质，熟知一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．

13．﹣1＜k＜1

【分析】根据函数值的大小关系，判别函数的图象位置，根据位置判定比例系数的大小，再解不等式．

解：因为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为函数 图象上的两点，且x₁＜0＜x₂，y₁＞y₂，

所以函数图象分支在二、四象限

所以k²-1<0

解得﹣1＜k＜1

故答案为：﹣1＜k＜1

【点拨】考核知识点：反比例函数的图象．数形结合，熟记反比例函数的性质是关键．

14．二、四

【分析】将点 代入 求出k的值，再根据反比例函数的性质，即可进行解答．

解：将点 代入 得： ，

解得： ，

∵ ，

∴这个反比例函数的图象在第二、四象限．

故答案为：二、四．

【点拨】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数 ，当 时，图象经过二、四象限；当 时，图象经过一、三象限．

15．2

【分析】根据k>0，2≤x≤4，确定y₁的值随x值的增大而减小，y₂的值随x值的增大而增大，由此得到当x=2时，y₁的最大值为 =a，当x=2时，y₂的最小值为− =a−4，列式-a=a-4计算即可求出答案．

解：∵k>0，2≤x≤3，

∴y₁的值随x值的增大而减小，y₂的值随x值的增大而增大．

∴当x=2时，y₁的最大值为 =a，

当x=2时，y₂的最小值为− =a−4．

∴−a=a−4，解得a=2．

故答案为：2．

【点拨】此题考查反比例函数y= 的性质：当k>0时，每个象限内y随x的增大而减小；当k<0时，每个象限内y随x的增大而增大，熟记性质是解题的关键．

16．

【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数图像的性质求解即可；

解：∵反比例函数 的图像经过点（3，1），

∴ ，

∴反比例函数解析式为 ，

∴在每一象限y随x的增大而减小，

∵ ，

∴ ，

故答案是： ．

【点拨】本题主要考查了反比例函数解析式求解及反比例函数的图像性质，准确计算是解题的关键．

17．

【分析】作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC＝2BD，再证得四边形OADB是矩形，利用AC⊥x轴得到C（1，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值．

解：作BD⊥AC于D，如图，

∵ ABC为等腰直角三角形，

∴BD是AC的中线，

∴AC＝2BD，

∵AC⊥x轴，BD⊥AC，∠AOB＝90°，

∴四边形OADB是矩形，

∴BD＝OA＝1，

∴AC＝2，

∴C（1，2），

把C（1，2）代入y＝ 得k＝1×2＝2．

故答案为：2

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝ （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了等腰直角三角形的性质．

18．3

【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先证四边形CDEB为矩形，得出CD=BE，再证Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根据S_{平行四边形}OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA= 即可．

解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，

∴CD∥BE，

∵四边形ABCO为平行四边形，

∴ ，即 ，OC=AB，

∴四边形CDEB为平行四边形，

∵CD⊥OA，

∴四边形CDEB为矩形，

∴CD=BE，

∴在Rt△COD和Rt△BAE中，

，

∴Rt△COD≌Rt△BAE（HL），

∴S△OCD=S△ABE，

∵OC=AC，CD⊥OA，

∴OD=AD，

∵反比例函数 的图象经过点C，

∴S△OCD=S△CAD= ，

∴S_{平行四边形}OCBA=4S△OCD=2，

∴S△OBA= ，

∴S△_OBE=S△_OBA+S△_ABE= ，

∴ ．

故答案为3．

【点拨】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质．

19．（1）反比例函数的表达式为 ；（2） 的面积为 .

【分析】（1）联立两一次函数解出A点坐标，再代入反比例函数即可求解；

（2）联立一次函数与反比例函数求出B点坐标，再根据反比例函数的性质求解三角形的面积.

解：（1）由题意：联立直线方程 ，可得 ，故A点坐标为（-2,4）

将A（-2,4）代入反比例函数表达式 ，有 ，∴

故反比例函数的表达式为

（2）联立直线 与反比例函数 ，

解得 ，当 时， ，故B（-8,1）

如图，过A，B两点分别作 轴的垂线，交 轴于M、N两点，由模型可知

S_梯形AMNB=S_△AOB，

∴S_梯形AMNB=S_△AOB= = =

【点拨】此题主要考查一次函数与反比例函数综合，解题的关键是熟知一次函数与反比例函数的图像与性质.

20．(1) ；(2)6

【分析】（1）由一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；

（2）作BD x轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，利用函数解析式求得B、D的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．

（1）解：∵一次函数y＝x＋2的图象过点A（1，m），

∴m＝1＋2＝3，

∴A（1，3），

∵点A在反比例函数 （x＞0）的图象上，

∴k＝1×3＝3，

∴反比例函数的解析式为 ；

（2）∵点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，

∴B（3，1），

作BD x轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，

代入y＝x＋2得，1＝x＋2，解得x＝−1，

∴D（−1，1），

∴BD＝3＋1＝4，

∴ ．

【点拨】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，注意数形结合思想的运用．

21．(1)（0，2），（1，0），（m＋1，2）；(2)4；y＝-2x＋6

【分析】（1）根据OB＝2可得点B的坐标，根据OD＝1可得点D的坐标为（1，0），由平移规律可得点C的坐标；

（2）根据点C和D的坐标列方程可得m的值，从而得k的值，再利用待定系数法可得直线AC的解析式．

解：（1）∵点B在y轴上， ，

∴B（0，2），

∵点D落在x轴正半轴上，且

∴D（1，0），

∴线段AB向下平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段CD，

∵点A（m，4），

∴C（m＋1，2），

故答案为：（0，2），（1，0），（m＋1，2）；

（2）∵点A和点C在反比例函数 的图象上，

∴k＝4m＝2（m＋1），

∴m＝1，

∴A（1，4），C（2，2），

∴k＝1×4＝4，

设直线AC的表达式为： ，

∴ 解得 ，

∴直线AC的表达式为：y＝-2x＋6．

【点拨】此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质，根据OB和OD的长得出平移的规律是解题关键．

22．(1) ， ；(2) ；(3)2．

【分析】（1）将两函数A、B的坐标值分别代入两个函数解析式求出未知系数即可；

（2）由图像可知当x在A、B两点之间时y₁<y₂，，所以x取值在A、B两点横坐标之间；

（3）根据平移性质可知 ，CF=t，求出两直线之间的距离即为△ACD的高CG，通过A、C坐标求出线段AC长，列出△ACD面积= 的代数式求解即可．

解：（1）∵一次函数y₁＝kx＋b的图像与函数y₂＝ （x＞0）的图像交于A（6，－ ），B（ ，n）两点，

∴ ，     ，

解得： ，   ，

∴y₁、y₂的解析式为： ， ；

（2）从图像上可以看出，当x在AB两点之间时，y₁<y₂，

∴x的取值范围为： ；

（3）

作CG⊥DE于G，如图，

∵直线DE是直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到，

∴ ，CF=t，

∵直线AB的解析式为 ，

∴直线AB与y轴的交点为C ，与x轴的交点为 ，

即直线AB与x、y坐标轴的交点到原点O的距离相等，

∴∠FCA=45°，

∵CG⊥DE， ，

∴CG⊥AC，CG等于平行线AB、DE之间的距离，

∴∠GCF=∠GFC=45°，

∴CG= = ，

∵A、C两点坐标为：A（6，－ ），C ，

∴线段AC= ，

∴ ，

∵△ACD的面积为6，

∴3t=6，

解得：t=2．

【点拨】本题综合考查了一次函数、反比例函数，熟练掌握通过已知函数图像上的点的坐标求函数解析式，通过图像查看自变量取值范围，灵活运用平移的性质是解题关键．

23．（1） ；（2）点A（−2， ）；（3）△OAC的面积不随t的值的变化而变化，理由见详解

【分析】（1）点P（−1，0）则点A（−1，1），点B（−1，4），点C（− ，4），S_△ABC＝ BC×AB，即可求解；

（2）设点P（t，0），则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t， ）、（ ， ），AB＝BC，即： -( )＝ −t，即可求解；

（3）由S_△OAC＝S_梯形AMNC＝ （ −t）（ ＋ ）＝ ，即可得到结论．

解：（1）点P（−1，0），则点A（−1，1），点B（−1，4），点C（− ，4），

∴S_△ABC＝ BC×AB＝ ×（− ＋1）×（4−1）＝ ；

（2）设点P（t，0），则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t， ）、（ ， ），

∵AB＝BC，

∴ -( )＝ −t，解得：t＝±2（舍去2），

∴点A（−2， ）；

（3）过点A作AM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N，

则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t， ）、（ ， ），

∴S_△OAC＝S_梯形AMNC＝ （ −t）（ ＋ ）＝ ，

∴△OAC的面积不随t的值的变化而变化．

【点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是通过函数关系，确定相应坐标，进而求解．

24．(1)①4；②10；(2)

【分析】（1）①当 为矩形一条边， 为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大；

②当 为矩形一条边， 为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大；

（2）由题意可知 ， ， ， ，再由 点在函数 图象上，求出反比例函数的解析式为 ，再求点 ， ，用待定系数法求出直线 的解析式，设 ，则 ，再由方程 ，求出 的值即可求 的长．

（1）解：①当 为矩形一条边， 为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，

， ，

，

截取的矩形面积的最大值4；

故答案为：4；

②当 为矩形一条边， 为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，

， ，

，

截取的矩形面积的最大值10；

故答案为：10；

（2）解： ，

， ，

，

， ，

点在函数 图象上，

，

反比例函数的解析式为 ，

和 之间的距离为4， ，

，

，

，

设直线 的解析式为 ，

，

解得 ，

，

设 ，则 ，

，

解得 ，

的长为 ．

【点拨】本题考查了反比例函数的图象及性质，矩形的性质，矩形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键．