【324241】2024八年级数学下册 专题6.16 “设参求值”解决反比例函数问题（培优篇）（新版）

专题6.16 “设参求值”解决反比例函数问题（培优篇）

一、单选题

1．如图，已知矩形ABCD的顶点A、B分别落在双曲线 上，顶点CD分别落在y轴、x轴上，双曲线 过AD的中点E，若OC=3，则k的值为（    ）

A．1.5 B．2 C．2.5 D．3

2．如图，在平面直角坐标系 中，点A的坐标是 ，点B是函数 图象上的一个动点，过点B作 轴交函数 的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧，且 ，连接 ．有如下四个结论：①四边形 可能是菱形；②四边形 可能是正方形；③四边形 的周长是定值；④四边形 的面积是定值．所有正确结论的序号是（    ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

3．如图，放置含30°的直角三角板，使点B在y轴上，点C在双曲线y= 上，且AB⊥y轴，BC的延长线交x轴于点D，若S_△ACD=3．则k=（     ）

A．3 B．3 C．6 D．9

4．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，2），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线 上，过点C作CE x轴交双曲线于点E，则CE的长为（　　）

A． B． C． D．

5．如图， 中，点 在第一象限，且 ， ，反比例函数 图像经过点 ，反比例函数 图像经过点 ，且点 的纵坐标为2，则 的值为（    ）

A．1 B． C． D．2

6．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点 ，我们把点 称为点 的“倒数点”．如图，矩形 的顶点 为 ，顶点 在 轴上，函数 的图像与 交于点 ．若点 是点 的“倒数点”，且点 在矩形 的一边上，则 的面积为（    ）

A． B． C． D．

7．如图，在平面直角坐标系 中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形 是边长为3的正方形，反比例函数 的图像与 边分别交于 两点， 的面积为4，点P为y轴上一点，则 的最小值为（    ）

A．3 B． C． D．5

8．如图，在直角坐标系中，以坐标原点 ， ， 为顶点的 ，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点 ，且点 恰好在反比例函数 的图象上，则 的值为（    ）

A．36 B．25 C．16 D．9

9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为36，则k的值为（　　）

A．6 B．9 C．12 D．24

10． 与 交于A、B两点， 交y轴于点C， 延长线交双曲线于点D，若 ，则 为（    ）

A．2 B．3 C． D．

二、填空题

11．如图，点 ， 在反比例函数 （ ， ）的图像上， 轴于点 ， 轴于点 ， 轴于点 ，连接 ，若 ， OD， ，则 的值为___．

12．如图，矩形 顶点坐标分别为 ， ， ．

（1）若反比例函数 与的图像过点D，则 ____________．

（2）若反比例函数与矩形 的边 分别交于点E、点F，且 的面积是 ，则反比例函数的表达式为____________．

（3）若反比例函数 的图像将矩形边界上横、纵坐标均为整数的点恰好等分成了两组，使两组点分别在双曲线两侧，则k的取值范围是_____________．

13．如图，已知正比例函数 与反比例函数 交于 、 两点，点 是第三象限反比例函数上一点，且点 在点 的左侧，线段 交 轴的正半轴于点 ，若 的面积是 ，则点 的坐标是______．

14．如图，已知点A是一次函数 图象上一点，过点A作 轴的垂线 ， 是 上一点 在A上方 ，在 的右侧以 为斜边作等腰直角三角形 ，反比例函数 的图象过点 ， ，若 的面积为 ，则 的面积是______．

15．如图，点 为直线 上的两点，过 两点分别作 轴的平行线交双曲线 于点 ，若 ，则 的值为________．

16．如图，正比例函数 与反比例函数 的图像交于点A，另有一次函数 与 、 图像分别交于B、C两点（点C在直线 的上方），且 ，则 __________．

17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， 是等边三角形，且点B的坐标为 ，点A在反比例函数 的图象上．

（1）反比例函数 的表达式为______；

（2）把 向右平移a个单位长度，对应得到 ．

①若此时另一个反比例函数 的图象经过点 ，则k和 的大小关系是：k______ （填“ ”、“ ”或“ ”）；

②当函数 的图象经 一边的中点时，则 ______．

18．如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为 轴、 轴正半轴上的点，以 为边，在第一象限内作矩形 ，且 ，将矩形 翻折，使点 与原点 重合，折痕为 ，点 的对应点 落在第四象限，过 点的反比例函数 的图像恰好过 的中点，则 的长为______．

  

三、解答题

19．如图，矩形 的面积为8，它的边 位于x轴上．双曲线 经过点A，与矩形的边 交于点E，点B在双曲线 上，连接 并延长交x轴于点F，点G与点О关于点C对称，连接 ， ．

(1)求k的值；

(2)求 的面积；

(3)求证：四边形AFGB为平行四边形．

20．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点 ，点 是反比例函数 的图象上一动点，过点 作直线 轴交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ，且 ，连接 ， ．

(1)求 ， 的值．

(2)当 的面积为3时，求点 的坐标．

(3)设 的中点为 ，点 为 轴上一点，点 为坐标平面内一点，当以 ， ， ， 为顶点的四边形为正方形时，求出点 的坐标．

21．阅读理解：已知，对于实数 ， ，满足 ，当且仅当 时，等号成立，此时取得代数式 的最小值．根据以上结论，解决以下问题：

(1)若 ，当且仅当 ______时， 有最小值，最小值为______．

(2)①如图13—1，已知点P为双曲线 上的任意一点，过点P作 轴， 轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标及周长最小值；

②如图13—2，已知点Q是双曲线 上一点，且 轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内是否存在一点C，使得以O、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

22．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，已知点 坐标为 ，点 的坐标为

(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；

(2)连接 、 ，求 的面积；

(3)观察图象直接写出 时x的取值范围是　　；

(4)直接写出：P为x轴上一动点，当三角形 为等腰三角形时点P的坐标　　．

23. 已知一次函数 与反比例函数 的图象交于 、B两点，交y轴于点C．

1. 求反比例函数的表达式和点B的坐标；

2. 过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；

3. 我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形 是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标 的值．

24．如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC，点 ．

(1)求m和k的值；

(2)x轴上是否存在一点D，使 为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．B

【分析】设A点坐标为 ，则 ，用 、 的代数式表示 、 、 坐标，根据双曲线 经过 的中点 ，列方程求出 ，再由矩形 对角线相等列方程求出 ，即可得A坐标，从而求出 ．

解：设A点坐标为 ，

则 ， ，

如图，过点A作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，

四边形 是矩形，

， ， ，

，

，

，

，

在 和 中，

，

，

， ，

，

，即 ，且 在 图象上，

， ，

，

点 是 的中点，

， ， ，

， ，

双曲线 经过 的中点 ，

，

解得 ，

， ， ，

而 ，且由矩形 可得 ，

，

解得 或 （舍去），

，

代入 得： ．

故选B．

【点拨】本题考查反比例函数、矩形的性质及应用，解题的关键是设 后，用含 、 的代数式表示 、 、 的坐标，然后根据等量关系列方程．

2．D

【分析】根据题意可知 ，结合 ，可知四边形ABCD是平行四边形，设B点坐标为 ，则C点坐标为 ，即可求出BC= ，利用勾股定理可得 ，①利用菱形的性质即可判断；②根据正方形的性质，可知AB⊥AD，即有a=5，求出B点坐标，即可判断；③随便取两个点举反例即可判断；④过点C作CE⊥x轴于E点，过B点作BF⊥x轴于F点，将四边形ABCD的面积转化为四边形BCEF的面积，即可判断．

解：：∵BC⊥y轴，

∴ ，

∵ ，

∴四边形ABCD是平行四边形，

设点B点坐标为 ，则C点坐标为 ，结合A点坐标为(5,0)，

∴BC= ， ，

①当a=5时，BC= ，AB= ，此时AB＜BC，

当a=1时，BC= ，AB= ，此时AB＞BC，

随着a值的变化，显然存在AB=BC的情况，则平行四边形ABCD可能是菱形，故①正确；

②若平行四边形ABCD是正方形，则AB⊥AD，此时A、B的横坐标相等，

∴a=5，此时BC= ，AB= ，AB≠BC，

故平行四边形ABCD不可能是正方形，故②错误；

③∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD的周长为：2(AB+BC)，

当a=5时，BC= ，AB= ，

周长为：2(AB+BC)= ，

当a=1时，BC= ，AB= ，

周长为2(AB+BC)= ，

显然此时上述二者的周长不相等，故③错误；

④过点C作CE⊥x轴于E点，过B点作BF⊥x轴于F点，如图，

则有四边形ABCD的面积转化为四边形BCEF的面积，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，故面积为定值，

故④正确；

故选：D．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上的坐标特征、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的性质，解题的关键是掌握反比例函数图象上的坐标特征．

3．C

【分析】设 点坐标为 ．根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求出 ， ，那么 ， ．根据 ，列出方程 ，即可求出 ．

解：设 点坐标为 ．

轴， ， ，

， ，

，

， ．

，

，

，

，

，

．

故选：C．

【点拨】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是设 点坐标为 ，用含 的代数式表示出 点坐标．

4．C

【分析】设点 ，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A作x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，可证得△DHA≌△CGD(AAS)、△ANB≌△DGC(AAS)得到：AN=DG=2=AH，而AH=−1−m=2，解得：m=−3，据此即可求解．

解：设点 ，

如图所示，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，

∵∠GDC+∠DCG=90°，∠GDC+∠HDA=90°，

∴∠HDA=∠GCD，

在△DHA和△CGD中，

，

∴△DHA≌△CGD(AAS)，

∴HA=GD，DH=CG，

同理可证得△ANB≌△DGC(AAS)，

∴AN=DG=2=AH，则点 G，CG=DH，

AH=−1−m=2，解得：m=−3，

故点G(−3,−7)，D(−3,−5)，H(−3,2)，

则点 ， ，DH=5+2=7，

，

故选：C．

【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键．

5．A

【分析】如图:作 轴于 ， 轴于 ，则直线 与直线 交于点 ,在确定点B的坐标，进而确定BE、OE的长，再证明 得到 、 ，则可确定A点坐标，然后将A点坐标代入 求出k，最后再根据函数图像所在的象限解答即可．

解：如图，作 轴于 ， 轴于 ，则直线 与直线 交于点 ，

反比例函数 图像经过点 ，点 的纵坐标为2，

点 ，

， ，

，

，

，

，

在 和 中

，

， ，

，

，

反比例函数 图像经过点 ，

，

解得 ，

反比例函数 图像在第一象限，

，

．

故选：A．

【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何的综合，掌握反比例函数图像的性质是解答本题的关键．

6．D

【分析】设点A坐标为 ，由“倒数点”的定义，得点B坐标为 ，分析出点B在某个反比例函数上，分两种情况讨论：点B在ED上，由ED//x轴，得 ，解出 ，得点B的纵坐标为1，此时 ；点B在DC上，得点B横坐标为3，即 ，求出点B纵坐标为： ，此时 ．

解：设点A坐标为 ，

∵B是点A的“倒数点”

∴点B坐标为 ，

∵点B的纵坐标满足 ，

∴点B在某个反比例函数上，

∴点B不可能在OE，OC上，

分两种情况讨论：

点B在ED上，由ED//x轴，

∴点B点A的纵坐标相等，即 ，

∴

∴B的纵坐标为1，

此时 ；

点B在DC上，得点B横坐标为3，即 ，

∴点B纵坐标为： ，

∴ ．

故选：D．

【点拨】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，新定义的理解能力，三角形面积的求法，解题的关键是理解“倒数点”的定义．

7．B

【分析】由正方形 的边长是3，得到点 的横坐标和点 的纵坐标为3，求得 ， ， ，根据三角形的面积列方程得到 ， ，作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，则 的长 的最小值，根据勾股定理即可得到结论．

解： 正方形 的边长是3，

点 的横坐标和点 的纵坐标为3，

， ， ，

， ，

的面积为 ，

，

或 （舍去），

， ，

作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，则 的长 的最小值，

，

， ，

，

即 的最小值为 ，

故选：B．

【点拨】本题考查了反比例函数的系数 的几何意义，轴对称中最小距离问题，勾股定理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．

8．A

【分析】过P分别作 轴、y轴的垂线，垂足分别为 ，如图，利用勾股定理计算出 ，根据角平分线的性质得 ，设 ，利用面积的和差求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入 中求出k的值．

解：过P分别作 轴、y轴的垂线，垂足分别为 ，如图所示，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ 的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，

∴ ，

∴ ，

设 ，则PC＝t，

∵ ，

∴ ，

解得 ，

∴ ，

把 代入 得 ．

故选：A．

【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式．

9．D

【分析】连接BD，由矩形的性质可得出 ．由角平分线的性质可得出 ，即可推出 ，从而证明 ，进而证明 ．设A点坐标为 ，由F点为AE的中点，即可用t表示出F点坐标，进而可用t表示出E点坐标．最后根据 ，即可求出k的值．

解：如图，连接BD，

∵四边形ABCD是矩形，AC、BD为对角线，且交于点O，

∴ ．

∵AD平分 ，  

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

根据题意可设A点坐标为 ，

∵AF=EF，即F为点AE的中点，且E点纵坐标为0，

∴F点纵坐标为 ，

∵F点在反比例函数上，

∴ ．

∴ ．

∵ ，

∴ ，

解得： ．

故选D

【点拨】本题考查矩形的性质，角平分线的性质，平行线的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征以及中点坐标公式，综合性强，较难．正确的连接辅助线是解答本题的关键．

10．A

【分析】根据题意设 ，则 ，即可得到反比例为 ，再求得 的坐标，根据待定系数法求得直线 的解析式，将解析式联立，解方程组求得 的坐标，然后根据平行线分线段成比例定理即可求得结论．

解：∵ 与 交于A、B两点，

∴设 ，则 ，

∴ ，

∴反比例函数解析式为 ，

由题意得： ， ，

∴ ，即 ，

设直线 的解析式为 ，

把 代入得： ，

解得： ，

∴直线 的解析式为 ，

，解得 ， ，

∴ ，

过点 作 轴，过点 作 轴，则 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

，

解得： ，

∴ （负值舍去），

故选：A．

【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，求得交点的坐标是解题的关键．

11． ##

【分析】根据题意求得B(k,1)，进而有OD＝k，OC＝ k，把x＝ k代入 得，AC＝ ，即有AE＝AC＝ ，易得四边形AEFC是矩形，即有FC=OE=1，则有OC＝EF＝ k，AF＝AC-CF= −1＝ ，然后在Rt△AEF中，根据勾股定理得到 ，解方程即可求得k的值．

解：设AC、BE交于点F，如图，

∵BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，

∴四边形BDOE是矩形，

∴BD＝OE＝1，

把y＝1代入 ，求得x＝k，

∴B(k,1)，

∴OD＝k，

∵OC＝ OD，

∴OC＝ k，

∵AC⊥x轴于点C，

∴把x＝ k代入 得， ，

∴AC＝ ，

∴AE＝AC＝ ，

∵AC⊥x轴于点C，

∴AC⊥OC，

∴可得四边形AEFC是矩形，即有FC=OE=1，

∴OC＝EF＝ k，AF＝AC-CF= −1＝ ，

在Rt△AEF中， ，

∴ ，

解得 ，

∵k＞0，

∴ ．

故答案为： ．

【点拨】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的判定和性质，勾股定理的应用等，利用反比例函数表示出线段的长度是解题的关键．

12．     3          ##

【分析】（1）先确定点D的坐标，然后再运用待定系数法即可解答；

（2）设 ， ，则 ，然后求出k的取值范围；再运用三角形的面积公式求得k的值；

（3）先求出 的中点为E、F得坐标，然后根据图形可知矩形 的边共有6个点的坐标为整数且每组3个点，然后讨论各点k的情况并结合图形即可解答．

解：（1）∵矩形 顶点坐标分别为 ， ，

∴ ,

∵反比例函数 与的图像过点D

∴ ，解得： ．

故答案为3．

（2）设 ， ，则

∴

∵ 的面积是

∴ ，解得： 或

∵

∴

∴ ．

故答案为 ．

（3）如图：E、F分别为 的中点

∴ ,

∵矩形 的边共有6个点的坐标为整数，由于分成两组

∴在反比例函数图像两侧各有3个点

设反比例函数为

经过E、B时， ，

经过D时， ，

经过F时， ，

可见D、C、F是一组，A、E、B是一组

∴反比例函数只能经过A、E之间，否则不等分

∴ ．

故答案为 ．

【点拨】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．

13．

【分析】过 作 轴的平行线交 于点 ，联立正比例函数 与反比例函数 求得 ， ，得到 的解析式为 ，利用 的面积即可求得点 的坐标

解：联立 ，

解得： ， ，

设 ， ： ，

则 ，

解得： ， ，

：

过 作 轴的平行线交 于点 ，

则 ，

，

即： ，

解得， ，

．

【点拨】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数的性质、待定系数法求一次函数的表达式及三角形的面积，熟练掌握反比例函数的性质和两个函数的交点是解决问题的关键

14．

【分析】过 作 轴于 ，交 于 ，设 ，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得： ，设 ，则 ， ，因为 、 都在反比例函数的图象上，列方程可得结论．

解：如图，过 作 轴于 ，交 于 ．

轴，

，

是等腰直角三角形，

，

设 ，则 ，

设 ，则 ， ，

， 在反比例函数的图象上，

，

解得 ，

，

，

，

，

．

故答案为： ．

【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．

15．4

【分析】延长 交 轴于 ，延长 交 轴于 ，设 的横坐标分别是 ，点 为直线 上的两点， 的坐标是 ， 的坐标是 ，则 ， ，根据 得到 的关系，然后利用勾股定理，即可用 表示出所求的式子，从而求解．

解：如图所示，延长 交 轴于 ，延长 交 轴于 ，

设 的横坐标分别是 ，

点 为直线 上的两点，

的坐标是 ， 的坐标是 ，

则 ， ，

两点在双曲线 上，

则 ，

， ，

，

，

两边平方得： ，

即 ，

在直角 中，

，

同理可得， ，

，

故答案为：4．

【点拨】本题考查了反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理，正确利用 得到 的关系是解题的关键．

16．

【分析】设直线 与 轴交于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，易得 是等腰三角形， 是含 的直角三角形，设 ，则可表达点 的坐标，根据题干条件，建立方程，再根据点 在反比例函数上，可得出结论．

解：如图，设直线 与 轴交于点 ，过点 作 轴于点 ，

令 ，则 ，

∴ ，

令 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 是等腰三角形，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

过点 作 于点 ，

∴ ，

设 ，则 ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

则 ，即： ，

∵点 在反比例函数 上，

∴ ；

故答案为： ．

【点拨】本题属于反比例函数与一次函数交点问题，等腰三角形的判定与性质，含 的直角三角形等相关知识，设出参数，得出方程是解题关键．

17．               或

【分析】（1）如图所示，过点A作 于C，利用等边三角形的性质和勾股定理求出 ，再利用待定系数法求解即可；

（2）求出 ，由 ，得到 ，则 ；

（3）分当函数 的图象经过 的中点时，当函数 的图象经过 的中点时，两种情况利用两点中点坐标公式和待定系数法求解即可．

解：（1）如图所示，过点A作 于C，

∵ ，

∴ ，

∵ 是等边三角形，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵点A在反比例函数 的图象上，

∴ ，

∴ ，

∴反比例函数 的表达式为 ，

故答案为： ；

（2）①∵把 向右平移a个单位长度，对应得到 ，

∴ ，

∵反比例函数 的图象经过点 ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

故答案为： ；

（3）当函数 的图象经过 的中点时，

∵ ，

∴函数 的图象经过点 ，

∴ ，

∴ ；

当函数 的图象经过 的中点时，

∵ ，

∴函数 的图象经过点 ，

∴ ，

∴ ，

故答案为： 或 ．

【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，坐标与图形变化—平移，等边三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．

18．

【分析】连接 ，交 于点Q，首先证明点Q是 的中点，根据折叠可得Q是 中点， ，设 ，则 , ，再由 在 上可得 ， 求得 ，再在 中根据勾股定理求出 即可求出 、 的值，进而求出 、 的坐标，最后求出 的长．

解：连接 ，交 于点Q，

∵将矩形 翻折，使点 与原点 重合，折痕为 ，

∴ ， ，

设

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

而 ，

∴ ，

∴ ，即点Q是 的中点，

∵

∴

∵ 在 上，

∴ ，

∴

∵

∴

∴

∴ ，

∵在 中 ，

∴ ，解得 或 （负数关系舍去），

∵

∴

∴ ，

∴ ，

故答案为： ．

【点拨】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、反比例函数系数k的几何意义，两点的中点公式和距离公式，勾股定理等，综合性强，难度较大．

19．(1) ；(2) ；(3)证明见分析．

【分析】（1）设 ， ，利用点A和点B的纵坐标相等，以及矩形 面积为8，即可求出k的值；

（2）求出直线 的函数解析式为： ，进一步可求出 ，再求出 ， ，即可求出 ；

（3）表示出 ，进一步求出 ， ，利用 ， ，即可证明．

（1）解：设 ， ，

根据题意可知： ，整理可得： ．

（2）解：∵ ，

∴ ，

∵点E在 ，且点B和点E的横坐标相等，

∴ ，即 ，

设直线 的函数解析式为： ，将 和 代入可得：

，解得： ，

故直线 的函数解析式为： ，

令 ，可得： ，

∴ ，

∵ ，即 ，

∴ ，

∵点C的横坐标和点B的横坐标相等，

∴ ，

∴ ．

（3）证明：∵ ，点G与点О关于点C对称，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴四边形 是平行四边形．

【点拨】本题考查反比例函数，一次函数的综合，平行四边形的判定，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式以及平行四边形的判定定理，结合图形找出点的坐标之间的联系．

20．(1) ， ；(2) ；(3) 或 ，

【分析】（1）将点 代入 ，求得 ，进而求得 ，将 代入可求得 ，再把点 的坐标代入 ，即可求得 ；

（2）用含 的代数式表示 的长，根据铅锤定理，解得 ，进而求得点 的坐标；

（3）分情况讨论，当 是边，点 在 轴正半轴上和点 在 轴的负半轴上；当 是对角线，点 在 轴负半轴上和点 在 轴正半轴上，证明 ，进而得出 ，从而求得 的值．

（1）解： 直线 过点 ，

，

，

直线 过点 ，

，

，

过点 ，

；

（2）解： ， ， ， ，

，

， 、 、 分别表示 、 、 三点的横坐标，

，

解得 ，经检验 是原方程的解，

；

（3）解：如图1，

， ，

，

当 是边，点 在 轴正半轴上，

作 于 ，作 于 ，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

， （舍去），

，

如图2，

当点 在 轴的负半轴上时，

由上知： ，

，

，

当 是对角线时，

当 是对角线时，点 在 轴负半轴上时，

可得： ， ，

，

，

，

如图4，

， ，

，

， （舍去），

当 时， ，

，

综上所述： 或 ， ．

【点拨】本题考查了反比例函数与几何综合问题，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是运用分类讨论的思想，画出图形，根据线段之间的和差关系列方程求解．

21．(1)1，2；(2)① ，周长最小值为 ；②存在， 或 或

【分析】（1）根据题意即可完成解答；

（2）①设 ，则可得周长 ，由题意即可求得周长的最小值及点P的坐标；

②由于 ，由题意可求得 的最小值，从而求得点P的坐标；由 轴且点Q在 ，可求得点Q的坐标，再分三种情况考虑，利用平行四边形的性质即可求得点C的坐标．

（1）解：由题意，当且仅当 ，即 （负值舍去）时， ，即 有最小值，最小值为2；

故答案为：1，2；

（2）解：①∵点P为双曲线 上的任意一点，    

∴设 ，

∴四边形OAPB的周长 ，

当四边形OAPB的周长取得最小值时，即 ，        

即 的最小值为 ，此时 ，解得： （负值舍去），

∴ ，周长最小值为 ；

②存在．

∵点P为双曲线 上的任意一点，    

∴设 ，

，

，

当 时，解得： （负值舍去），

即当 时， 有最小值，从而 有最小值，

；

轴，且点Q在 ，

∴点Q的纵坐标为 ，且

，即 ，

；

当以 、 为平行四边形的邻边时，则 ， ，

；

当以 、 为平行四边形的邻边时，则 ， ，

；

当以 、 为平行四边形的邻边时，则 ，

只要把点Q沿 方向平移，平移距离为 长度，即可得到点C，

综上，点C坐标为 或 或 ．

【点拨】本题是材料阅读题，考查了反比例函数的图象与性质，坐标与图形、平行四边形的性质，勾股定理等知识，读懂材料提供的方法并能灵活运用是解题的关键．

22．(1) ， ；(2) ；(3) 或 ；(4) 或 ， 或 或

【分析】（1）利用待定系数法求两函数的解析式；

（2）根据两三角形面积和可得结论；

（3）直接由图象一次函数在反比例函数上边时对应 的取值；

（4）存在三种情况： ， ， ，根据点 的坐标综合图形可得点 的坐标．

（1）解： 点 坐标为

把点 的坐标代入 中得：

反比例函数的解析式是：

把点 的坐标为 代入 中，得： ，

把 、 两点的坐标代入 中得： ，解得：

一次函数的解析式为： ；

（2）解：如图1，当 时， ， ，

，

；

（3）解：由图象得： 时 的取值范围是： 或 ；

（4）解：当 是等腰三角形时，存在以下三种情况：

①当 时，如图2，

，

，

， 或 ， ；

②当 时，如图3，

；

③当 时，如图4，过 作 轴于 ，

设 ，则 ， ，

，

，

，

， ；

综上， 的坐标为 或 ， 或 或 ．

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，考查了利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形的判定，三角形面积公式，本题难度适中，并运用了分类讨论的思想解决问题．

23．(1) ， ；(2) ；(3)

【分析】（1）由一次函数解析式求得点 ，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，两解析式联立成方程组，解方程组即可求得点 的坐标；

（2）设直线 的解析式为设 ，由 ，整理得， ，根据题意得到 ，求得 ，即可得到直线 的解析式，从而即可求得 点的坐标，然后利用勾股定理即可求得 ；

（3）通过证得 ，得出 ， ，即可得出点 的坐标，进而表示出点 的坐标，代入 ，解方程即可求得点 的横坐标．

解：（1）∵ 过 ，

∴ ，

∴ ，则 ，

又∵ 过 ，

∴ ，

∴反比例函数的表达式为 ．

∴ ，解得： 或 ，

∴ ．

（2）令 ，则 ，∴ ．

设直线 的解析式为设 ，∴ ，即： ，

∵直线 与反比例函数图象只有一个交点，

∴ ，

∴ ，

∴ ，令 ，则 ，

∴ ，

∴ ．

（3）由图可知在第一象限 、 不可能相等，

如图，当 ， 时，点 作 轴于 ， 轴于 ， 与 的交点为 ， ，

设 点的坐标为 ，

∵ ，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

设 （ ），

∴ ，

∵点 在一次函数 图象上，

∴ ，整理得 ，

解得 （负数舍去），

∴ 点的横坐标 的值为 ．

【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

24．(1) ， ；(2)存在， 或 或 或

【分析】（1）先把点A坐标代入直线解析式中求出m的值即可求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可；

（2）先由对称性求出点B的坐标，设点D的坐标为 ，利用勾股定理求出 ， ；再分当 时，当 时，当 时，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可．

（1）解：把将 代入 中得： ，

∴ ，

将 代入 中得： ，

∴ ， ；

（2）解：∵直线 和 交于点A、B，

∴A和B关于原点成中心对称，

∴ ，

设点D的坐标为 ，

∴ ， ；

当 时，则 ，

∴ ，

解得 ，

∴点D的坐标为 ；

当 时，则 ，

∴ ，

∴ ，

解得 ，

∴点D的坐标为 或 ，

当 时，则 ，

∴ ，

解得 ，

∴点D的坐标为 ；

综上所述，x轴上是否存在一点D 或 或 或 使得 为直角三角形．

【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．