【324470】2024春七年级数学下册 专题1.3 平行线的判定（知识解读）（含解析）（新版）浙教版

专题1.3 平行线的判定（知识解读）

【学习目标】

1．理解和掌握平行线的判定公理及两个判定定理．

2．通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力．

3．掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式，通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想．

【知识点梳理】

知识点1：平行公理及推论

1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

记作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c

注意：

(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．

（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性

知识点2：平行线判定

判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

简 单说成：同位角相等，两直线平行。

几何语言：

∵∠1＝∠2

∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

判 定方法（2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．

简单说成：内错角相等，两直线平行。

∵∠2＝∠3

∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法（3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

简 单说成：同旁内角互补，两直线平行。

∵∠4＋∠2＝180°

∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

【典例分析】

【考点1：平行线公理及推论】

【典例1】（鼓楼区校级期末）下列说法正确的是（　　）

A．不相交的两条直线叫做平行线

B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直

C．平角是一条直线

D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线

【答案】B

【解答】解：A．应强调在同一平面内，错误；

B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确；

C．直线与角是不同的两个概念，错误；

D．过同一平面内三点中任意两点，能画出3条直线或1条直线，故错误．

故选：B．

【变式1】（奉化区校级期末）下列说法正确的是（　　）

A．两点之间，直线最短

B．永不相交的两条直线叫做平行线

C．若AC＝BC，则点C为线段AB的中点

D．两点确定一条直线

【答案】D

【解答】解：A、两点之间，线段最短，故本选项说法错误；

B、同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，故本选项说法错误；

C、若AC＝BC且点A、B、C共线时，则点C为线段AB的中点，故本选项说法错误；

D、两点确定一条直线，故本选项说法正确．

故选：D．

【典例2】（麒麟区期末）下列说法正确的是（　　）

A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c

B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c

C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c

D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c

【答案】A

【解答】解：先根据要求画出图形，图形如下图所示：

根据所画图形可知：A正确．

故选：A．

【变式2-1】（阳春市校级月考）下列说法中，正确的个数为（　　）

（1）过一点有无数条直线与已知直线平行

（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c

（3）如果两线段不相交，那么它们就平行

（4）如果两直线不相交，那么它们就平行

A．1个A B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【解答】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；

（2）根据平行公理的推论，正确；

（3）线段的长度是有限的，不相交也不一定平行，故错误；

（4）应该是“在同一平面内”，故错误．

正确的只有一个，故选A．

【变式2-2】（饶平县校级期中）若AB∥CD，AB∥EF，则　　∥　　，理由是　　．

【解答】解：∵AB∥CD，AB∥EF，

∴CD∥EF，

理由是：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，

故答案为平行于同一条直线的两条直线互相平行

【考点2：平行线判定】

【典例3】（香坊区校级期中）如图，下列各组条件中，能得到AB∥CD的是（　　）

A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4

C．∠B＝∠D D．∠1+∠2+∠B＝180°

【答案】B

【解答】解：∵∠1＝∠3，

∴AD∥BC，

故A不符合题意；

∵∠2＝∠4，

∴AB∥CD，

故B符合题意；

由∠B＝∠D不能判定AB∥CD，

故C不符合题意；

∵∠1+∠2+∠B＝180°，

∴AD∥BC，

故D不符合题意；

故选：B．

【变式3-1】（台江区校级期中）如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（　　）

A．两直线平行，同位角相等

B．内错角相等，两直线平行

C．同位角相等，两直线平行

D．两直线平行，内错角相等

【答案】C

【解答】解：如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行．

故选：C．

【变式3-2】（德保县二模）如图，能判定AD∥BC的条件是（　　）

A．∠1＝∠3 B．∠1＝∠2 C．∠2＝∠3 D．∠2＝∠4

【答案】A

【解答】解：∵∠1＝∠3，

∴AD∥BC，

故A符合题意；

由∠1＝∠2不能判定AD∥BC，

故B不符合题意；

由∠2＝∠3不能判定AD∥BC，

故C不符合题意；

∵∠2＝∠4，

∴AB∥CD，

故D不符合题意；

故选：A．

【变式3-3】（宾阳县期中）如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：

①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°．

其中能判断a∥b的条件是（　　）

A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①③④

【答案】C

【解答】解：∠1＝∠2，同位角相等两直线平行，①正确；

∠3＝∠6，内错角相等两直线平行，②正确；

∠4＝∠6，∠4+∠7＝180°，同旁内角互补两直线平行，③正确；

∠5+∠8＝180°，它们对顶角是∠3，∠2是同旁内角，同上，④正确．

故选：C．

【典例4】（重庆月考）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．请填空．

证明：∵AF⊥CE（已知）

∴∠AOE＝90°（　　）

又∵∠1＝∠B（　　）

∴　　（　　）

∴∠AFB＝∠AOE（　　）

∴∠AFB＝90°（　　）

又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝　　（平角的定义）

∴∠AFC+∠2＝（　　）°

又∵∠A+∠2＝90°（已知）

∴∠A＝∠AFC（　　）

∴　　（内错角相等，两直线平行）

【解答】证明：∵AF⊥CE（已知），

∴∠AOE＝90°（垂直的定义）．

又∵∠1＝∠B（已知），

∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），

∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等），

∴∠AFB＝90°（等量代换）．

又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义），

∴∠AFC+∠2＝（90）°．

又∵∠A+∠2＝90°（已知），

∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：垂直的定义；已知；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；90；同角的余角相等；AB∥CD．

【变式4-1】（社旗县期末）〖我阅读〗

“推理”是数学的一种基本思想，包括归纳推理和演绎推理．演绎推理是一种从一般到特殊的推理，它借助于一些公认的基本事实及由此推导得到的结论，通过推断，说明最后结论的正确．

〖我会做〗

填空（理由或数学式）

已知：如图，∠1＝∠E，∠B＝∠D．

求证：AB∥CD．

证明：∵∠1＝∠E（　　）

∴　　（　　）

∴　　+∠2＝180° （　　）

∵∠B＝　　

∴　　+　　＝180°

∴AB∥CD（　　）

【解答】证明：∵∠1＝∠E（已知），

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），

∴∠D+∠2＝180° （两直线平行，同旁内角互补），

∵∠B＝∠D，

∴∠B+∠2＝180°，

∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．

故答案为：已知，AD∥BC，内错角相等，两直线平行，∠D，两直线平行，同旁内角互补，∠D，∠B，∠2，同旁内角互补，两直线平行．

【变式4-2】（岳池县期末）把下面的说理过程补充完整：

已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°．试说明：AB∥CD．

解：∵GH⊥CD（　　），

∴∠CHG＝90°（　　）

又∵∠2＝30°（　　），

∴∠3＝（　　）

∴∠4＝60°（　　）

又∵∠1＝60°（　　）

∴∠1＝∠4（　　）

∴AB∥CD（　　）

【解答】证明：∵GH⊥CD（已知），

∴∠CHG＝90°（垂直定义），

又∵∠2＝30°（已知），

∴∠3＝60°，

∴∠4＝60°（对顶角相等），

又∵∠1＝60°（已知），

∴∠1＝∠4（等量代换），

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），

故答案为：已知；垂直定义；已知；60°；对顶角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行．

【变式4-3】（宁远县期末）完成下面的证明

如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．

完成推理过程

BE平分∠ABD（已知），

∴∠ABD＝2∠α（　　）．

∵DE平分∠BDC（已知），

∴∠BDC＝2∠β （　　）

∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）

（　　）

∵∠α+∠β＝90°（已知），

∴∠ABD+∠BDC＝180°（　　）．

∴AB∥CD（　　）．

【解答】证明：BE平分∠ABD（已知），

∴∠ABD＝2∠α（角平分线的定义）．

∵DE平分∠BDC（已知），

∴∠BDC＝2∠β （角平分线的定义）

∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代换）

∵∠α+∠β＝90°（已知），

∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代换）．

∴AB∥CD（同旁内角互补两直线平行）．

故答案为：角平分线的定义，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．

【典例5】（大埔县期末）如图，已知∠A＝∠C，AD⊥BE，BC⊥BE，点D在线段EC上，求证：AB∥CD．

【解答】证明：∵AD⊥BE，BC⊥BE，

∴AD∥BC，

∴∠ADE＝∠C，

∵∠A＝∠C，

∴∠ADE＝∠A，

∴AB∥CD．

【变式5-1】（西乡县期末）如图，已知∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．求证：BE∥CD．

【解答】证明：∵∠A＝∠ADE，

∴DE∥AC，

∴∠ABE＝∠E，

又∵∠C＝∠E，

∴∠ABE＝∠C，

∴BE∥CD．

【变式5-2】（宣恩县期末）如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠1＝∠2，AB与DG平行吗？为什么？

【解答】解：结论：AB∥DG．

理由：∵AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，

∴AD∥EF，

∴∠1＝∠BAD，

∵∠1＝∠2，

∴∠BAD＝∠2，

∴AB∥DG．