【349943】年山东省枣庄市中考数学试卷

山东省枣庄市中考数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．

1．（3分） 的绝对值是 　　

A． B． C． D．2

2．（3分）一副直角三角板如图放置，点 在 的延长线上， ， ，则 的度数为 　　

A． B． C． D．

3．（3分）计算 的结果为 　　

A． B． C． D．

4．（3分）实数 ， 在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是 　　

A． B． C． D．

5．（3分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是 　　

A． B． C． D．

6．（3分）如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 ， ，则 的周长为 　　

A．8 B．11 C．16 D．17

7．（3分）图（1）是一个长为 ，宽为 的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是 　　

A． B． C． D．

8．（3分）如图的四个三角形中，不能由 经过旋转或平移得到的是 　　

A． B．

C． D．

9．（3分）对于实数 、 ，定义一种新运算“ ”为： ，这里等式右边是实数运算．例如： ．则方程 的解是 　　

A． B． C． D．

10．（3分）如图，平面直角坐标系中，点 在第一象限，点 在 轴的正半轴上，

， ．将 绕点 逆时针旋转 ，点 的对应点 的坐标是 　　

A． ， B． C． ， D．

11．（3分）如图，在矩形纸片 中， ，点 在边 上，将 沿直线 折叠，点 恰好落在对角线 上的点 处，若 ，则 的长是 　　

A． B．4 C．5 D．6

12．（3分）如图，已知抛物线 的对称轴为直线 ．给出下列结论：

① ；

② ；

③ ；

④ ．

其中，正确的结论有 　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题：本大题共6小题，满分24分．只填写最后结果，每小题填对得4分．

13．（4分）若 ， ，则 　　．

14．（4分）已知关于 的一元二次方程 有一个根为 ，则 　　．

15．（4分）如图， 是 的直径， 切 于点 ，线段 交 于点 ．连接 ，若 ，则 　　．

16．（4分）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若 ， 的长都为 ，当 时，人字梯顶端离地面的高度 是　　 ．（结果精确到 ，参考依据： ， ，

17．（4分）如图， ， 是正方形 的对角线 上的两点， ， ，则四边形 的周长是　　．

18．（4分）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积 可用公式 是多边形内的格点数， 是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克 定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积 　　．

三、解答题：本大题共7小题，满分60分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（8分）解不等式组 并求它的所有整数解的和．

20．（8分）欧拉 ，1707年 年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数 、棱数 、面数 之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．

（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：

名称	三棱锥	三棱柱	正方体	正八面体
图形
顶点数	4	6	8
棱数	6		12
面数	4	5		8

（2）分析表中的数据，你能发现 、 、 之间有什么关系吗？请写出关系式：　　．

21．（8分），新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位： 绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．

学生立定跳远测试成绩的频数分布表

分组	频数
	12
	10

请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：

（1）表中 　　， 　　；

（2）样本成绩的中位数落在　　范围内；

（3）请把频数分布直方图补充完整；

（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在 范围内的有多少人？

22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 和 的图象相交于点 ，反比例函数 的图象经过点 ．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）设一次函数 的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为 ，连接 ，求 的面积．

23．（8分）如图，在 中， ，以 为直径的 分别交 、 于点 、 ，点 在 的延长线上，且 ．

（1）求证： 是 的切线；

（2）若 的直径为4， ，求 ．

24．（10分）在 中， ， 是中线， ，一个以点 为顶点的 角绕点 旋转，使角的两边分别与 、 的延长线相交，交点分别为点 、 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ．

（1）如图1，若 ，求证： ；

（2）如图2，在 绕点 旋转的过程中，试证明 恒成立；

（3）若 ， ，求 的长．

25．（10分）如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，与 轴交于点 ， ， ． 为线段 上的一个动点，过点 作 轴，交抛物线于点 ，交 于点 ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点 作 ，垂足为点 ．设 点的坐标为 ，请用含 的代数式表示线段 的长，并求出当 为何值时 有最大值，最大值是多少？

（3）试探究点 在运动过程中，是否存在这样的点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由．

山东省枣庄市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．

1．（3分） 的绝对值是 　　

A． B． C． D．2

【解答】解： 的绝对值为 ．

故选： ．

2．（3分）一副直角三角板如图放置，点 在 的延长线上， ， ，则 的度数为 　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可得： ， ，

，

，

．

故选： ．

3．（3分）计算 的结果为 　　

A． B． C． D．

【解答】解： ．

故选： ．

4．（3分）实数 ， 在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是 　　

A． B． C． D．

【解答】解： 、 ，故本选项错误；

、 ， ， ，故本选项错误；

、 ，故本选项错误；

、 ， ，故本选项正确；

故选： ．

5．（3分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是 　　

A． B． C． D．

【解答】解：用列表法表示所有可能出现的情况如下：

共有9种可能出现的结果，其中两次都是白球的有4种，

，

故选： ．

6．（3分）如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 ， ，则 的周长为 　　

A．8 B．11 C．16 D．17

【解答】解： 垂直平分 ，

，

的周长

．

故选： ．

7．（3分）图（1）是一个长为 ，宽为 的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是 　　

A． B． C． D．

【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是 ，

则面积是 ．

故选： ．

8．（3分）如图的四个三角形中，不能由 经过旋转或平移得到的是 　　

A． B．

C． D．

【解答】解：由题意，选项 ， ， 可以通过平移，旋转得到，选项 可以通过翻折，平移，旋转得到．

故选： ．

9．（3分）对于实数 、 ，定义一种新运算“ ”为： ，这里等式右边是实数运算．例如： ．则方程 的解是 　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意，得 ，

去分母得： ，

解得： ，

经检验 是分式方程的解．

故选： ．

10．（3分）如图，平面直角坐标系中，点 在第一象限，点 在 轴的正半轴上，

， ．将 绕点 逆时针旋转 ，点 的对应点 的坐标是 　　

A． ， B． C． ， D．

【解答】解：如图，过点 作 轴于 ．

在 △ 中， ， ，

， ，

，

， ，

故选： ．

11．（3分）如图，在矩形纸片 中， ，点 在边 上，将 沿直线 折叠，点 恰好落在对角线 上的点 处，若 ，则 的长是 　　

A． B．4 C．5 D．6

【解答】解： 将 沿直线 折叠，点 恰好落在对角线 上的点 处，

， ，

，

，

，

，

，

故选： ．

12．（3分）如图，已知抛物线 的对称轴为直线 ．给出下列结论：

① ；

② ；

③ ；

④ ．

其中，正确的结论有 　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：抛物线开口向下， ，对称轴为 ，因此 ，与 轴交于正半轴，因此 ，

于是有： ，因此①正确；

由 ，得 ，因此③不正确，

抛物线与 轴有两个不同交点，因此 ，②正确，

由对称轴 ，抛物线与 轴的一个交点为 ，对称性可知另一个交点为 ，因此 ，故④正确，

综上所述，正确的结论有①②④，

故选： ．

二、填空题：本大题共6小题，满分24分．只填写最后结果，每小题填对得4分．

13．（4分）若 ， ，则 　1　．

【解答】解： ，

．

，

，

，

故答案为：1．

14．（4分）已知关于 的一元二次方程 有一个根为 ，则 　 　．

【解答】解：把 代入 得 ，解得 ，

，

．

故答案为 ．

15．（4分）如图， 是 的直径， 切 于点 ，线段 交 于点 ．连接 ，若 ，则 　 　．

【解答】解： 切 于点 ，

，

，

，

．

故答案为： ．

16．（4分）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若 ， 的长都为 ，当 时，人字梯顶端离地面的高度 是　1.5　 ．（结果精确到 ，参考依据： ， ，

【解答】解： ， ，

，

，

故答案为1.5．

17．（4分）如图， ， 是正方形 的对角线 上的两点， ， ，则四边形 的周长是　 　．

【解答】解：如图，连接 交 于点 ，

四边形 为正方形，

， ，

，

，即 ，

四边形 为平行四边形，且 ，

四边形 为菱形，

，

， ，

由勾股定理得： ，

四边形 的周长 ，

故答案为： ．

18．（4分）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积 可用公式 是多边形内的格点数， 是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克 定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积 　6　．

【解答】解： 表示多边形内部的格点数， 表示多边形边界上的格点数， 表示多边形的面积，

， ，

该五边形的面积 ，

故答案为：6．

三、解答题：本大题共7小题，满分60分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（8分）解不等式组 并求它的所有整数解的和．

【解答】解： ，

由①得， ，

由②得， ，

所以，不等式组的解集是 ，

所以，它的整数解为： ， ， ，0，1，

所以，所有整数解的和为 ．

20．（8分）欧拉 ，1707年 年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数 、棱数 、面数 之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．

（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：

名称	三棱锥	三棱柱	正方体	正八面体
图形
顶点数	4	6	8	6
棱数	6		12
面数	4	5		8

（2）分析表中的数据，你能发现 、 、 之间有什么关系吗？请写出关系式：　　．

【解答】解：（1）填表如下：

名称	三棱锥	三棱柱	正方体	正八面体
图形
顶点数	4	6	8	6
棱数	6	9	12	12
面数	4	5	6	8

（2） ，

，

，

，

，

．

即 、 、 之间的关系式为： ．

故答案为：6，9，12，6， ．

21．（8分），新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位： 绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．

学生立定跳远测试成绩的频数分布表

分组	频数
	12
	10

请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：

（1）表中 　8　， 　　；

（2）样本成绩的中位数落在　　范围内；

（3）请把频数分布直方图补充完整；

（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在 范围内的有多少人？

【解答】解：（1）由统计图得， ， ，

故答案为：8，20；

（2）由中位数的意义可得，50个数据从小到大排列处在中间位置的两个数在 组内，

故答案为： ；

（3）补全频数分布直方图如图所示：

（4） （人 ，

答：该校1200名学生中立定跳远成绩在 范围内的有240人．

22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 和 的图象相交于点 ，反比例函数 的图象经过点 ．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）设一次函数 的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为 ，连接 ，求 的面积．

【解答】解：（1）联立 ①和 并解得： ，故点 ，

将点 的坐标代入反比例函数表达式得： ，解得： ，

故反比例函数表达式为： ②；

（2）联立①②并解得： 或 ，

当 时， ，故点 ，

设 交 轴于点 ，过点 、 分别作 轴的垂线交于点 、 ，

则 ．

23．（8分）如图，在 中， ，以 为直径的 分别交 、 于点 、 ，点 在 的延长线上，且 ．

（1）求证： 是 的切线；

（2）若 的直径为4， ，求 ．

【解答】（1）证明：连接 ，

是 的直径，

，

．

，

．

，

即

是 的直径，

直线 是 的切线；

（2）解：过 作 于 ，

， 的直径为4，

，

， ，

，

， ，

，

，

，

，

，

，

．

24．（10分）在 中， ， 是中线， ，一个以点 为顶点的 角绕点 旋转，使角的两边分别与 、 的延长线相交，交点分别为点 、 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ．

（1）如图1，若 ，求证： ；

（2）如图2，在 绕点 旋转的过程中，试证明 恒成立；

（3）若 ， ，求 的长．

【解答】（1）证明： ， ， 是中线，

， ，

，

在 和 中，

，

；

（2）证明： ，

，

，

，

，

， ，

，

，

；

（3）解：过点 作 于 ，

，

，

由（2）可知， ，

，

， ，

，

，即 ，

解得， ，

由勾股定理得， ．

25．（10分）如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，与 轴交于点 ， ， ． 为线段 上的一个动点，过点 作 轴，交抛物线于点 ，交 于点 ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点 作 ，垂足为点 ．设 点的坐标为 ，请用含 的代数式表示线段 的长，并求出当 为何值时 有最大值，最大值是多少？

（3）试探究点 在运动过程中，是否存在这样的点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将点 、 的坐标代入抛物线表达式得 ，解得 ，

故抛物线的表达式为： ；

（2）由抛物线的表达式知，点 ，

由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ；

设点 ，则点 ，点 ，

，

，故 ，

，

，

，故当 时， 有最大值为 ；

（3）存在，理由：

点 、 的坐标分别为 、 ，则 ，

①当 时，过点 作 轴于点 ，

则 ，即 ，

解得： （舍去负值），

故点 ， ；

②当 时，则 ，

在 中，由勾股定理得： ，解得： 或0（舍去 ，

故点 ；

③当 时，则 ，解得： （舍去）；

综上，点 的坐标为 或 ， ．