【345623】第六章 概率初步1

一、选择题

1. 下列说法正确的是（　　）

A. 不可能事件发生的概率为0
B. 随机事件发生的概率为
C. 概率很小的事件不可能发生
D. 投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次

2. 在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次数分别为10次、50次、100次，200次，其中实验相对科学的是（　　）

A. 甲组 B. 乙组 C. 丙组 D. 丁组

3. 下列事件中，是必然事件的是（　　）

A. 两条线段可以组成一个三角形 B. 400人中有两个人的生日在同一天
C. 早上的太阳从西方升起 D. 打开电视机，它正在播放动画片

4. 在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是（　　）

A. B. C. D.

5. 动物学家通过大量的调查估计，某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.6，则现年20岁的这种动物活到25岁的概率是（　　）

A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.48

6. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（　　）

A. 20 B. 24 C. 28 D. 30

7. 数学老师将全班分成7个小组开展小组合作学习，采用随机抽签确定一个小组进行展示活动，则第3个小组被抽到的概率是（　　）

A. B. C. D.

8. 从图中的四张印有汽车品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有汽车品牌标志的图案是中心对称图形的卡片的概率是（　　）
   
   

A. B. C. D. 1

9. 如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（　　）
   
   
   
   

A. B. C. D.

10. 从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，对于事件M，“这个四边形是等腰梯形”．下列推断正确的是()

A. 事件M是不可能事件 B. 事件M是必然事件
C. 事件M发生的概率为 D. 事件M发生的概率为

二、填空题

11. 一个盒中装着大小、外形一模一样的x颗白色弹珠和y颗黑色弹珠，从盒中随机取出一颗弹珠，取得白色弹珠的概率是 ．如果再往盒中放进12颗同样的白色弹珠，取得白色弹珠的概率是 ，则原来盒中有白色弹珠______ 颗．

12. 现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3．估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为______ ．

13. 不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是______．

14. 从数-2，- ，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若k=mn，则正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限的概率是______ ．

15. 一个均匀的正方体各面上分别标有数字：1、2、3、4、5、6，这个正方体的表面展开图如图所示．抛掷这个正方体，则朝上一面所标数字恰好等于朝下一面所标数字的3倍的概率是______．

三、计算题

16. 全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：
    （1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是______；
    （2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．
    
    

17. 四张扑克牌（方块2、黑桃4、黑桃5、梅花5）的牌面如图l，将扑克牌洗匀后，如图2背面朝上放置在桌面上．小亮和小明设计的游戏规则是两人同时抽取一张扑克牌，两张牌面数字之和为奇数时，小亮获胜；否则小明获胜．请问这个游戏规则公平吗？并说明理由．
    
    

18. 一只口袋中放着3只红球和2只黑球，这两种球除了颜色以外没有任何区别．袋中的球已经搅匀．蒙上眼睛从口袋中取一只球，
    （1）取出黑球与红球的概率分别是多少？
    （2）若第一次取出的是一只红球不放回去，第二次取出的是红球的概率是多少？
    
    

19. 在一个不透明的袋中装有5个只有颜色不同的球，其中3个黄球，2个黑球．
    （1）求从袋中同时摸出的两个球都是黄球的概率；
    （2）现将黑球和白球若干个（黑球个数是白球个数的2倍）放入袋中，搅匀后，若从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ，求放入袋中的黑球的个数．
    
    
    

答案和解析

【答案】

1. A 2. D 3. B 4. C 5. B 6. D 7. A
8. A 9. B 10. B

11. 4  

12. 15  

13.   

14.   

15.   

16.   

17. 解：此游戏规则不公平．
理由如下：
画树状图得：

共有12种等可能的结果，其中两张牌面数字之和为奇数的有8种情况，
所以P（小亮获胜）= = ；P（小明获胜）=1- = ，
因为 ＞ ，
所以这个游戏规则不公平．  

18. 解：（1）根据题意得：P（黑球）= ；P（红球）= ；
（2）根据题意得：P（第二次为红球）= = ．  

19. 解：（1）画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中从袋中同时摸出的两个球都是黄球的结果数为6，
所以从袋中同时摸出的两个球都是黄球的概率= = ；
（2）设放入袋中的黑球的个数为x，
根据题意得 = ，
解得x=2，
所以放入袋中的黑球的个数为2．  

【解析】

1. 解：A、不可能事件发生的概率为0，故本选项正确；
B、随机事件发生的概率P为0＜P＜1，故本选项错误；
C、概率很小的事件，不是不发生，而是发生的机会少，故本选项错误；
D、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，是随机事件，正面朝上的次数不确定是多少次，故本选项错误；
故选：A．
根据不可能事件是指在任何条件下不会发生，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，发生的机会大于0并且小于1，进行判断．
本题考查了不可能事件、随机事件的概念．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

2. 解：根据模拟实验的定义可知，实验相对科学的是次数最多的丁组．
故选：D．
大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．
考查了模拟实验，选择和抛硬币类似的条件的试验验证抛硬币实验的概率，是一种常用的模拟试验的方法．

3. 解：A、两条线段可以组成一个三角形是不可能事件，故A错误；
B、400人中有两个人的生日在同一天是必然事件，故B正确；
C、早上的太阳从西方升起是不可能事件，故C错误；
D、打开电视机，它正在播放动画片是随机事件，故D错误；
故选：B．
根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，可得答案．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

4. 解：根据题意可得：口袋里共有12只球，其中白球2只，红球6只，黑球4只，
故从袋中取出一个球是黑球的概率：P（黑球）= = ，
故选：C．
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
本题考查概率的求法与运用．一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．

5. 解：设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为0.8x，活到25岁的只数为0.6x，
故现年20岁到这种动物活到25岁的概率为 =0.75．
故选B．
先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可．
考查了概率的意义，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．注意在本题中把20岁时的动物只数看成单位1．

6. 解：根据题意得 =30%，解得n=30，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选D．
根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算n的值．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．

7. 解：第3个小组被抽到的概率是 ，
故选：A．
根据概率是所求情况数与总情况数之比，可得答案．
本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

8. 解：在这四个图片中只有第三幅图片是中心对称图形，因此是中心对称称图形的卡片的概率是 ．
故选：A．
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
本题将两个简易的知识点，中心对称图形和概率组合在一起，是一个简单的综合问题，其中涉及的中心对称图形是指这个图形绕着对称中心旋转180°后仍然能和这个图形重合的图形，简易概率求法公式：P（A）= ，其中0≤P（A）≤1．

9. 解：∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有5个情况，
∴使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是： ．

故选：B．
由在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有13种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了轴对称图形的定义．

10. 连接BE，根据正五边形ABCDE的性质得到BC=DE=CD=AB=AE，根据多边形的内角和定理求出∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠AED=108°，根据等腰三角形的性质求出∠ABE=∠AEB=36°，求出∠CBE=72°，推出BE∥CD，得到四边形BCDE是等腰梯形，即可得出答案．

11. 解：∵取得白色棋子的概率是 ，可得方程 =
又由再往盒中放进12颗白色棋子，取得白色棋子的概率是
∴可得方程 = ，
组成方程组解得：x=4，y=8
故答案为4．
根据从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是 ，可得方程 = 又由再往盒中放进12颗白色棋子，取得白色棋子的概率是 可得方程 = 联立即可求得x的值．
本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．

12. 解：因为通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3，
所以估计抽到绘有孙悟空这个人物卡片的概率为0.3，
则这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数=0.3×50=15（张）．
所以估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为15张．
故答案为15．
利用频率估计概率得到抽到绘有孙悟空这个人物卡片的概率为0.3，则根据概率公式可计算出这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数，于是可估计出这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数．
本题考查了频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．

13. 解：∵在不透明的袋中装有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，
∴从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是： = ．
故答案为： ．
由在不透明的袋中装有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，直接利用概率公式求解，即可得到任意摸出一球恰好为红球的概率．
此题考查了概率公式的应用．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．

14. 解：从数-2，- ，0，4中任取1个数记为m，再从余下，3个数中，任取一个数记为n．
根据题意画图如下：

共有12种情况，
∵正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限，
∴k=mn＞0．
由树状图可知符合mn＞0的情况共有2种，
∴正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限的概率是 = ．
故答案为： ．
根据题意先画出图形，求出总的情况数，再求出符合条件的情况数，最后根据概率公式进行计算即可．
本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

15. 解：由图可知1、3相对，2、6相对，4、5相对，
那么3朝上或6朝上时，朝上一面所标数字恰好等于朝下一面所标数字的3倍，共有6种情况，
则朝上一面所标数字恰好等于朝下一面所标数字的3倍的概率是 ．
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①朝上一面所标数字恰好等于朝下一面所标数字的3倍的情况数目；
②所有标法的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．

16. 解：（1）第二个孩子是女孩的概率= ；
故答案为 ；
（2）画树状图为：

共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，
所以至少有一个孩子是女孩的概率= ．
（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出至少有一个孩子是女孩的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

17. 先利用树状图展示所有有12种等可能的结果，其中两张牌面数字之和为奇数的有8种情况，再根据概率公式求出P（小亮获胜）和P（小明获胜），然后通过比较两概率的大小判断游戏的公平性．
本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．

18. （1）根据5只小球中红球与黑球的个数求出所求概率即可；
（2）取出一个红球，口袋中红球与黑球个数都为2，即可求出所求概率即可．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

19. （1）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出从袋中同时摸出的两个球都是黄球的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）设放入袋中的黑球的个数为x，利用概率公式得到 = ，然后解方程即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．