【333655】第九章达标检测卷3

9. 三角形

一、选择题(第1~10小题各3分,第11~16小题各2分,共42分)

1.不一定在三角形内部的线段是 (　　)

A.三角形的角平分线

B.三角形的中线

C.三角形的高

D.三角形的中位线

2.如图所示,三角形被遮住的两个角不可能是 (　　)

A.一个锐角,一个钝角

B.两个锐角

C.一个锐角,一个直角

D.两个钝角

3.下列说法中错误的是 (　　)

A.任意三角形的内角和都是180°

B.三角形按边进行分类可分为不等边三角形和等腰三角形

C.三角形的中线、角平分线、高都是线段

D.三角形的一个外角大于任何一个内角

4.如图所示,AD⊥BC于点D,GC⊥BC于点C,CF⊥AB于点F,下列关于高的说法中错误的是 (　　)

A.△ABC中,AD是BC边上的高

B.△GBC中,CF是BG边上的高

C.△ABC中,GC是BC边上的高

D.△GBC中,GC是BC边上的高

5.设M表示直角三角形,N表示等腰三角形,P表示等边三角形,Q表示等腰直角三角形,则下列四个图中,能表示它们之间关系的是 (　　)

6.如图所示,一块试验田的形状是三角形(设其为△ABC),管理员从BC边上的一点D出发,沿DC→CA→AB→BD的方向走了一圈回到D处,则管理员从出发到回到原处在途中身体 (　　)

A.转过90° B.转过180°

C.转过270° D.转过360°

7.下列条件:①∠A+∠B=∠C;②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;③∠A=90°-∠B;④∠A=∠B-∠C.其中能确定△ABC是直角三角形的条件有 (　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

(第6题图)

(第8题图)

8.如图所示,是一块三角形木板的残余部分,量得∠A=100°,∠B=40°,这块三角形木板另外一个角∠C的度数为 (　　)

A.30° B.40° C.50° D.60°

9.若△ABC中,2(∠A+∠C)=3∠B,则∠B的外角度数为 (　　)

A.36° B.72° C.108° D.144°

10.把14 cm长的铁丝截成三段,围成不是等边三角形的三角形,并且使三边均为整数,那么 (　　)

A.有1种截法 B.有2种截法

C.有3种截法 D.有4种截法

11.如图所示,在△ABC中,点D,E,F分别是三条边上的点,EF∥AC,DF∥AB,∠B=45°,∠C=60°.则∠EFD等于 (　　)

A.80° B.75°

C.70° D.65°

(第11题图)

(第12题图)

12.在△ABC中,AD,CE分别是△ABC的高,且AD=2,CE=4,则AB∶BC等于 (　　)

A.3∶4 B.4∶3

C.1∶2 D.2∶1

13.如图所示,∠B+∠C+∠D+∠E-∠A等于 (　　)

A.360° B.300°

C.180° D.240°

14.如图所示,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC等于 (　　)

A.118° B.119°

C.120° D.121°

(第14题图)

(第15题图)

15.如图所示,用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框,不计螺丝大小,其中相邻两螺丝的距离依次为2,3,4,6,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两个螺丝间的距离的最大值为 (　　)

A.6 B.7 C.8 D.10

16.如图所示,△ABC的面积为1,第一次操作:分别延长AB,BC,CA至点A₁,B₁,C₁,使A₁B=AB,CB₁=CB,C₁A=CA,顺次连接A₁,B₁,C₁,得到△A₁B₁C₁.第二次操作:分别延长A₁B₁,B₁C₁,C₁A₁至点A₂,B₂,C₂,使A₂B₁=A₁B₁,B₂C₁=B₁C₁,C₂A₁=C₁A₁,顺次连接A₂,B₂,C₂,得到△A₂B₂C₂,…,按此规律,要使得到的三角形的面积超过2014,操作的次数最少是 (　　)

A.7 B.6 C.5 D.4

二、填空题(第17~18小题各3分,第19小题4分,共10分)

17.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°,那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为　　　　. 

18.已知a,b,c是三角形的三条边,则|a+b-c|-|c-a-b|的化简结果为　　　　. 

19.如图所示,将纸片△ABC沿DE折叠,点A落在点A'处,已知∠1+∠2=100°,则∠A的大小等于　　　　度. 

三、解答题(共68分)

20.(9分)一副三角板叠在一起按如图所示的方式放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上,BC与DE交于点M.已知∠ADF=100°,求∠DMB的度数.

21.(9分)(1)如图(1)所示,有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上,恰好三角板XYZ的两条直角边XY,XZ分别经过点B,C.△ABC中,∠A=30°,则∠ABC+∠ACB=　　　　度,∠XBC+∠XCB=　　　　度; 

(2)如图(2)所示,改变直角三角板XYZ的位置,使三角板XYZ的两条直角边XY,XZ仍然分别经过点B,C,那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化?若变化,请举例说明;若不变化,请求出∠ABX+∠ACX的大小.

22.(9分)如图所示,武汉有三个车站A,B,C成三角形,一辆公共汽车从B站前往C站.

(1)当汽车运动到点D点时,刚好BD=CD,连接线段AD,AD这条线段是什么线段?这样的线段在△ABC中有几条呢?此时有面积相等的三角形吗?

(2)汽车继续向前运动,当运动到点E时,发现∠BAE=∠CAE,那么AE这条线段是什么线段呢?在△ABC中,这样的线段又有几条呢?

(3)汽车继续向前运动,当运动到点F时,发现∠AFB=∠AFC=90°,则AF是什么线段?这样的线段在△ABC中有几条?

(第22题图)

(第23题图)

23.(9分)(1)如图所示,有两根竹竿AB,DB靠在墙角上,并与墙角FCE形成一定的角度,测得∠CAB,∠CDB的度数分别为α,β.用含有α,β的代数式表示∠DBF和∠ABD的度数.

(2)小明、小芳和小兵三位同学同时测量△ABC的三边长,小明说:“三角形的周长是11”,小芳说:“有一条边长为4”,小兵说:“三条边的长度是三个不同的整数”.三边的长度分别是多少?

24.(10分)如图所示,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线.

(1)∠ABE=15°,∠BAD=26°,求∠BED的度数;

(2)若△ABC的面积为40,BD=5,则△BDE中BD边上的高为多少?

25.(10分)如图所示,点P是△ABC内部一点,连接BP,并延长交AC于点D.

(1)试探究∠1,∠2,∠A从大到小的排列顺序;

(2)试探究线段AB+BC+CA与线段2BD的大小关系;

(3)试探究线段AB+AC与线段PB+PC的大小关系.

(第25题图)

(第26题图)

26.(12分)如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,∠B=70°,∠C=30°.求:

(1)∠BAE的度数;

(2)∠DAE的度数;

(3)如果条件∠B=70°,∠C=30°改成∠B-∠C=40°,是否能得出∠DAE的度数?若能,请你写出求解过程;若不能,请说明理由.

参考答案：

1.C(解析:三角形的角平分线、中线、中位线都在三角形的内部,只有高可能在外部或者与三角形的边重合.)

2.D(解析:根据三角形内角和定理,可知三角形三个内角的和为180°,所以三角形被遮住的两个角不可能是两个钝角.)

3.D(解析:分别根据三角形外角的性质、三角形的分类及三角形的内角和定理对各选项进行逐一分析即可.A,B,C都正确.D.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角,故本选项错误.)

4.C(解析:根据三角形的高的定义对各选项分析判断后利用排除法求解.)

5.A (解析:根据各类三角形的概念可知A可以表示它们之间的包含关系.)

6.D(解析:管理员正面朝前行走,转过的角的度数和正好为三角形的外角和360°.)

7.D(解析:①因为∠A+∠B=∠C,则2∠C=180°,∠C=90°,所以△ABC是直角三角形;②因为∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,设∠A=x,则x+2x+3x=180°,x=30°,∠C=30°×3=90°,所以△ABC是直角三角形;③因为∠A=90°-∠B,所以∠A+∠B=90°,则∠C=180°-90°=90°,所以△ABC是直角三角形;④因为∠A=∠B-∠C,所以∠C+∠A=∠B,又∠A+∠B+∠C=180°,2∠B=180°,解得∠B=90°,△ABC是直角三角形.能确定△ABC是直角三角形的有①②③④,共4个.)

8.B(解析:因为△ABC中,∠A=100°,∠B=40°,所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-100°-40°=40°.)

9.C(解析:因为∠A+∠B+∠C=180°,所以2(∠A+∠B+∠C)=360°,因为2(∠A+∠C)=3∠B,所以∠B=72°,所以∠B的外角度数是180°-∠B=108°.)

10.D (解析:根据三角形的三边关系,两边之和大于第三边,最短的边长是1时,不成立;当最短的边长是2时,三边长是2,6,6;当最短的边长是3时,三边长是3,5,6;当最短的边长是4时,三边长是4,4,6和4,5,5.最短的边长一定不能大于4.综上可知有2,6,6;3,5,6;4,4,6和4,5,5,共4种截法.)

11.B(解析:先由平行线的性质可得∠BFE=∠C=60°,∠CFD=∠B=45°,再根据平角定义求得答案.因为EF∥AC,所以∠BFE=∠C=60°.因为DF∥AB,∠CFD=∠B=45°,所以∠EFD=180°-∠BFE-∠CFD=180°-60°-45°=75°.)

12.C(解析:因为AD,CE分别是△ABC的高,所以S_△ABC= AB·CE= BC·AD,因为AD=2,CE=4,所以AB∶BC=AD∶CE=2∶4=1∶2.)

13.C(解析:根据三角形的外角的性质,得∠B+∠C=∠CGE=180°-∠1,∠D+∠E=∠DFG=180°-∠2,两式相加再减去∠A,根据三角形的内角和是180°可求解.因为∠B+∠C=∠CGE=180°-∠1,∠D+∠E=∠DFG=180°-∠2,所以∠B+∠C+∠D+∠E-∠A=360°-(∠1+∠2+∠A)=180°.)

14.C(解析:因为∠ABC=42°,∠A=60°,所以∠ACB=78°,因为BE是∠ABC的平分线,所以∠EBC= ∠ABC= ×42°=21°,同理得∠DCB=39°,在△FBC中,∠BFC=180°-∠EBC-∠DCB=180°-21°-39°=120°.)

15.B (解析:若两个螺丝的距离最大,则此时这个木框的形状为三角形,可根据三根木条的长来判断有几种三角形的组合,然后分别找出这些三角形的最长边即可.已知4根木条的四边长分别为2,3,4,6:①选2+3,4,6作为三角形,则三边长为5,4,6;5-4<6<5+4,能构成三角形,此时两个螺丝间的最大距离为6;②选3+4,6,2作为三角形,则三边长为2,7,6;6-2<7<6+2,能构成三角形,此时两个螺丝间的最大距离为7;③选4+6,2,3作为三角形,则三边长为10,2,3;2+3<10,不能构成三角形,此种情况不成立;④选6+2,3,4作为三角形,则三边长为8,3,4;而3+4<8,不能构成三角形,此种情况不成立.综上所述,任意两个螺丝间的距离的最大值为7.)

16.D(解析:△ABC与△A₁BB₁底相等(AB=A₁B),其高的比为1∶2(BB₁=2BC),故面积比为1∶2,因为△ABC的面积为1,所以 =2.同理可得, =2, =2,所以 = + + +S_△ABC=2+2+2+1=7;同理可得△A₂B₂C₂的面积=7×△A₁B₁C₁的面积=49,第三次操作后的面积为7×49=343,第四次操作后的面积为7×343=2401.故按此规律,要使得到的三角形的面积超过2014,最少经过4次操作.)

17.30°(解析:根据题目给予的定义,得α=100°⇒2β=100°⇒β=50°,进一步求出最小内角是180°-100°-50°=30°.)

18.0(解析:根据三角形三边满足的条件是两边和大于第三边,根据此来确定绝对值内的式子的正负,从而化简计算即可.因为a,b,c是三角形的三边长,所以a+b-c>0,c-a-b<0,所以原式=a+b-c+c-a-b=0.)

19.50(解析:连接AA',易得AD=A'D,AE=A'E,故∠1+∠2=2(∠DAA'+∠EAA')=2∠BAC=100°.故∠BAC=50°.)

20.解:因为∠ADF=100°,∠FDE=30°,∠ADF+∠FDE+∠MDB=180°,所以∠MDB=180°-100°-30°=50°,因为∠B=45°,∠B+∠DMB+∠MDB=180°,所以∠DMB=180°-50°-45°=85°.

21.解:(1)150　90　(2)不变化.理由如下:∠ABX+∠ACX=∠ABC-∠XBC+∠ACB-∠XCB=(∠ABC+∠ACB)-(∠XBC+∠XCB)=150°-90°=60°.

22.解:(1)AD是△ABC中BC边上的中线,△ABC中有三条中线,此时△ABD与△ADC的面积相等.　(2)AE是△ABC中∠BAC的平分线,△ABC中角平分线有三条.　(3)AF是△ABC中BC边上的高线,△ABC中有三条高线.

23.解:(1)∠DBF=90°+β,∠ABF=90°+α,所以∠ABD=∠ABF-∠DBF=α-β.　(2)因为三角形的周长是11,有一条边长为4,所以另两边的和为7,因为三条边的长度是三个不同的整数,所以另两边长可能为1与6,1+4=5<6,不符合三角形三边关系,舍去,另两边长可能为2与5,2+4=6>5,符合三角形三边关系,另两边长可能为3与4,4=4,不符合题意,舍去.所以另两边长为2与5,所以三边的长度应该是2,4,5.

24.解:(1)∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+26°=41°.　(2)因为AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线,所以S_△BDE= × S_△ABC= ×40=10,设△BDE中BD边上的高为h,则 ×5h=10,解得h=4,即△BDE中BD边上的高为4.

25.解:(1)因为∠2是△ABD的外角,所以∠2>∠A,因为∠1是△PDC的外角,所以∠1>∠2,所以∠1>∠2>∠A.　(2)在△ABD中,AB+AD>BD,①　在△BCD中,BC+CD>BD,②　①+②得AB+AD+BC+CD>2BD,即AB+BC+CA>2BD.　(3)在△ABD中,AB+AD>BP+PD,在△PDC中,PD+CD>PC,两式相加得AB+AD+PD+DC>BP+PD+PC,即AB+AC>PB+PC.

26.解:(1)因为∠B+∠C+∠BAC=180°,所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°,因为AE平分∠BAC,所以∠BAE= ∠BAC=40°.　(2)因为AD⊥BC,所以∠ADE=90°,而∠ADE=∠B+∠BAD,所以∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°,所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°.　(3)能.理由如下:因为∠B+∠C+∠BAC=180°,所以∠BAC=180°-∠B-∠C,因为AE平分∠BAC,所以∠BAE= ∠BAC= (180°-∠B-∠C)=90°- (∠B+∠C),因为AD⊥BC,所以∠ADE=90°,而∠ADE=∠B+∠BAD,所以∠BAD=90°-∠B,所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°- (∠B+∠C)-(90°-∠B)= (∠B-∠C),因为∠B-∠C=40°,所以∠DAE= ×40°=20°.