【333113】5.2探索轴对称的性质

5.2探索轴对称的性质

一、单选题

1.如图，在编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于x轴对称的两个三角形是（　　）

A. ①和②                                 B. ②和③                                 C. ①和③                                 D. ②和④

2.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=102°，∠C′=25°，则∠B的度数为（　　）
​

A. 35°                                       B. 53°                                       C. 63°                                       D. 43°

3.如图，△ABC中∠A=30°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，C点恰好落在BE上，此时∠CDB=82°，则原三角形的∠B为（   ）

A. 75°                                       B. 76°                                       C. 77°                                       D. 78°

4.在平面直角坐标系中，以点A（2，4）为圆心，1为半径作⊙A，以点B（3，5）为圆心，3为半径作⊙B，M、N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（　　）

A.  -4                                 B.  -1                                 C. 6-2                                  D.  -3

5.如图，将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数（   ）

A. 大于90°                    B. 小于90°                    C. 等于90°                    D. 随折痕GF位置的变化而变化

6.如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=2，ON=6，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是（   ）

A. 2                                      B.                                       C. 20                                     D. 2

7.如图，△ABC是一张顶角为120°的三角形纸片，AB=AC，BC=12，现将△ABC折叠，使点B与点A 重合，折痕为DE，则DE的长为（　　）

A. 1                                           B. 2                                           C. 2                                            D. 3

8.下列说法中不正确的是（　　）

A. 线段有1条对称轴                                                 B. 等边三角形有3条对称轴
C. 角只有1条对称轴                                                 D. 底与腰不相等的等腰三角形只有一条对称轴

9.已知，△ABC和△ADC关于直线AC轴对称，如果∠BAD＋∠BCD＝160°，那么△ABC是（　　）

A. 直角三角形                       B. 等腰三角形                       C. 钝角三角形                       D. 锐角三角形

10.下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（   ）

A.                          B.                          C.                          D. 

11.生活中有人喜欢把请人传送的便条折成图丁形状，折叠过程如图所示（阴影部分表示纸条反面），如果折成图丁形状的纸条宽 x cm, 并且一端超出P点1 cm，另一端超出P点2 cm，那么折成的图丁所示的平面图形的面积为     cm². (      )

A.                              B.                              C.                              D. 

二、填空题

12.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A=30°，∠C′=60°，则∠B=________．

13.如图，△ABC的内部有一点P ， 且D、E、F是P分别以AB、BC、AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠DAF＝70°，∠DBE＝60°，∠ECF＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝________．

14.如图，将长方形纸片ABCD折叠，折痕为EF，若AB＝2，BC＝3，则阴影部分的周长为________．

15.如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=3cm，PN=4cm，MN=4.5cm，则线段QR的长为________．

16.如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是________ 

17.如图，P是平行四边形纸片ABCD的BC边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在C′P边上B′处，折痕与AB边交于点N．若∠MPC=75°，则∠NPB′=________°．

三、解答题

18.如图，把一张长方形纸片ABCD沿AF折叠，使B点落在B′处，若∠ADB=20°，那么∠BAF应为多少度时才能使AB′∥BD？

19.如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，求证：△ABC≌△A′B′C′．若△ABC≌△A′B′C′，那么△ABC和△A′B′C′一定关于某条直线l对称吗？若一定请给出证明，若不一定请画出反例图。

20.如图，l是线段AB的对称轴，l′是线段BC的对称轴，l和l′相交于点O．OA与OC相等吗？为什么？

四、综合题（

21.如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称。

（1）结合图形指出对称点．

（2）连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？

（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点与直线m有怎样的关系？其它对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流。

22.如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH．

（1）求证：∠APB=∠BPH．

（2）求证：AP+HC=PH．

（3）当AP=1时，求PH的长．

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】B

【解析】【解答】由图象可知，关于x轴折叠后，②和③能够完全重合，
所以，关于x轴对称的两个三角形是②和③．
故选B．
【分析】根据轴对称的性质，找出关于x轴折叠后能够完全重合的两个三角形即可．

2.【答案】B

【解析】【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=102°，∠C′=25°，
∴∠C=25°，
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=53°．
故选：B．
【分析】利用轴对称图形的性质得出∠C=25°，进而利用三角形内角和定理得出即可．

3.【答案】D

【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=30°，则∠B+∠C=150°…①； 根据折叠的性质知：∠B=3∠CBD，∠BCD=∠C；
在△CBD中，则有：∠CBD+∠BCD=180°﹣82°，即： ∠B+∠C=98°…②；
①﹣②，得： ∠B=52°，
解得∠B=78°．
故选D．
【分析】在图①的△ABC中，根据三角形内角和定理，可求得∠B+∠C=150°；结合折叠的性质和图②③可知：∠B=3∠CBD，即可在△CBD中，得到另一个关于∠B、∠C度数的等量关系式，联立两式即可求得∠B的度数．

4.【答案】A

【解析】【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，
则此时PM+PN最小，
∵点A坐标（2，4），
∴点A′坐标（2，﹣4），
∵点B（3，5），
∴A′B=
∴MN=A′B﹣BN﹣A′M=5 ﹣3﹣1= ﹣4，
∴PM+PN的最小值为 ﹣4．
故选A．

【分析】作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，根据两点之间线段最短得到此时PM+PN最小，再利用对称确定A′的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出A′B的长，然后用A′B的长减去两个圆的半径即可得到MN的长，即得到PM+PN的最小值．

5.【答案】C

【解析】【解答】
解：：∵△GFE是由△GFC沿GF折叠，
∴∠1=∠3= ∠CFE，
∵FH平分∠BFE，
∴∠2=∠4= ∠EFB，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠1+∠2=90°，
即∠GFH=90°．
故答案为：90°．

【分析】根据折叠的性质可知∠1=∠3=  ∠CFE，根据已知条件FH平分∠BFE，可得∠2=∠4= ∠EFB，最后由∠1、∠2、∠3、∠4的和为180°可求∠GFH的度数。

6.【答案】A

【解析】【解答】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示： 连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，
∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，
∴∠N′OM′=90°，
∴在Rt△M′ON′中，
M′N′= =2 ．
故选：A．

【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可．

7.【答案】B

【解析】【解答】解：∵∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
根据折叠的性质，AE=BE，∠DAE=∠B=30°，
∴∠EAC=90°，
∴AE= EC，
∵BC=12，
∴AE=4，
∵∠ADE=90°，∠DAE=30°，
∴DE=2．
故选：B．
【分析】根据折叠的性质，AE=BE，∠DAE=∠B=30°，又∠BAC=120°，可知∠EAC=90°，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，可知AE=4，DE=2．

8.【答案】A

【解析】【解答】线段有本身所在的直线和垂直平分线2条对称轴，A错误；
等边三角形有三条高所在的直线3条对称轴，B正确；
角只有角平分线所在的直线1条对称轴，C正确；
底与腰不相等的等腰三角形只有一条对称轴，D正确，
故选：A．
【分析】根据轴对称图形的概念和具体图形确定各个选项中图形的对称轴，判断得到答案．

9.【答案】C

【解析】【解答】如图，∵△ABC和△ADC关于直线AC轴对称，

∴∠BAC＝∠DAC ， ∠ACB＝∠ACD ，
∴∠BAC＋∠ACB＝ （∠BAD＋∠BCD）＝ ×160°＝80°，
在△ABC中，∠B＝180°－（∠BAC＋∠ACB）＝180°－80°＝100°，
∴△ABC是钝角三角形．
故选C．
【分析】作出图形，根据轴对称的性质可得∠BAC＝∠DAC ， ∠ACB＝∠ACD ， 然后求出∠BAC＋∠ACB ， 再根据三角形的内角和定理求出∠B ， 然后判断三角形的形状即可．

10.【答案】B

【解析】【解答】解：A可以围成四棱柱，C可以围成五棱柱，D可以围成三棱柱，B选项侧面上多出一个长方形，故不能围成一个三棱柱．
故选：B．
【分析】由平面图形的折叠及棱柱的展开图解题．

11.【答案】C

【解析】【解答】如图,

根据折叠的性质可知：
AO=AC+CO=2+x，BP=1，
等腰直角三角形的直角边为x，
则S=AO⋅x+BP⋅x+3× x²=2x+x²+x+ x²= x²+3x，
故答案为：C.
【分析】根据折叠的性质可知，该图形的是由两个矩形和三个等腰直角三角形组合而成的，故只需求出矩形和等腰直角三角形的面积即可求解.

二、填空题

12.【答案】90°

【解析】【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠C=∠C′=60°，
在△ABC中，∠B=180°﹣∠A﹣∠C=180°﹣30°﹣60°=90°．
故答案为：90°．
【分析】根据轴对称的性质可得∠C=∠C′，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．

13.【答案】360°

【解析】【解答】连接AP ， BP ， CP ，

∵D ， E ， F是P分别以AB ， BC ， AC为对称轴的对称点
∴∠ADB＝∠APB ， ∠BEC＝∠BPC ， ∠CFA＝∠APC ，
∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°．
故答案为：360°．
【分析】连接AP ， BP ， CP后，根据轴对称的性质，可得到角相等，结合周角的定义可知答案．

14.【答案】10

【解析】【解答】

∵AE=ME,AB=MN,BF=NF,
∴ME+DE+MN+CD+CF+NF
=AE+DE+AB+CD+CF+BF
=AD+AB+CD+BC
=2+3+2+3
=10.
【分析】根据图形求出ME+DE+MN+CD+CF+NF=AE+DE+AB+CD+CF+BF=AD+AB+CD+BC的值.

15.【答案】5.5cm

【解析】【解答】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上， ∴OA垂直平分PQ，
∴QM=PM=3cm，
∴QN=MN﹣QM=4.5cm﹣3cm=1.5cm，
∵点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，
∴OB垂直平分PR，
∴RN=PN=4cm，
∴QR=QN+RN=1.5cm+4cm=5.5cm．
故答案为5.5cm．
【分析】根据轴对称的性质得到OA垂直平分PQ，OB垂直平分PR，则利用线段垂直平分线的性质得QM=PM=3cm，RN=PN=4cm，然后计算QN，再计算QN+EN即可．

16.【答案】

【解析】【解答】解：如图1所示

作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，
∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，
∴AA′=6，AE′=4．
∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，
∴DQ是△AA′E′的中位线，
∴DQ= AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，
∵BP∥AA′，
∴△BE′P∽△AE′A′，
​，BP= ， CP=BC﹣BP=3﹣ = ，
S_四边形AEPQ=S_正方形ABCD﹣S_△ADQ﹣S_△PCQ﹣S_BEP=9﹣ AD•DQ﹣ CQ•CP﹣ BE•BP
=9﹣ ×3×2﹣ ×1× ﹣ ×1× = ，
故答案为： ．
【分析】根据最短路径的求法，先确定点E关于BC的对称点E′，再确定点A关于DC的对称点A′，连接A′E′即可得出P，Q的位置；再根据相似得出相应的线段长从而可求得四边形AEPQ的面积．

17.【答案】15

【解析】【解答】解：由折叠的性质可知：∠MNC=∠C′PM=75°，∠C′PN=∠BPN，
∴∠NPM=2×75°=150°，
∴∠C′PB=30°，
由折叠的性质可知：∠C′PN=∠BPN，
∴∠NPB′=15°．
故答案为：15．
【分析】两次运用折叠的性质可求解。

三、解答题

18.【答案】解：∵长方形纸片ABCD沿AF折叠，使B点落在B′处， ∴∠B′AF=∠BAF，
∵AB′∥BD，
∴∠B′AD=∠ADB=20°，
∴∠B′AB=20°+90°=110°，
∴∠BAF=110°÷2=55°．
∴∠BAF应为55度时才能使AB′∥BD

【解析】【分析】根据折叠的性质得到∠B′AF=∠BAF，要AB′∥BD，则要有∠B′AD=∠ADB=20°，从而得到∠B′AB=20°+90°=110°，即可求出∠BAF．

19.【答案】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∴△ABC和△A′B′C′能够完全重合，
∴△ABC≌△A′B′C′。
若△ABC≌△A′B′C′，△ABC和△A′B′C′不一定一定关于某条直线l对称，如图所示．

【解析】【分析】轴对称的定义;把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称;根据定义可得△ABC和△A′B′C′能够完全重合，则△ABC≌△A′B′C′。若△ABC≌△A′B′C′，△ABC和△A′B′C′不一定一定关于某条直线l对称，如平行四边形的对角线分得的两个三角形全等但不对称。

20.【答案】解：∵l是线段AB的对称轴，∴OA=OB，
∵l′是线段BC的对称轴，
∴OB=OC，
∴OA=OC。

【解析】【分析】轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。根据性质可得OA=OB，OB=OC，所以OA=OC。

四、综合题

21.【答案】（1）解：对称点有A和A′，B和B′，C和C′
（2）解：连接A、A′，直线m是线段AA′的垂直平分线
（3）解：延长线段AC与A′C′，它们的交点在直线m上，其它对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上，即若两线段关于直线m对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上。

【解析】【分析】（1）轴对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。根据定义可知对称点有A和A′，B和B′，C和C′。
（2）轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；根据性质可知直线m是线段AA′的垂直平分线。
（3）轴对称的性质：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。根据性质可知延长线段AC与A′C′，它们的交点在直线m上，其它对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上。

22.【答案】（1）证明：∵PE=BE，
∴∠EPB=∠EBP，
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．
即∠BPH=∠PBC．
又∵四边形ABCD为正方形
∴AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．
（2）证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q，
由（1）知，∠APB=∠BPH，
在△ABP与△QBP中，

∴△ABP≌△QBP（AAS），
∴AP=QP，BA=BQ．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，
∴△BCH和△BQH是直角三角形，
在Rt△BCH与Rt△BQH中，

∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），
∴CH=QH，
∴AP+HC=PH．

（3）解：由（2）知，AP=PQ=1，
∴PD=3．
设QH=HC=x，则DH=4﹣x．
在Rt△PDH中，PD²+DH²=PH² ，
即3²+（4﹣x）²=（x+1）² ，
解得x=2.4，
∴PH=3.4．

【解析】【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；
（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出AP+HC=PH；
（3）设QH=HC=x，则DH=4﹣x．在Rt△PDH中，根据勾股定理列出关于x的方程求解即可．